专题05 一元函数的导数及其应用（讲练）--2025年高考数学一轮复习基础夯实

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题05 一元函数的导数及其应用
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 导数的概念
1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．
2、导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \(lim,\s\d5(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．
知识点2 导数的运算
1、基本初等函数的导数公式
2、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．
3、复合函数的导数
（1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作.
（2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法连接。
（3）求复合函数导数的步骤
第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步变量回代：把中间变量代回。
知识点3 导数与函数的单调性
1、导数与函数的单调性的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；
如果，那么函数在这个区间内单调递减．
【注意】
（1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
（2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零．
2、导数法求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
知识点4 导数与函数的极值、最值
1、函数的极值
（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
2、函数的最值
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3、函数极值与最值的关系
（1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个。
（2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值。
重难点01 根据切线情况求参数
已知，过点，可作曲线的（）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；
【典例1】（23-24高三上·广东·月考）若曲线在点处的切线方程为，则 ．
【典例2】（22-23高三下·湖南长沙·月考）设直线是曲线的一条切线，则 ．
【典例3】（23-24高三上·广西南宁·月考）已知曲线与的公切线为，则实数 .
重难点02 含参函数单调性讨论依据
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
【典例1】（23-24高三下·江西·月考）已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程;
（2）若，讨论的单调性.
【典例2】（2024·海南·模拟预测）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数（为的导函数），讨论的单调性.
重难点03 构造函数法解决函数问题中的常见类型
关系式为“加”型构造：
构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意的符号）
（5） 构造
关系式为“减”型构造：
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9）构造（注意的符号）
（10） 构造
【典例1】（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高三上·河北·月考）已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（23-24高三上·山东菏泽·月考）若定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为
重难点04 单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，
【典例1】（2024·河南·三模）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【典例2】（2024·陕西·二模），有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
重难点 05 双变量不等式与等式
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．
【典例1】（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）对于，使得，求实数的取值范围．
【典例2】（2023高三·全国·专题练习）设函数，．
（1）若曲线在处的切线过点，求的值；
（2）设若对，，使得成立，求的取值范围．
重难点 06 导数与函数零点问题
利用导数确定函数零点的常用方法
1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）；
2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。
【典例1】（2024高三下·浙江杭州·模拟预测）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】（23-24高三下·河北·月考）已知函数在区间内有唯一极值点，其中为自然对数的底数.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：在区间内有唯一零点.
重难点07 隐零点问题的应用
导函数的零点不可求时的应对策略：
1、“特值试探”法：当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下原则：①在含有的函数中，通常选取，特别地，选当时，来试探；②在含有的函数中，通常选取，特别地，选取当时，来试探，在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决.
2、“虚设和代换”法：当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：①由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关的问题；②根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解。
【典例1】（23-24高三上·湖南·月考）已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）记函数的导函数为，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【典例2】（23-24高三下·四川巴中·月考）函数；
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）在恒成立，求整数的最大值.
重难点 08 极值点偏移问题
证明极值点偏移问题常用思路：利用分析法，将所证不等式中的变量分到不等式的两边，构造对称函数，注意将和化到同一区间，再利用导数据研究函数的单调性，求极致、最值等手段证得不等式。
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数为实数.
（1）讨论函数的极值；
（2）若存在满足，求证：.
【典例2】（2024·云南·二模）已知常数，函数.
（1）若，求的取值范围;
（2）若、是的零点，且，证明:.
一、导数定义中极限的计算
瞬时变化率的变形形式
lim∆x→0fx0+∆x−f(x0)∆x=lim∆x→0fx0−∆x−fx0−∆x=lim∆x→0fx0+n∆x−f(x0)n∆x=lim∆x→0fx0+∆x−f(x0−∆x)2∆x=f'(x0)
【典例1】（2023·吉林长春·模拟预测）利用导数的定义计算值为（ ）
A．1B．C．0D．2
【典例2】（2024·江苏南通·二模）已知，当时， .
二、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
【典例1】（23-24高三上·河南·月考）曲线在点处的切线方程为 ．
【典例2】（23-24高三上·山东青岛·期中）曲线过原点的切线方程为 .
三、已知函数的单调性求参数
（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；
（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；
（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点
（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点
【典例1】（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【典例2】（2023·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．m>1
四、利用导数求函数的极值或极值点
1、利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数；
（2）求方程的所有实数根；
（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化．
①如果的符号由正变负，则是极大值；
②如果由负变正，则是极小值．
③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点．
【典例1】（23-24高三下·山东菏泽·月考）函数的极小值点为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高三下·海南·月考）已知函数在处的切线平行于直线.
（1）求的值；
（2）求的极值.
五、根据函数的极值求参数
根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路：
根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出，然后分析的根的个数：①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围；②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围；③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围.
【典例1】（23-24高三上·山西临汾·月考）已知曲线在点处的切线斜率为3，且是的极值点，则函数的另一个极值点为 .
【典例2】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（23-24高三上·河北衡水·月考）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）
A．B．C．D．
六、利用导数研究函数的最值
函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。
【典例1】（23-24高三下·河南·月考）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（23-24高三下·湖南长沙·月考）已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）讨论在区间上的最小值.

易错点1 复合函数求导错误
点拨：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即。
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）函数的导数是 ．
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）设函数，则
易错点2 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系
点拨：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号。
【典例1】（23-24高三上·黑龙江·月考）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ）

A．在处取得极大值B．是函数的极值点
C．是函数的极小值点D．函数在区间上单调递减
【典例2】（2023高三·全国·专题练习）（多选）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．有两个极值点B．为函数的极大值
C．有两个极小值D．为的极小值
易错点3 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻
点拨：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。
【典例1】（2024·山东滨州·二模）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ．
【典例2】（2024·江西上饶·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ．
易错点4 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
点拨：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。
【典例1】（23-24高三上·广东湛江·月考）的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）

A． B．
C． D．
【典例2】（23-24高三下·全国·专题练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs_x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(x>0，a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝eq \f(1,x)