专题14 等差数列性质归类（讲练）--2025年高考数学一轮复习高分冲刺

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题14 等差数列性质归类
目录
\l "_Tc18961" 题型一：定义法判断等差数列
\l "_Tc12078" 题型二：定义法求通项
\l "_Tc1468" 题型三：等差中项
\l "_Tc26895" 题型四：等差数列的“中点”性质
\l "_Tc24591" 题型五：an与sn的关系‘
\l "_Tc22099" 题型六：双等差数列sn比值型
\l "_Tc26414" 题型七：等差数列型函数和
\l "_Tc2390" 题型八：奇数项与偶数项和型
\l "_Tc21927" 题型九：等差数列的函数性质：单调性
\l "_Tc1415" 题型十：等差数列的函数性质：sn最值
\l "_Tc28636" 题型十一：等差数列的函数性质：正负不等式型
\l "_Tc22955" 题型十二：等差数列的函数性质：恒成立型求参
\l "_Tc7619" 题型十三：等差数列的函数性质：范围型
\l "_Tc6428" 题型十四：等差数列的函数性质：sn与n比值型
\l "_Tc11170" 题型十五：等差数列与三角函数
\l "_Tc5138" 题型十六：等差数列思维第19题型综合
题型一：定义法判断等差数列
1．（2024·北京西城·三模）中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三下·上海浦东新·期中）设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（ ）
A．①正确，②错误B．①错误，②正确
C．①②都正确D．①②都错误
3．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列满足，.给出下列四个结论：
① 存在，使得，，成等差数列；
② 存在，使得，，成等比数列；
③ 存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列；
④ 存在正整数，且，使得.
其中所有正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（21-22浙江金华·阶段练习）已知各项均不为零的数列{an}，定义向量.下列命题中正确的是
A．若任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列
B．若任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列
C．若任意n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列
D．若任意n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列
5．（浙江·高考真题）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，.（）
若

A．是等差数列B．是等差数列
C．是等差数列D．是等差数列
题型二：定义法求通项
1．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知数列满足，数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·山西·三模）已知数列对任意均有.若，则（ ）
A．530B．531C．578D．579
4．（2024·全国·模拟预测）已知，数列中，，，为数列的前项和，，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．110B．200C．65D．155
题型三：等差中项
1．（19-20高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）是公比不为1的等比数列的前n项和，是和的等差中项，是和的等比中项，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）已知，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·四川成都·期末）若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（ ）
A．3B．6C．9D．18
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．5C．5或－5D．或
5．（2022·全国·模拟预测）设，，若是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．9D．12
题型四：等差数列的“中点”性质
1．（2024·新疆·二模）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（ ）
A．0B．8C．10D．1
3．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．5B．10C．D．15
4．（2024·全国·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，则（ ）
A．100B．250C．500D．750
5．（2021全国模拟）等差数列的前项和为，若的值为常数，则下列各数中也是常数的是（ ）．
A．B．C．D．
题型五：an与sn的关系‘
1．（2021·云南昆明·三模）已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A．414B．406C．403D．393
2．（22-23高三上海金山·模拟）对于实数，表示不超过的最大整数. 已知正数数列满足
，，其中为数列的前项和，则
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知数列的前项和（为常数，且），则“是等差数列”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．（2023高三·全国·专题练习）设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．数列为等差数列D．－5050
5．（22-23高三 重庆沙坪坝模拟）已知数列的前项和，设为数列的前项和.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型六：双等差数列sn比值型
1．（23-24高三·甘肃定西·阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（ ）
A．5B．6C．9D．11
3．（23-24高三·江西抚州模拟）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022高三·全国·专题练习）已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且，则实数λ的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23高三·内蒙古包头·模拟）等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23高按吉林长春·模拟）若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn，且满足，则的值为
A．B．C．D．
题型七：等差数列型函数和
1．（2022高三·全国·专题练习）已知数列为等差数列，且.设函数，记，则数列的前13项和为（ ）
A．B．C．7D．13
2．（22-23高三黑龙江哈尔滨·模拟）已知等差数列的公差为2020，若函数，且，记为的前项和，则的值为
A．B．C．D．
3．（20-21高三江苏泰州·模拟）已知等差数列的前9项和18，函数，则的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
4．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知是一个等差数列的前项和，对于函数，若数列的前项和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022山东潍坊·模拟预测）已知等差数列，公差不为0，若函数对任意自变量x都有恒成立，函数在上单调，若，则的前500项的和为（ ）
A．1010B．1000C．2000D．2020
题型八：奇数项与偶数项和型
1．（23-24高三·广东茂名·模拟）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项
的和为，则此数列的项数是（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高三·上海徐汇·模拟）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高三·四川雅安·阶段练习）一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（ ）
A．4B．8C．12D．20
4．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三·江苏南京·模拟）已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型九：等差数列的函数性质：单调性
1．（23-24高三湖北·模拟）已知数列的前项和（为常数），则“为递增的等差数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高三·江西·阶段练习）设为等差数列的前n项和，则对，，是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2023·北京顺义·一模）已知是无穷等差数列，其前项和为，则“为递增数列”是“存在使得”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（20-21高三江苏无锡模拟）数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（ ）
A．9B．10C．11D．12
题型十：等差数列的函数性质：sn最值
1．（22-23高三上·海南省直辖县级单位模拟）已知是等差数列前项和，，，当取得最小值时（ ）．
A．2B．14C．7D．6或7
2．（22-23高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设为公差为的无穷等差数列的前项和，则“”是“数列有最大项”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．（21-22高三·上海浦东新·模拟）设为等差数列的前n项和，若已知，则下列叙述中正确的个数有（ ）
①是所有中的最大值；②是所有中的最大值；
③公差一定小于0 ④一定小于
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（22-23高三湖北宜昌·阶段练习）已知数列为等差数列，若，且它们的前n项和有最大值，则使得的n的最大值为
A．19B．20C．21D．22
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在等差数列中，，且，是其前项和，则（ ）.
A．都小于0，都大于0
B．都小于0，都大于0
C．都小于0，都大于0
D．都小于0，都大于0
题型十一：等差数列的函数性质：正负不等式型
1．（23-24高三·陕西·阶段练习）设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（23-24高三浙江金华模拟）已知公差为的等差数列，为其前项和，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（2022浙江杭州·模拟预测）设等差数列的前项和为，并满足：对任意，都有，则下列命题不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·重庆·模拟预测）若等差数列 的前n项和为S ，且满足 ，对任意正整数 ，都有 则 的值为（ ）
A．21B．22C．23D．24
5．（22-23高三·广东广州·模拟）已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型十二：等差数列的函数性质：恒成立型求参
1．（21-22高三 ·福建南平·模拟）已知等差数列满足，，，若对任意正整数，恒有，则正整数的值是（ ）
A．6B．5C．4D．7
2．（23-24高三 ·云南昆明·模拟）等差数列的前n项和为，已知，若存在正整数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为（ ）
A．19B．20C．21D．22
3．（22-23高三·广西河池·模拟）已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2021高三·江苏·专题练习）对于数列，定义为数列的“诚信”值，已知某数列的“诚信”值，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三·河北唐山·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，对任意，均有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型十三：等差数列的函数性质：范围型
1．（22-23高三·浙江·模拟）等差数列的公差不为0，其前n和满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（21-22高三·北京西城·开学考试）已知等差数列，是数列的前项和，对任意的，均有成立，则的值不可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（21-22高二上·浙江·期末）已知等差数列  的前n 项和为 Sn ，首项 a1 =1，若，则公差 d 的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·新疆昌吉·模拟预测）已知数列满足，且前项和为，若，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知数列是公差不为0的无穷等差数列，是其前项和，若存在最大值，则（ ）
A．在中最大的数是
B．在中最大的数是
C．在中最大的数是
D．在中最大的数是
题型十四：等差数列的函数性质：sn与n比值型
1．（23-24高三 四川眉山·开学考试）在等差数列中， ，其前项和为，若，则（ ）
A．2 023B．-2 023C．-2 024D．2 024
2．（22-23高三·全国·开学考试）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．18B．36C．40D．42
3．（21-22高三·安徽蚌埠·模拟）已知数列是等差数列，其前n项和为，则下列说法错误的是（ ）
A．数列一定是等比数列B．数列一定是等差数列
C．数列一定是等差数列D．数列可能是常数数列
4．（17-18高三·甘肃张掖·模拟）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，数列的前n项和为Sn，则取最大值时，n的值为（ ）
A．8B．8或9C．9D．17
5．（15-16高三·辽宁大连·模拟）设等差数列满足:,公差
, 若当且仅当时，的前项和取得最大值,则首项的取值范围
是
A．B．C．D．
题型十五：等差数列与三角函数
1．（2023·江西南昌·模拟）设等差数列满足：，公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是
A．B．C．D．
2．（2022广东深圳·模拟）已知等差数列满足：，，公差，则数列的前项和的最大值为
A．B．
C．D．
3．（2020·浙江宁波·一模）设等差数列满足：，公差，若当且仅当时，的前项和取得最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023高三·江苏·专题练习）已知数列是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是 ．
5．（21-22高三·四川南充·模拟）等差数列满足：，
,且公差，若当且仅当时，数列前项和取得最大值，则的取值范围是 ．
题型十六：等差数列思维第19题型综合
1．（24-25高三上·河北·开学考试）定义二元数，将所有的二元数按照从小到大排列后构成数列.
(1)求；
(2)对于给定的，是否存在，使得，成等差数列？若存在求出满足的条件；若不存在，请说明理由；
(3)若，求.
2．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”．
(1)判断数列是否为“凹数列”，请说明理由；
(2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围；
(3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”．
3．（24-25高三 ·广东·阶段练习）已知数列的前三项均为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的各项均为正整数，且．
（ⅰ）若，，证明：为等差数列；
（ⅱ）若，为递增等差数列，求的最小值．
4．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）若有穷数列满足：且，则称其为“阶数列”.
(1)若“6阶数列”为等比数列，写出该数列的各项；
(2)若某“阶数列”为等差数列，求该数列的通项（，用表示）；
(3)记“阶数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为“阶数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.