2025高考数学一轮复习-2.1-函数的概念及其表示式-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-2.1-函数的概念及其表示式-专项训练【含答案】，共7页。
1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x
B．f(x)＝ eq \f(x2－4,x＋2)，g(x)＝x－2
C．f(x)＝ eq \f(sin 2x,2cs x)，g(x)＝sin x
D．f(x)＝|x|，g(x)＝ eq \r(x2)
2．(多选)下列所给图象可以是函数图象的是( )
3．函数y＝lg2(2x－4)＋ eq \f(1,x－3)的定义域是( )
A．(2，3) B．(2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(2，3)∪(3，＋∞)
4．函数y＝1＋x－ eq \r(1－2x)的值域为( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) B． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
5．已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f(2x－1)的定义域为( )
A．(－1，0) B．(－2，0)
C．(0，1) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))
6．设函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x＞0，,lg\s\d9(\f(1,2))(－x)，x＜0.))若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0，1)
7．已知函数f(x)满足f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋ eq \f(1,x)f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________．
8．已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等的实数根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________．
9．函数y＝ eq \f(x2－x＋2,x－1)(x＞1)的值域是________．
10．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋5，x≤0，,x＋5，0＜x≤1，,－2x＋8，x＞1.))
(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值．
11．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝ eq \f(x2,200)＋mx＋n(m，n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图．
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求汽车行驶的最大速度．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是( )
A．y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)
B．y＝x＋ eq \r(x＋1)
C．y＝ eq \f(1,x)－lg3x
D．y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x＋1)))
2．已知函数f(x)＝ eq \f(3x－1,ax2＋ax－3)的定义域是R，则实数a的取值范围是( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)) B．(－12，0]
C．(－12，0) D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))
3．已知函数f(x)＝lg2x，g(x)＝2x＋a.若存在x1，x2∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，使得f(x1)＝g(x2)，则a的取值范围是________．
4．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝ eq \f(2x＋3,2x＋1)，求函数y＝[f(x)]的值域．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：A中f(x)的定义域是(0，＋∞)，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；B中f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；C中f(x)的定义域是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；D中的函数是同一个函数．
答案：D
2．解析：图象A关于x轴对称，x>0时，每一个x对应两个y，图象B中x0对应两个y，所以A，B均不是函数图象；图象C，D可以是函数图象．
答案：CD
3．解析：由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－4＞0，,x－3≠0，))得x＞2且x≠3，故函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
答案：D
4．解析：设 eq \r(1－2x)＝t，则t≥0，x＝ eq \f(1－t2,2)，
所以y＝1＋ eq \f(1－t2,2)－t＝ eq \f(1,2)(－t2－2t＋3)
＝－ eq \f(1,2)(t＋1)2＋2.
因为t≥0，所以y≤ eq \f(3,2).
所以函数y＝1＋x－ eq \r(1－2x)的值域为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))).
答案：B
5．解析：函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，即函数y＝f(x＋1)中的x满足－2＜x＜0，此时－1＜x＋1＜1，记t＝x＋1，则－1＜t＜1，则f(t)的定义域为(－1，1)，也就是f(x)的定义域是(－1，1).要求f(2x－1)的定义域，则－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1，∴f(2x－1)的定义域为(0，1).
答案：C
6．解析：当a＞0时，－a＜0，
由f(a)＞f(－a)，得lg2a＞lg eq \s\d9(\f(1,2))a，
所以2lg2a＞0，解得a＞1；
当a＜0时，－a＞0，由f(a)＞f(－a)，得lg eq \s\d9(\f(1,2))(－a)＞lg2(－a)，
所以2lg2(－a)＜0，可得0＜－a＜1，
即－1＜a＜0.
综上，a的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞).
答案：C
7．解析：令x＝2，可得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋ eq \f(1,2)f(－2)＝4，①
令x＝－ eq \f(1,2)，可得f(－2)－2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－1，②
联立①②解得f(－2)＝ eq \f(7,2).
答案： eq \f(7,2)
8．解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，
则a＝1，b＝2.
∴f(x)＝x2＋2x＋c.
又f(x)＝0，即x2＋2x＋c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
答案：x2＋2x＋1
9．解析：令t＝x－1，∴t＞0，x＝t＋1，
∴y＝ eq \f((t＋1)2－(t＋1)＋2,t)＝ eq \f(t2＋t＋2,t)＝t＋ eq \f(2,t)＋1≥2 eq \r(2)＋1，
当且仅当t＝ eq \f(2,t)，即t＝ eq \r(2)时取等号，
∴函数的值域为[2 eq \r(2)＋1，＋∞).
答案：[2 eq \r(2)＋1，＋∞)
10．解：(1)∵ eq \f(3,2)＞1，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－2× eq \f(3,2)＋8＝5.
∵0＜ eq \f(1,π)＜1，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))＝ eq \f(1,π)＋5＝ eq \f(5π＋1,π).
∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)这个函数的图象如图．
在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分．
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象．
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
11．解：(1)由题意及函数图象，
得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(402,200)＋40m＋n＝8.4，,\f(602,200)＋60m＋n＝18.6，))解得m＝ eq \f(1,100)，n＝0，
∴y＝ eq \f(x2,200)＋ eq \f(x,100)(x≥0).
(2)令 eq \f(x2,200)＋ eq \f(x,100)≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故汽车行驶的最大速度是70 km/h.
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1．解析：根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调．对于A，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故A可以构造“同值函数”；对于B，y＝x＋ eq \r(x＋1)，为定义在[－1，＋∞)上的单调增函数，故B不可以构造“同值函数”；对于C，y＝ eq \f(1,x)－lg3x，为定义在(0，＋∞)上的单调减函数，故C不可以构造“同值函数”；对于D，y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x＋1)))，不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故D可以构造“同值函数”．所以能够被用来构造“同值函数”的是A，D.
答案：AD
2．解析：因为函数f(x)＝ eq \f(3x－1,ax2＋ax－3)的定义域是R，所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立．当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a