专题15 等比数列性质归类（讲练）--2025年高考数学一轮复习高分冲刺

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题15 等比数列性质归类
目录
\l "_Tc31063" 题型一：等比数列定义
\l "_Tc26242" 题型二：等比数列通项公式
\l "_Tc25694" 题型三：等比数列an与sn的关系
\l "_Tc796" 题型四：构造等比数列求通项公式
\l "_Tc25758" 题型五：等差等比“纠缠数列”
\l "_Tc13017" 题型六：等比数列“指数型中点”特性
\l "_Tc11285" 题型七：等比数列单调性
\l "_Tc8203" 题型八：不定方程型计算
\l "_Tc17111" 题型九：等比数列不等关系“平衡点”
\l "_Tc17754" 题型十：前n项和的“等距”性
\l "_Tc2118" 题型十一：等比数列最值型
\l "_Tc32404" 题型十二：性质求范围型
\l "_Tc17190" 题型十三：数列与导数
\l "_Tc4332" 题型十四：等比数列综合
题型一：等比数列定义
1．（23-24高三上·山东·阶段练习）记非常数数列的前n项和为，设甲：是等比数列；乙：（，1，且），则（ ）
A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的必要不充分条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件
2．（22-23高二下·辽宁鞍山·阶段练习）数列的前n项和，则（ ）
A．是等差数列B．是等差数列也是等比数列
C．是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列
3．（2023·河南郑州·二模）已知正项数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·新疆喀什·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，则（ ）
A．54B．93C．153D．162
5．（21-22高三下·北京·开学考试）若数列满足，则“，，”是“为等比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
题型二：等比数列通项公式
1．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知数列满足，前n项和为，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）数列满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三·辽宁辽阳·模拟）若等比数列满足，则其公比为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三·全国·模拟）在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和．若，，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．数列是公差为2的等差数列
5．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）已知数列满足，，数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
题型三：等比数列an与sn的关系
1．（2024·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，则“为等比数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（21-22高三重庆沙坪坝·模拟）设等比数列的前项和为，，若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
3．（22-23高三·浙江绍兴·模拟）已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（21-22高三·黑龙江绥化·模拟）已知数列的前n项和为，q为常数，则“数列是等比数列”为“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
5．（21-22高三河南·阶段练习）设数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
题型四：构造等比数列求通项公式
1．（21-22高三·浙江台州·模拟）已知数列满足：，，，则下列说法正确的是
（ ）
A．一定为无穷数列B．不可能为常数列
C．若，则可能小于1D．若，则
2．（24-25高三全国·模拟）已知数列满足递推公式，且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三·云南大理·阶段练习）已知数列满足：，且，则下列说法错误的是（ ）
A．存在，使得数列为等差数列B．当时，
C．当时，D．当时，数列是等比数列
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
5．（20-21高三·海南海口·阶段练习）已知函数的定义域为，当时，；对任意的，成立.若数列满足，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型五：等差等比“纠缠数列”
1．（2023·四川南充·模拟预测）若 分别是与的等差中项和等比中项， 则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高三·黑龙江齐齐哈尔·模拟）是公比不为1的等比数列的前n项和，是和的等差中项，是和的等比中项，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（14-15高三·广东东莞·模拟）已知， ，是 、的等差中项，正数 是、 的等比中项，那么、 、、 的从小到大的顺序关系是（ ）
A．B．
C．D．
4．（10-11高三·福建三明·阶段练习）△中，角成等差，边成等比，则△一定是
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
5．（21-22高三宁夏银川·阶段练习）若四个正数成等差数列，是和的等差中项，是和的等比中项，则和的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
题型六：等比数列“指数型中点”特性
1．（23-24高三·北京·模拟）等比数列的公比为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
2．（22-23高三·江苏苏州·模拟）已知等差数列公差，数列为正项等比数列，已知，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（21-22高三·全国·模拟）已知等比数列中，公比q＝2，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（20-21高按·浙江·模拟）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．D．
题型七：等比数列单调性
1．（23-24高三山西晋城模拟）已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（ ）
A．1012B．1013C．2022D．2023
2．（23-24高三·北京顺义模拟）数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．不充分也不必要
3．（23-24高三湖北·开学考试）已知数列是等比数列，则“存在正整数，对于恒成立”是：“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
题型八：不定方程型计算
1．（23-24高三·广东揭阳·阶段练习）已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三·吉林松原·模拟）设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的公比 为（ ）
A．1或 B．1或3C．或 D．或3
3．（23-24高三·河南省直辖县级单位·阶段练习）等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·河南三门峡·阶段练习）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．12
5．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且数列是等差数列，则（ ）
A．1或B．1或C．2或D．或
题型九：等比数列不等关系“平衡点”
1．（21-22高三·湖北·阶段练习）设等比数列{}的公比为q，其前n项和为，前 n项积为，并满足条件，，下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．是数列{}中的最大值D．数列{}无最小值
2．（22-23高三·广东深圳·模拟）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．
3．（22-23高三·辽宁·模拟）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项不正确的是（ ）
A．为递减数列B．
C．是数列中的最大项D．
4．（20-21高三河南郑州·模拟）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．的最大值为 D．的最大值为
5．（2021高三·全国·专题练习）设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（ ）
A．q>1
B．
C．
D．是数列中的最大项
题型十：前n项和的“等距”性
1．（20-21高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）设等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．4D．5
2．（21-22高三·河北唐山·模拟）设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三·河南·开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．324B．420C．480D．768
4．（21-22高三下·江西·开学考试）设等比数列的前项和为，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A．8B．C．D．10
题型十一：等比数列最值型
1．（2023·江西赣州·一模）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
2．（21-22高三四川成都·阶段练习）在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项积为，且，则取得最大值时，的值是（ ）
A．9B．8或9C．10或11D．9或10
3．（2023高三·全国·专题练习）设首项为正且大于1的无穷等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ）
A．数列无最大项B．数列有最小项为
C．数列是递增数列，D．数列最大值为
4．（23-24高三·福建漳州·模拟）已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．（22-23高三江西萍乡·阶段练习）已知数列为等比数列，函数的导函数为，，若，的公比，则当的前项乘积最小时，的值为（ ）
A．B．C．或D．或
题型十二：性质求范围型
1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知等比数列 的公比为 ， 前 项积为 ， 若 ， 且 ， ， 均有 ，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的前5项积为32，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高三·河南南阳·模拟）已知正项数列是公比为的等比数列，数列的通项公式为．若满足的正整数n恰有3个，则的取值范围为 ．
4．（2023上海嘉定·三模）已知是递增的等比数列，且，那么首项的取值范围是 .
5.（21-22·河南·模拟）已知，，，，，成等差数列，，，，成等比数列，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
题型十三：数列与导数
1．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.若存在等差数列，，，，且，使得数列为等比数列，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
2．（20-21高三上·全国·阶段练习，多选）已知等比数列首项，公比为q，前n项和为，前n项积为，函数，若，则下列结论正确的是（ ）
A．为单调递增的等差数列
B．
C．为单调递增的等比数列
D．使得成立的n的最大值为6
3．（23-24高三·四川成都模拟）牛顿数列是牛顿利用曲线的切线和数列的极限探求函数的零点时提出的，在航空航天领域中应用广泛.已知牛顿数列的递推关系为：是曲线在点处的切线在轴上的截距，其中.
（1）若，并取，则的通项公式为 ；
（2）若取，且为单调递减的等比数列，则可能为 .
4．（2025·全国·模拟预测）若，的解从小到大排成，那么若．则的整数部分是 ．
5．（24-25高三上·上海·开学考试）已知实数成公比为的等比数列，抛物线上每一点到直线的距离均大于，则的取值范围是 ．
题型十四：等比数列综合
1．（2024·河北·一模）已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，，则 ；若数列和的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为 ．
2．（23-24高三下·山东·开学考试）抛物线与椭圆有相同的焦点，分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是的内心，交y轴于M，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则 ．
3．（20-21高三·上海宝山·模拟）已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值等于 .
4．（2024高三·全国·专题练习）欧拉函数的函数值等于所有不超过且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如：，．记，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为 ．