专题17 数列综合大题归类：求和，放缩不等式（16题型提分练）（讲练）--2025年高考数学一轮复习高分冲刺

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题17 数列综合大题归类：求和，放缩不等式
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc708" 题型一：分组求和：公式法 PAGEREF _Tc708 \h 1
\l "_Tc6040" 题型二：分组求和：奇偶分段型 PAGEREF _Tc6040 \h 2
\l "_Tc20846" 题型三：分组求和：正负相间型 PAGEREF _Tc20846 \h 3
\l "_Tc16808" 题型四：倒序求和型 PAGEREF _Tc16808 \h 3
\l "_Tc17339" 题型五：裂项相消1：函数型 PAGEREF _Tc17339 \h 4
\l "_Tc367" 题型六：裂项相消2：指数型 PAGEREF _Tc367 \h 5
\l "_Tc2045" 题型七：裂项相消3：无理根号型 PAGEREF _Tc2045 \h 6
\l "_Tc21249" 题型八：裂项相消4：分子分母齐次分离型 PAGEREF _Tc21249 \h 7
\l "_Tc15580" 题型九：裂项相消5：等差指数混合型 PAGEREF _Tc15580 \h 7
\l "_Tc10688" 题型十：裂项相消6：正负相间裂和型 PAGEREF _Tc10688 \h 8
\l "_Tc550" 题型十一：裂项相消7：三角函数型 PAGEREF _Tc550 \h 9
\l "_Tc112" 题型十二：裂项型证明数列不等式 PAGEREF _Tc112 \h 10
\l "_Tc270" 题型十三：三角函数型数列不等式证明 PAGEREF _Tc270 \h 11
\l "_Tc5870" 题型十四：先求和再放缩证明数列不等式 PAGEREF _Tc5870 \h 12
\l "_Tc12179" 题型十五：先放缩再求和证明数列不等式 PAGEREF _Tc12179 \h 13
\l "_Tc12939" 题型十六：利用导数不等式证明数列不等式 PAGEREF _Tc12939 \h 13
题型一：分组求和：公式法
等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式：
等差：前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(na1＋an,2).
等比：前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
1．（23-24高三·河北唐山·模拟）已知数列，，．
(1)证明：数列，为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前n项和．
2．（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
3．（23-24高三·重庆九龙坡·模拟）已知等差数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前n项和．
4．（22-23高三·河南郑州·期中）已知数列的前n项和为，且满足
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和.
题型二：分组求和：奇偶分段型
分组求和法：
1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减
如果涉及到分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项：
（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和
1．（23-24高三·江苏泰州·模拟）已知等差数列an中，，前n项和为，bn为各项均为正数的等比数列，，且，．(1)求与；
(2)定义新数列满足，，求前20项的和．
2．（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
3．（23-24高三下·广东·模拟）已知数列an是公差不为0的等差数列，其前n项和为，，，，成等比数列．
(1)求an的通项公式；
(2)若，，求数列bn的前100项和．
4．（23-24高三·江苏盐城·期末）已知等差数列的首项为1，公差.数列为公比的等比数列，且成等差数列.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
题型三：分组求和：正负相间型
正负相间求和：
1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。
2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。
1．（24-25高三·全国·练习）已知数列，求数列的前项和．
2．（2023·广西南宁·模拟预测）已知数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，，求数列的前n项和．
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前100项的和.
4．（23-24高三·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，， 是数列的前项和.求
题型四：倒序求和型
倒序求和：
倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组合数。
1．（2022高三·全国·模拟）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．
(1)求证：点的纵坐标为定值；
(2)若且求；
2．（20-21高三·全国·模拟）已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若函数，令，求数列的前2020项和．
3．（20-21高三·江苏苏州·期中）已知
（1）若，求；
（2）若，求除以5的余数
4．（23-24高三·四川成都·模拟）已知数列满足：，数列满足.(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
题型五：裂项相消1：函数型
函数型，指的是
f（n）=t（q-p），差型；
f（n）是分离常数型；
1．（24-25高三·广东·开学考试）已知数列的各项均为正数，为的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，记的前项和为，求证：．
2．（23-24高三·江西·模拟）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，证明：.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值．
4．（23-24高三·河北石家庄·模拟）已知等差数列an的前n项的和为成等差数列，且成等比数列.
(1)求an的通项公式；
(2)若，数列bn的前n项的和为，试比较与的大小，并证明你的结论.
题型六：裂项相消2：指数型
指数型，类似函数型的列项思维
形如
1．（23-24高三·河南·模拟）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，求证：.
2．（23-24高三下·河南·模拟）已知数列满足
(1)求证: 为等比数列；
(2)数列的前n项和为，求数列 的前n项和.
3．（23-24高三·云南曲靖·模拟）设等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
4．（23-24高三·湖北武汉·模拟）如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设各层球数构成一个数列an
(1)求数列an的通项公式；
(2)若数列bn的前项和，数列满足，求数列的前项和
题型七：裂项相消3：无理根号型
无理根式型裂项：
一般情况下，无理型裂项相消满足：
1．（23-24高三·四川南充·期末）已知数列是等差数列，且是数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和，求证：.
2．（23-24高三·辽宁本溪·期末）设正项数列是公差为的等差数列，其前项和为，已知.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
3．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数，．
(1)若在处取得极值，讨论的单调性；
(2)设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方；
(3)设，证明：．
4．（2024·福建三明·三模）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围；
(3)记，求证：．
题型八：裂项相消4：分子分母齐次分离型
分离常数型
分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，把分子次幂降下来。
1．（23-24高三·浙江丽水·期中）设数列为等差数列，前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：．
2．（2024·河北沧州·模拟预测）设正项数列an的前n项和为，已知.
(1)求数列an的通项公式；
(2)设，求数列bn的前n项和.
3．（23-24高三·安徽芜湖·模拟）设是正项数列，且其前项和为，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求的前项和.
32．（23-24高三·江苏盐城·期末）数列中，，，设.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数.
题型九：裂项相消5：等差指数混合型
，注意凑配“同构”形式以裂项达到相消的目的
1．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)记，求数列的前项和．
2．（2024·山西临汾·二模）已知数列满足．
(1)计算，并求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
3．（2024高三·全国·模拟）已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，．
(1)求与；
(2)设，求数列的前n项和．
4．（23-24高三·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
题型十：裂项相消6：正负相间裂和型
正负型：等差裂和型
1．（23-24高三·湖北武汉·期中）已知数列的首项，且满足，数列的前项和满足，且.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前项和.
2．（2024·四川·模拟预测）已知为正项数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的前10项和．
3．（23-24高三·海南省直辖县级单位·模拟）设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”．
(1)若，判断数列是否是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差，且是“数列”，
①求的值；
②设为数列的前项和，证明：
4．（23-24高三·湖北·期中）已知等差数列an的前项和为，且
(1)求数列an的通项公式；
(2)设，求数列bn的前项和为．
题型十一：裂项相消7：三角函数型
1．（2024高三·全国·模拟）已知在数列an中，.
(1)求数列an 的通项公式；
(2)若数列bn满足，求数列的前2024项和.
2．（23-24高三下·河南·模拟）已知数列的前n项和为，，，
(1)求；
(2)若，求数列的前1012项和．
3．（2024·福建泉州·二模）已知数列an和bn的各项均为正，且，bn是公比3的等比数列．数列an的前n项和满足．
(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
4．（2023·安徽安庆·模拟预测）已知.
(1)求；
(2)证明：是等差数列，并求出；
(3)设，求的前项和.
题型十二：裂项型证明数列不等式
裂项型证明数列不等式：
裂项求和。
求和后的函数数列式子，具有放缩和单调性两方面的特征。
一些求和后的式子，还可以通过构造新函数，求导证明
45．（23-24高三·江苏常州·模拟）已知数列的前项和为，满足：，且．
(1)求证：数列为等差数列，并求其通项公式；
(2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
2．（23-24高三·安徽·期中）已知数列an的前n项和为，满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，证明：当时.
3．（23-24高三·山西·期中）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：.
4．（23-24高一下·上海·期中）设是数列的前项和，且是和2的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)记；
①求数列的前项和；
②设，是否存在常数，使对恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.
题型十三：三角函数型数列不等式证明
三角函数数列不等式：
利用三角函数的周期型。
利用三角函数正余弦函数的有界性。
一些题型，可以借助泰勒公式等导数形式证明的结论
1．（23-24高三·湖北·期中）18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brk Taylr）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，f″x表示的二阶导数，即为f'x的导数，表示的阶导数．
(1)根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）
(2)由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；(3)已知，证明：．
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式.当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：.注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，表示在原点处的阶导数.
(1)根据公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)当时，比较与的大小，并证明；
(3)设，证明：.
3．（2024高三·全国·模拟）已知函数.
(1)证明：；
(2)求证：.
4．（23-24高三·四川成都·期中）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线可为双曲余弦函数的图象，类似的可定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出（不证明）双曲正弦函数的一个正确的结论：________；
(2)当时，比较与的大小，并说明理由；
(3)证明：
题型十四：先求和再放缩证明数列不等式
1．（24-25高三·辽宁·开学考试）已知为数列的前项和，为数列的前项和，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的最大值；
(3)设，证明：.
2．（23-24高三·江西南昌·模拟）已知数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)是否存在实数，使数列为等差数列？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由；
(3)已知数列，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值.
3．（23-24高三·浙江·模拟）已知数列满足，.
(1)若，求数列的前n项和；
(2)若，设数列的前n项和为，求证：.
4．（23-24高三·河北承德·期末）已知正项数列满足，数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
题型十五：先放缩再求和证明数列不等式
先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标。对于递推公式，不放缩难以求和，所以放缩成能求和的形式。
1．（23-24高三·天津北辰·模拟）已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且Sn=2bn−2n∈N*，
(1)求的通项公式．
(2)已知cn=anbn,n为奇数3an−4bnanan+2,n为偶数，求数列的前项和．
(3)求证：．
4．（2024·山东·二模）记为数列的前项和，．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
3．（2024·广东肇庆·一模）已知数列an为等差数列，数列bn为等比数列，且，，，.(1)求；
(2)已知，求数列的前项和；(3)求证：.
4．（23-24高三·辽宁·期末）已知函数，数列an满足正整数
(1)求的最大值；
(2)求证：；
(3)求证：．
题型十六：利用导数不等式证明数列不等式
1．（2024·全国·模拟预测）设整数，且，函数．
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，证明：．
2．（24-25高三·四川成都·开学考试）已知.
(1)求的定义域；
(2)若恒成立，求能够取得的最大整数值；
(3)证明：.
3．（24-25高三·河北·开学考试）已知函数.
(1)求证；
(2)求方程解的个数；
(3)设，证明.
4．（23-24高三·山东日照·期中）已知数列满足，且对任意正整数都有.
(1)写出，并求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的值；
(3)设是数列的前项和，求证：.