专题09 平面向量及其应用（讲练）--2025年高考数学一轮复习基础夯实

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专题09 平面向量及其应用
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 向量的有关概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
2、零向量：长度为0的向量，记作.
3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行．
5、相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6、相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点2 向量的线性运算
知识点3 向量共线定理与基本定理
1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使.
2、三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。2
3、平面向量基本定理
（1）定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使
（2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
（3）对平面向量基本定理的理解
= 1 \* GB3 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
= 2 \* GB3 ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值．
= 3 \* GB3 ③是同一平面内所有向量的一组基底，
则当与共线时，；当与共线时，；当时，．
= 4 \* GB3 ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
知识点4 平面向量的数量积
1、向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角．
（2）范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°.
（3）共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直．
2、平面向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)，
记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即.
（2）几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
【注意】（1）数量积也等于的长度|b|与在方向上的投影的乘积，这两个投影是不同的．
（2）在方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负可为0，取决于θ角的范围．
3、向量数量积的性质
设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：
（1）.
（2）.
（3），同向⇔；，反向⇔.
特别地或.
（4）若θ为，的夹角，则.
4、向量数量积的运算律
（1） (交换律)．
（2） (结合律)．
（3） (分配律)．
【注意】对于实数a，b，c有，但对于向量，，而言，不一定成立，即不满足向量结合律．这是因为表示一个与c共线的向量，而表示一个与a共线的向量，而与不一定共线，所以不一定成立．
知识点5 平面向量的坐标运算
1、向量线性运算坐标表示
（1）已知，则，．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
（2）若，则；
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
2、向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是
3、向量数量积的坐标表示
已知非零向量，，与的夹角为θ.
重难点01 平面向量最值或范围问题
1、定义法： = 1 \* GB3 ①利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系； = 2 \* GB3 ②运用基本不等式求其最值问题； = 3 \* GB3 ③得出结论。
2、坐标法： = 1 \* GB3 ①根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标； = 2 \* GB3 ②将平面向量的运算坐标化； = 3 \* GB3 ③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。
3、基底法： = 1 \* GB3 ①利用基底转化向量； = 2 \* GB3 ②根据向量运算化简目标； = 3 \* GB3 ③运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论；
4、几何意义法： = 1 \* GB3 ①结合条件进行向量关系推导； = 2 \* GB3 ②利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹； = 3 \* GB3 ③结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。
类型1 数量积的最值或范围
【典例1】（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，点满足，在平面中，动点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】以O为坐标原点（是中点），建立如图所示的直角坐标系，
因为在矩形中，，，，，
所以动点在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设，
则,
，
其中锐角满足，故的最大值为,故选：A.
【典例2】（2024·江西鹰潭·二模）在中，角所对应的边为,，，，是外接圆上一点，则的最大值是（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】A
【解析】如图，设的外心为，则点是的中点，
由，
因，故,而，
故当且仅当与同向时取等号.故选：A.
类型2 模长的最值或范围
【典例1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量，，，则的最小值为 .
【答案】
【解析】，
所以.
当时等号成立.
故答案为：.
【典例2】（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形中，若则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】由可得
，
因，故时，，即的最小值为.故选：B．
类型3 向量夹角的最值或范围
【典例1】（2024·广东江门·二模）设向量，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】，令，则，
所以，
当，即时，取得最小值，且最小值为．
故答案为：
【典例2】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知向量，满足，若对任意模为的向量，均有，则向量的夹角的取值范围为 .
【答案】
【解析】由，若对任意模为的向量，均有，
由三角不等式得，，因为向量为任意模为的向量，
所以当向量与向量夹角为时，上式也成立，设向量的夹角为.
，，
平方得到，即，
则，即，即，
同时，所以，
平方得到，即，
解得，即，，
综上，又因为，即，
向量的夹角的取值范围.
故答案为：.
类型4 线性系数的最值或范围
【典例1】（2024·山西晋中·模拟预测）（多选）在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1B．的最大值为
C．的最大值为12D．的最小值为4
【答案】BD
【解析】因为，所以，
又，
因为、、三点共线，所以，
又，为正实数，所以，
当且仅当，即，时取等号，故A错误，B正确；
，
当且仅当，即，时取等号，故C错误，D正确.故选：BD
【典例2】（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设，
又，
则，
，即
，解得，
,
因为，则，
所以当时，取得最大值1，
则的最大值为.
故答案为：.
重难点02 运用向量表示三角形的重心、垂心、外心、内心
1、常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点
= 1 \* GB3 ①OA+OB+OC=0
= 2 \* GB3 ②PO=13PA+PB+PC
= 3 \* GB3 ③若AP=λAB+AC或OP=OA+λAB+AC，λ∈[0,+∞)，则P一定经过三角形的重心
= 4 \* GB3 ④若AP=λABABsinB+ACACsinC或OP=OA+λABABsinB+ACACsinC，λ∈[0,+∞)则P一定经过三角形的重心
2、常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：
= 1 \* GB3 ①OA∙OB=OB∙OC=OC∙OA
= 2 \* GB3 ②OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2
= 3 \* GB3 ③动点P满足OP=OA+λABABcsB+ACACcsC，λ∈0,+∞，则动点P的轨迹一定通过∆ABC的垂心
3、常用外心向量式：O是∆ABC的外心，
= 1 \* GB3 ①OA=OB=OC⟺OA2=OB2=OC2
= 2 \* GB3 ②OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OA+OC∙AC=0
= 3 \* GB3 ③动点P满足OP=OB+OC2+λABABcsB+ACACcsC，λ∈0,+∞，则动点P的轨迹一定通过∆ABC的外心.
= 4 \* GB3 ④若OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OC+OA∙CA=0，则O是∆ABC的外心.
4、常见内心向量式：P是∆ABC的内心，
= 1 \* GB3 ①ABPC+BCPA+CAPB=0（或aPA+bPB+cPC=0）
其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，
= 2 \* GB3 ②AP=λABAB+ACAC，λ[0,+∞)，则P一定经过三角形的内心。
【典例1】（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ）
A．外心B．垂心C．重心D．内心
【答案】D
【解析】在中，由，得，
即，由，同理得，
显然，即与不重合，否则，同理，
则，即，，
于是平分，同理平分，
所以点P是的内心.故选：D
【典例2】（23-24高三上·全国·专题练习）已知G，O，H在所在平面内，满足，，，则点G，O，H依次为的（ ）
A．重心，外心，内心B．重心、内心，外心
C．重心，外心，垂心D．外心，重心，垂心
【答案】C
【解析】因为，所以，
设AB的中点D，则，所以，
所以C，G，D三点共线，即G为的中线CD上的点，且，
所以G为的重心．
因为，所以，所以O为的外心；
因为，所以，即，
所以，同理可得：，，所以H为的垂心.故选：C.
重难点03 奔驰定理及其应用
1、奔驰定理：O是内的一点，且x∙OA+y∙OB+z∙OC=0，
则S∆BOC:S∆COA:S△AOB=x:y:z
2、证明过程：已知O是内的一点，∆BOC，∆COA，∆AOB的面积分别为SA，SB，SC，
求证：SA∙OA+SB∙OB+SC∙OC=0.
延长OA与BC边相交于点D，
则BDDC=S∆ABDS∆ACD=S∆BODS∆COD=S∆ABD−S∆BODS∆ACD−S∆COD=SCSB，
OD=DCBCOB+BDBCOC=SBSB+SCOB+SCSB+SCOC，
∵ODOA=SBODSBOA=SCODSCOA=SBOD+SCODSBOA+SCOA=SASB+SC，
∴OD=−SASB+SCOA，
∴−SASB+SCOA=SBSB+SCOB+SCSB+SCOC，
所以SA∙OA+SB∙OB+SC∙OC=0.
（3）奔驰定理推论：x∙OA+y∙OB+z∙OC=0，则
= 1 \* GB3 ①S∆BOC:S∆COA:S△AOB=x:y:z
= 2 \* GB3 ②S∆BOCS∆ABC=xx+y+z，S∆AOCS∆ABC=yx+y+z，S∆AOBS∆ABC=zx+y+z.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．
（4）对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。
【典例1】（23-24高三上·江西新余·期末）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
【答案】ABC
【解析】A选项，因为，所以，
取的中点，则，所以，
故三点共线，且，
同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线，
所以M为的重心，A正确；
B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为，则，，，
所以，即，B正确；
C选项，若M为的垂心，，则，
如图，⊥，⊥，⊥，相交于点，
又，，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，所以，即，
同理可得，即，故，
，则，
故，
，则，
故，，
故，
同理可得，
故，C正确；
D选项，若，，M为的外心，则，
设的外接圆半径为，
故，，
故，，，
所以，D错误.
故选：ABC
【典例2】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）

A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
【答案】AD
【解析】对于A，由奔驰定理可得，，
因为，，不共线，所以，故A正确；
对于B，若是的重心，，
因为，所以，即共线，故B错误．
对于C，当为的外心时，，
所以，
即，故C错误．
对于D，当为的内心时，（为内切圆半径），
所以，所以，故D正确.故选：AD.
重难点04 极化恒等式及其应用
1、极化恒等式：
2、平行四边形模式：平行四边形ABCD，O是对角线交点．则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)[|AC|2－|BD|2]．
3、三角形模式：在△ABC中，设D为BC的中点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．
【典例1】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（ ）
A．B．16C．D．8
【答案】A
【解析】由题设，可以补形为平行四边形，
由已知得．故选：A．
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）四边形中，M是上的点，，,若N是线段上的动点，的取值范围是 .
【答案】
【解析】M是上的点且C、D两点在以为直径的圆上，
且圆心为M，是等腰直角三角形，
所以
又，
所以，
在等腰直角中,点M到线段MN上的一点N的距离最大值为1,
取最小值时,N为的中点,此时，
，所以.
故答案为：
一、解决向量概念问题的关键点
1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
2、共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
3、相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量．
4、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．
5、非零向量与的关系：是方向上的单位向量，因此单位向量与方向相同．
6、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小．
7、在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件．
【典例1】（2023·湖南长沙·一模）（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且 ，则与共线
C．若 ，则存在唯一的实数 使得
D．若 是两个单位向量，且 ，则
【答案】ACD
【解析】对A，若为零向量时，与的方向不确定，故A错误；
对B，分别表示，方向上的单位向量，根据题意可知B正确；
对C，若为零向量，不为零向量时，不存在实数 使得 ，故C错误；
对D，由，
所以，故D错误.故选：ACD
【典例2】（2023高三·全国·专题练习）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若都是单位向量，则.
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若都为非零向量，则使＋＝成立的条件是与反向共线
D．若，则
【答案】BCD
【解析】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同，所以得不到，A错误；
对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”，
所以“”是“”的必要不充分条件，B正确；
对C，因为与反向共线，且，都为单位向量，则＋＝，C正确；
对D，若，则，D正确，故选:BCD.
二、平面向量共线定理的应用
1、证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线；
2、证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线；
3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值
【典例1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．、、三点共线B．、、三点共线
C．、、三点共线D．、、三点共线
【答案】C
【解析】对A，因为，，不存在实数使得，
故、、三点不共线，故A错误；
对B，因为，，不存在实数使得，
故、、三点不共线，故B错误；
对C，因为，，则，
故、、三点共线，故C正确；
对D，因为，，
不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误.故选：C
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）在中，M，N分别是边BC，AC的中点，线段AM，BN交于点D，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解法一：因为M，N分别是边BC，AC的中点，可由三角形重心的性质知.
解法二：设，
则，
又由B，D，N三点共线，可知，解得，
所以，故，故选：C.
三、平面向量基本定理的实质及解题思路
1、应用平面向量基本定理表示向量的实质是平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
2、用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【典例1】（2024·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】在中，取为基底，
则，
因为点分别为的中点，,所以，
所以.故选：B.
【典例2】（23-24高三下·黑龙江大庆·阶段练习）四边形ABCD中，，且，若，则 ．
【答案】2
【解析】如图，由可得且，
易得,则有
于是, 因，
故得由，解得：.
故答案为：2.
四、平面向量数量积的求解方法
1、定义法求平面向量的数量积
（1）方法依据：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即
（2）适用范围：已知或可求两个向量的模和夹角。
2、基底法求平面向量的数量积
（1）方法依据：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量级的运算律和定义求解。
（2）适用范围：直接利用定义法求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解。
3、坐标法求平面向量的数量积
（1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，
即若，，则；
（2）适用范围： = 1 \* GB3 ①已知或可求两个向量的坐标； = 2 \* GB3 ②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积。
【典例1】（2024·云南曲靖·模拟预测）已知向量，，（分别为正交单位向量），则（ ）
A．B．1C．6D．
【答案】B
【解析】因为分别为正交单位向量，所以，，
所以，故选：B.
【典例2】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知边长为1的正方形ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】边长为1的正方形ABCD，，，
，，
所以.故选：D.
五、解决有关垂直问题
两个非零向量垂直的充要条件： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②若，，则.
【典例1】（2024·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以即，故，故选：D.
【典例2】（2024·西藏·模拟预测）已知向量，．若，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】由题意得，．
，因为，
所以，所以，所以，解得．故选：A．
六、求向量模的常用方法
1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；
3、几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
【典例1】（2024·山东菏泽·二模）已知向量，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．6
【答案】D
【解析】因为，即，化简，整理得，
则，解得.故选：D
【典例2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量，满足，，，则（ ）
A．5B．C．6D．8
【答案】B
【解析】由，，，得，则，
因此，所以．故选：B
七、平面向量的夹角问题
求解两个非零向量之间的夹角的步骤：
第一步，由坐标运算计算出这两个向量的数量积；
第二步，分别求出这两个向量的模；
第三步，根据公式求出这两个向量夹角的余弦值，其中，；
第四步，根据两个向量夹角的范围及其夹角的余弦值，求出两个向量的夹角.
【典例1】（2024·江苏泰州·模拟预测）若，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
设与的夹角为，
所以，又，所以.故选：A
【典例2】（2024·河北·模拟预测）平面四边形中，点分别为的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为平面四边形中，点分别为的中点，
所以，
所以，
由可得：，
两边同时平方可得：，
所以，解得：，
所以.故选：A.
八、投影向量及其应用
设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则
【典例1】（2024·山东青岛·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，，
所以在上的投影向量为.故选：A
【典例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）在平面直角坐标系中，，点在直线上，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，设点，则，
则在上的投影向量为.故选：C

易错点1 平面向量的概念模糊，尤其是零向量
点拨：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量、向量的加法、减法、数乘、数量积、向量的模、夹角等等。
【典例1】（23-24高三上·全国·专题练习）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．零向量与任一向量平行B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．单位向量是模为的向量D．方向相反的两个非零向量必不相等
【答案】ACD
【解析】对于A，零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，故A项正确；
对于B，根据共线向量的定义，可知方向相反的两个非零向量一定共线，故B项错误；
对于C，根据单位向量的定义，可知C项正确；
对于D，方向相同且模相等的两个向量相等，
因此方向相反的两个非零向量一定不相等，D项正确．故选：ACD．
易错点2 忽视两个向量成为基底的条件
点拨：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。
【典例1】（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）
A．和B． 和
C． 和D． 和
【答案】C
【解析】对A：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底；
对B：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底；
对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量，
且存在实数，使得，故和共线，不可作基底；
对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底.故选：C.
【典例2】（23-24高三上·福建·阶段练习）（多选）下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】ACD
【解析】易知能作为基底的两个平面向量不能共线，
因为，，，
则选项A、C、D中两个向量均不共线，而B项中，则B错误.故选：ACD
易错点3 错误使用向量平行的等价条件
点拨：对于，，，若是使用，容易忽略0这个解.考生解题过程中要注意等价条件的完备性。
【典例1】（2024·青海海西·模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】B
【解析】若，有，解得．故选：B．
【典例2】（2024·陕西渭南·二模）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，解得或2，
故“”是“”的充分不必要条件.故选：A
易错点4 混淆向量数量积运算和数乘运算的结果
点拨：向量的数乘运算结果依旧为向量，而数量积的运算结果为实数，两者要区分开。尤其使用数量积的运算时不可约公因式。
【典例1】（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）（多选）下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】A：由平面向量数量积的运算性质可以判断本选项一定成立；
B：与共线，与共线，而与不一定共线，
所以不一定成立，因此本选项不一定成立；
C：，所以本选项一定成立；
D：当 时，，所以本选项不一定成立，故选：AC
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）（多选）设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是（ ）
A．
B．
C．不与垂直
D．
【答案】BD
【解析】由于是不共线的向量，因此的结果应为向量，故A错误；
由于不共线，故构成三角形，因此B正确；
由于，故C中两向量垂直，故C错误；
根据向量数量积的运算可以得，故D是正确的.故选：BD.
易错点5 确定向量夹角时忽略向量的方向
点拨：错误理解向量的夹角，在使用求解时，特别注意，要共起点才能找夹角，否则使用的可能是其补角造成错误。
【典例1】（23-24高三下·河北沧州·期中）已知是边长为4的正三角形，则（ ）
A．8B．C．D．
【答案】C
【解析】正的边长为4，则.故选：C
易错点6 忽视两向量夹角的取值范围
点拨：向量的夹角范围是从，解题时易忽略夹角为0和夹角为的情况。
【典例1】（23-24高三上·山东聊城·期末）已知向量，，若与所成的角为钝角，则实数的取值范围： .
【答案】
【解析】与所成的角为钝角即且与不平行，
即，
所以.
故答案为：.
【典例2】（23-24高三上·全国·专题练习）已知，为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ．
【答案】且
【解析】因为与的夹角为锐角，所以，且与不同向，
所以，
因为，为互相垂直的单位向量，所以，，，
所以，可得，
当与同向时，，即，
可得，可得，此时不满足与的夹角为锐角，
综上所述：实数的取值范围为且.
故答案为：且.向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

交换律：；
结合律：
减法
求与的相反向量的和的运算
数乘
求实数λ与向量的积的运算
，
当λ>0时，与的方向相同；
当λ