2025高考数学一轮复习-3.5-构造函数证明不等式-专项训练【含答案】

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1．已知函数f(x)＝ln x－x＋ eq \f(1,x)＋2，求证：f(x)＜ex－ eq \f(ln x,x).
2．已知函数f(x)＝ex－x－1.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)当x≥0时，求证：f(x)＋x＋1≥ eq \f(1,2)x2＋cs x．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．已知函数f(x)＝(m＋1)x－m ln x－m.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当m≤1，且x>1时，f(x)0，解得x>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
令f′(x)0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
②当m＋1－1时，
若－10，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
若m>0，令f′(x) eq \f(m,m＋1)，
所以f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(m,m＋1)))上单调递减；在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,m＋1)，＋∞))上单调递增．
综上，当m0时，f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(m,m＋1)))上单调递减，在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,m＋1)，＋∞))上单调递增．
(2)证明：要证f(x)x－m ln x，
即证ex-1－m(x－1)>eln x－m ln x．
令g(x)＝x－1－ln x，x≥1，则g′(x)＝1－ eq \f(1,x)＝ eq \f(x－1,x)≥0，
所以g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，g(x)>g(1)＝0，
即当x>1时，x－1>ln x．
令h(x)＝ex－mx，x>0，则h′(x)＝ex－m>0在m≤1时恒成立，
所以当m≤1，且x>0时，h(x)单调递增．
因为当x>1时，x－1>0，ln x>0，且x－1>ln x，
所以当m≤1，且x>1时，h(x－1)>h(ln x)，即ex-1－m(x－1)>eln x－m ln x．
所以当m≤1，且x>1时，f(x)0)，
∴当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，由f′(x)>0，得00时，f(x)在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(e,a)))上单调递增，在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(e,a)，＋∞))上单调递减．
(2)证明：要证f(x)－ eq \f(ex,x)＋2e≤0，只需证明f(x)≤ eq \f(ex,x)－2e，
由(1)知，当a＝e时，函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴f(x)max＝f(1)＝－e.
令g(x)＝ eq \f(ex,x)－2e(x>0)，则g′(x)＝ eq \f((x－1)ex,x2)，
∴当x∈(0，1)时，g′(x)0，函数g(x)单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝－e，
∴当x>0，a＝e时，f(x)－ eq \f(ex,x)＋2e≤0.