专题08 解三角形及其应用（讲练）--2025年高考数学一轮复习基础夯实

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专题08 解三角形及其应用
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 正、余弦定理及应用
1、正、余弦定理与变形
【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．
2、解三角形中的常用结论
（1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2).
（2）三角形中的三角函数关系
= 1 \* GB3 ①sin(A＋B)＝sin C； = 2 \* GB3 ②cs(A＋B)＝－cs C； = 3 \* GB3 ③sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)； = 4 \* GB3 ④cs eq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
（3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
（4）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.
3、三角形常用面积公式
（1）S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；
（2）S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
（3）S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
知识点2 解三角形的实际应用
【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述．
（2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况．
重难点01 解三角形中的最值范围问题
1、三角形中的最值、范围问题的解题策略
（1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．
（2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．
（3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．
2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点
（1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．
（2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．
类型1 角或三角函数值的最值范围
【典例1】（23-24高三下·山西·模拟预测）钝角中，角的对边分别为，，，若，则的最大值是 .
【答案】
【解析】因为，由正弦定理得，
又因为，可得，所以，则或.
当时，可得，与是钝角三角形矛盾，所以，
由，则，可得，
所以
，
所以当时，的最大值为.
【典例2】（23-24高三下·福建厦门·三模）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，所以，
由余弦定理可得：，
可得，在锐角中，由余弦定理可得：
，
因为，即，即，所以，
所以，所以.
类型2 边或周长的最值范围
【典例1】（23-24高三下·江苏·月考）在中，内角的对边分别为，已知
（1）若求的大小；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意，在中，，
由余弦定理得，
∴，，
∵，
∴，
或（舍），
∵，，．
（2）由题意及（1）得，在中，，
由正弦定理得，，
为锐角三角形，
解得：，
，
∴的取值范围为．
【典例2】（23-24高三下·安徽淮北·二模）记的内角的对边分别为，已知
（1）试判断的形状；
（2）若，求周长的最大值.
【答案】（1）是直角三角形；（2）
【解析】（1）由，可得，所以，
即，所以，
又由余弦定理得，可得，所以，
所以是直角三角形
（2）由（1）知，是直角三角形，且，可得，
所以周长为，
因为，可得，
所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为.
类型3 三角形面积的最值范围
【典例1】（23-24高三下·广东茂名·一模）在中，内角的对边分别是，且.
（1）求的大小；
（2）若是边的中点，且，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，，
由正弦定理可得，
，，
，，，即，即；
（2）依题意，，
，，，
即，
即，当且仅当时，等号成立，
即，面积的最大值为.
【典例2】（23-24高三下·湖北武汉·二模）在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）已知，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，
由正弦定理得，
，即，
所以，
∵，∴，∴，
∵，∴；
（2）由正弦定理，得，
∴
，
又∵，为锐角，∴的最大值为，
∴的最大值为.
重难点02 解三角形角平分线的应用
如图，在∆ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所对的边分别问a，b，c
（1）利用角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD
（2）内角平分线定理：AD为∆ABC的内角∠BAC的平分线，则ABAC=BDDC.
说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。
（3）等面积法：因为S∆ABD+S∆ACD=S∆ABC，所以12c∙ADsinA2+12b∙ADsinA2=12bcsinA，
所以b+cAD=2bc csA2，整理的：AD=2bccsA2b+c（角平分线长公式）
【典例1】（23-24高三下·江西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且．
（1）求角；
（2）若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
即，
，故，
，即，
又，则．
（2）由（1）可知，，又外接圆的半径为；
由正弦定理可知，所以，
因为是的平分线，故，
又，由，
可得，即．①
由余弦定理可知，，即．②
由①②可知．所以，
又，则，
所以.
【典例2】（23-24高三下·河北沧州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求证：；
（2）若的角平分线交AC于点D，且，，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）在中，由余弦定理及，
得，即，
由正弦定理，得，
即，
由，得，则，
因此，即，则，
所以．
（2）由，得，由，得．
在，中，由正弦定理，得，
则，解得，从而，
又，
由余弦定理，得，解得，
所以BD的长为.
重难点03 解三角形中线的应用
1、中线长定理：在∆ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2+AC2=2(BD2+AD2)
【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中
2、向量法：AD2=14b2+c2+2bccsA
【点睛】适用于已知中线求面积（已知BDCD的值也适用）.
【典例1】（23-24高三下·山西·三模）在中，内角所对的边分别为已知的外接圆半径是边的中点，则长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由的外接圆半径，得，
由和得，
又，解得，所以.
因为中，是边的中点，所以,
于是
.故选：D.
【典例2】（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，所以，
又，且D是的中点，所以，
在中，，
在中，，
所以，
即，得，当且仅当取等号，故选：A
一、利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：
1、选定理.
（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；
（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；
（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；
（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；
（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；
2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.
3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。
【典例1】（23-24高三下·浙江金华·三模）在中，角的对边分别为，，.若，，，则为（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
【答案】C
【解析】由余弦定理得,
即，即，解得或（舍）.故选：C.
【典例2】（23-24高三下·江苏·二模）设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则 .
【答案】
【解析】由余弦定理得，，
而由，得，
因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以，
所以，解得或，
当时，即，，由大边对大角得：最大角为C，
，故C为锐角，不符合题意；
当时，即，，由大边对大角得：最大角为B，
，故B是钝角，符合题意.
【典例3】（23-24高三下·广东江门·二模）是内一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
设，因为，所以．
在中，由正弦定理可得，
则，即，
即，解得．故选：D
二、判定三角形形状的两种常用途径
1、角化边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；
2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断
【典例1】（23-24高三下·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则的形状为 .
【答案】等腰三角形或直角三角形.
【解析】因为，可得，
由正弦定理和余弦定理，可得，
整理得，即，
即，可得，
所以或，所以是等腰三角形或直角三角形.
【典例2】（23-24高三下·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（ ）
A．为直角三角形B．为锐角三角形
C．为钝角三角形D．的形状无法确定
【答案】A
【解析】由，可得，
则，
，
，
即，
由，故只能为锐角，可得，
因为，所以，.故选：A.
三、三角形的面积及应用
1、三角形面积公式的使用原则：对于面积公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是使用哪一个角就使用哪一个公式；
2、与面积有关的问题：一般要用到正弦定理和余弦定理进行边角互化；
3、三角形的周长问题：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=(a+b)2-2ab将问题转化为求两边之和的问题。
【典例1】（23-24高三下·重庆·三模）（多选）在中，角的对边为若，则的面积可以是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】AC
【解析】由余弦定理得:，
即或4，故面积或.故选：AC.
【典例2】（23-24高三下·福建莆田·三模）在中，内角的对边分别为，且.
（1）证明：.
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）或
【解析】（1）根据正弦定理知，
整理得，
因为，所以，
由正弦定理可得；
（2）因为，所以，
由余弦定理可得，即，
则，
因为，所以，所以，
则，即，解得或，
当时，，此时的面积，
当时，，此时的面积.
所以的面积为或.
四、利用正弦定理解三角形的外接圆
利用正弦定理：可求解三角形外接圆的半径。
若要求三角形外接圆半径的范围，一般将用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围。
【典例1】（23-24高三下·云南·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，记的面积为，已知，，，求外接圆半径与内切圆半径之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
即，
由余弦定理，得，
，，
在三角形中，则或(舍)，故，
由余弦定理，，所以，
由正弦定理，，则，
因为，
所以，所以.故选：B.
【典例2】（23-24高三下·河南·模拟预测）在中，角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）如图所示，为平面上一点，与构成一个四边形，且，若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以.
（2）在中，由余弦定理得，，
因为，
所以四边形存在一个外接圆，
所以圆的直径为，
因为，即，当AD为圆O直径时取等号，
故的最大值为.
五、利用解三角形解决测量距离问题
1、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。
2、求距离问题的注意事项
（1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量．
（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
【典例1】（23-24高三下·吉林·二模）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东 方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，，
由正弦定理得，
所以.
故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为.故选：B.
【典例2】（23-24高三上·广东广州·月考）如图，、两点在河的同侧，且、两点均不可到达．现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，，，则、两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
是等边三角形，；
中，，，，
由正弦定理得，，
，，
中，由余弦定理得，
，即、两点间的距离为．故选：D．
六、求解高度问题应注意的三个问题
1、要理解仰角、俯角的定义；
2、在实际问题中可能遇到空间与平面（底面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形；
3、注意山或塔垂直于底面或海平面，把空间问题转化为平面问题。
【典例1】（23-24高三下·宁夏石嘴山·模拟预测）海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点处测得塔顶的仰角为，然后沿点向塔的正前方走了38m到达点处，此时测得塔顶的仰角为，据此可估计海宝塔的高度约为 m.（计算结果精确到0.1）

【答案】
【解析】如图，设海宝塔塔底中心为点，与交于点，
过点作于点，则，
由题意知，m，m，
所以，则，
在中，m，
又是的外角，即有，
所以，
在中，m，设m，则m，
在中，由勾股定理得，
即，整理得，解得或（舍），
所以m，所以m，
即海宝塔的高度为m.
【典例2】（23-24高三下·广东湛江·二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得米，，在点B处测得点A的仰角为（），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度 米.
【答案】204
【解析】设米，因为在点B处测得点A的仰角为，所以，所以.
因为在点C处测得点A的仰角为45°，所以米.
由余弦定理，可得，
即，解得.

易错点1 利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数。
点拨：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。（2）已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。
【典例1】（23-24高三上·河北正定·月考）在中，已知，，则角B等于（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】A
【解析】，由正弦定理可得，，
由可得，，则故选：A
【典例2】（23-24高三上·安徽·月考）（多选）在中，角所对的边分别为，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】BD
【解析】选项A，点A到边BC的距离是1，∵，∴三角形有两解；
选项B，点A到边BC的距离是2与b相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；
选项C，点A到边BC的距离是，三角形无解；
选项D，根据已知可解出，，
∴三角形有唯一解.故选：BD.
易错点2 解三角形时，在中忽视的解
点拨：解题时容易习惯性约去相同的项，没有注意到约分的条件，当此时，可以左右两边约去，从而造成漏解，所以考生在平时解题养成习惯，什么时候可以约，要牢记。
【典例1】（23-24高三下·山东·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
即，由正弦定理可得，
所以，所以，
所以，
即，
因为，所以，所以.
【典例2】（23-24高三下·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且，的面积为，则（ ）
A．4B．C．4或D．或
【答案】C
【解析】由及余弦定理得．
若，则，，故，，
所以，所以．
若，则，，
由正弦定理得．
因为，所以，，
所以，，，
所以，
，
所以，所以，解得．
综上，或．故选：C．
易错点3 忽视对角的讨论
点拨：当解题过程中出现类似于sin2A=sin2B这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”。
【典例1】（23-24高三下·全国·模拟预测）已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
由正弦定理得，即，
又，所以，
所以，即，
所以或（舍去），所以，
又，解得，
所以，所以，
即的取值范围为．故选:D．
【典例2】（23-24高三下·重庆·月考）锐角中，内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若边上的中线长为，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，
所以，
又，
所以，所以，
所以或，
若，则，与为锐角三角形矛盾，舍去，
从而，则，
又，所以.
（2）由余弦定理，得，即①，
设的中点为，则，两边同时平方可得：，
即：，即：②，
由①可得：，
于是：的面积.
易错点4 忽视解三角形时使用正弦定理边角互化，要注意是否使用齐次式，能否消去2R
点拨：使用正弦定理进行边角互化时要注意只有齐次式才可以消掉2R，若非齐次式要注意只能将齐次部分消去2R，或者使用其他方式进行边角互化。
【典例1】（23-24高三下·广东广州·月考）在中，分别为角的对边，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】,
所以，设外接圆的半径为，
由正弦定理可得：
.故选：D.
【典例2】（23-24高三下·黑龙江·模拟预测）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则 ．
【答案】
【解析】由，
得，
，
即，整理得，
由余弦定理，所以，
又，且，可得，
解得或（舍），
因为，所以．
易错点5 实际问题中题意不明致误
点拨：实际问题应用中有关名词、术语也是容易忽视和混淆的。要注意理解仰角、俯角、方向角、方位角、坡度的具体含义。
【典例1】（23-24高三上·山东烟台·期中）某数学兴趣小组欲测量一下校内旗杆顶部M和教学楼M₁顶部N之间的距离，已知旗杆AM高15m，教学楼BN高21m，在与A,B同一水平面C处测得的旗杆顶部M的仰角为，教学楼顶部N的仰角为，，则M,N之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，过点作于点，则，
在中，，∴，
在中，
∴，
在中，，
由余弦定理得，
，
∴,
在Rt中，，
由勾股定理得，,故选：D.
【典例2】（23-24高三下·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（ ）
A．7公里B．8公里C．9公里D．10公里
【答案】D
【解析】依题意设炮弹第一次命中点为，则，，
，，
在中，
即，解得，
所以，
又为锐角，解得（负值舍去），
在中，
所以，即炮台与弹着点的距离为公里.故选：D定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝2R
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
名称
意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线eq \a\vs4\al(上)方的叫做仰角，目标视线在水平视线eq \a\vs4\al(下)方的叫做俯角
方位角
从某点的指eq \a\vs4\al(北)方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ