2025高考数学一轮复习-3.4-导数与函数的极值与最值-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-3.4-导数与函数的极值与最值-专项训练【含答案】，共10页。
1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( )
A.1 B．2
C.3 D．4
2．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为( )
A.2 B．－ eq \f(5,2)
C.3＋ln 2 D．－2＋2ln 2
3．函数f(x)＝ eq \f(ex,x2－3)在[2，＋∞)上的最小值为( )
A. eq \f(e3,6) B．e3
C. eq \f(e3,4) D．2e
4．已知函数f(x)＝ eq \f(1,3)x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是( )
A.[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞)
C.[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
5．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x eq \\al(2,1)＋x eq \\al(2,2)等于( )
A. eq \f(2,3) B． eq \f(4,3)
C. eq \f(8,3) D． eq \f(16,3)
6．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值．若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )
A.15 B．－15
C.10 D．－13
7．(多选)已知函数f(x)＝ eq \f(x2＋x－1,ex)，则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)存在两个不同的零点
B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C.当－e＜k≤0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根
D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝ eq \f(5,e2)，则t的最小值为2
8．写出一个存在极值的奇函数f(x)＝________．
9．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件．
10．已知函数f(x)＝x ln x＋mex有两个极值点，则实数m的取值范围是________．
11．已知函数f(x)＝ex cs x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．
已知函数f(x)＝ eq \f(ln x,x).设实数a>0，求函数F(x)＝af(x)在[a，2a]上的最小值．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．若直线y＝ax＋b为函数f(x)＝ln x－ eq \f(1,x)图象的一条切线，则2a＋b的最小值为( )
A.ln 2 B．ln 2－ eq \f(1,2)
C.1 D．2
2．(多选)已知函数f(x)＝x ln x＋x2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是( )
A.0＜x0＜ eq \f(1,e) B．x0＞ eq \f(1,e)
C.f(x0)＋2x0＜0 D．f(x0)＋2x0＞0
3．在空间直角坐标系O­xyz中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程x2＋y2＋z2＝1表示球面，这就是一种常见的二次曲面．二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点P(x，y，z)是二次曲面4x2－xy＋y2－z＝0上的任意一点，且x＞0，y＞0，z＞0，则当 eq \f(z,xy)取得最小值时， eq \f(1,x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)－\f(1,z)))的最大值为________．
4．设g(x)＝ eq \f(1,3)x3－ eq \f(1,2)ax2＋(x－a)cs x－sin x，a∈R，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：由函数极值的定义和导函数的图象可知，
f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，
但是在原点附近的导数值恒大于零，
故x＝0不是函数f(x)的极值点．
其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，
故极大值点有2个．
答案：B
2．解析：f′(x)＝ eq \f(2,x)＋2ax－3，
∵f(x)在x＝2处取得极小值，
∴f′(2)＝4a－2＝0，解得a＝ eq \f(1,2)，
∴f(x)＝2ln x＋ eq \f(1,2)x2－3x，
f′(x)＝ eq \f(2,x)＋x－3＝ eq \f((x－1)(x－2),x)，
∴f(x)在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，
∴f(x)的极大值为f(1)＝ eq \f(1,2)－3＝－ eq \f(5,2).
答案：B
3．解析：依题意f′(x)＝ eq \f(ex,(x2－3)2)(x2－2x－3)＝ eq \f(ex,(x2－3)2)(x－3)(x＋1)，
故函数在(2，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
故函数在x＝3处取得极小值也即是最小值，且最小值为f(3)＝ eq \f(e3,32－3)＝ eq \f(e3,6).
答案：A
4．解析：由f(x)＝ eq \f(1,3)x3＋(a－1)x2＋x＋1，
得f′(x)＝x2＋2(a－1)x＋1.
根据题意得[2(a－1)]2－4≤0，
解得0≤a≤2.
答案：C
5．解析：由图象可知f(x)的图象经过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是f(x)的极值点，
∴1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，
解得b＝－3，c＝2，
∴f(x)＝x3－3x2＋2x，
∴f′(x)＝3x2－6x＋2，
x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的两根，
∴x1＋x2＝2，x1·x2＝ eq \f(2,3)，
∴x eq \\al(2,1)＋x eq \\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－2× eq \f(2,3)＝ eq \f(8,3).
答案：C
6．解析：因为f′(x)＝－3x2＋2ax，f(x)在x＝2处取得极值，
所以f′(2)＝0，即－12＋4a＝0，解得a＝3，
所以f′(x)＝－3x2＋6x.
又当n∈[－1，1]时，f′(n)＝－3n2＋6n单调递增，
所以当n＝－1时，f′(n)的最小值为－9.
当m∈[－1，1]时，f(m)＝－m3＋3m2－4，f′(m)＝－3m2＋6m，
令f′(m)＝0，得m＝0或m＝2，
所以f(m)在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，
所以当m＝0时，f(m)最小值为－4.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－4＋(－9)＝－13.
答案：D
7．解析：由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，
∴x＝ eq \f(－1±\r(5),2)，故A正确；
f′(x)＝－ eq \f(x2－x－2,ex)＝－ eq \f((x＋1)(x－2),ex)，
当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f′(x)＜0，
当x∈(－1，2)时，f′(x)＞0，
∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1，2)上单调递增，
∴f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，故B正确；
又f(－1)＝－e，f(2)＝ eq \f(5,e2)，
且当x→－∞时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→0，
∴f(x)的图象如图所示，
由图知C正确，D不正确．
答案：ABC
8．解析：正弦函数f(x)＝sin x为奇函数，且存在极值．
答案：sin x(答案不唯一)
9．解析：y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，
当03时，y′0；
当x0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，
当x∈(－∞，0)时，x－a0，g(x)单调递增；
当x∈(0，a)时，x－a0，g(x)单调递增．
所以，当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；
当x＝a时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)＝－ eq \f(1,6)a3－sin a．
综上，当a0时，g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－ eq \f(1,6)a3－sin a．