2025高考数学一轮复习-4.8-余弦定理、正弦定理的综合应用-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-4.8-余弦定理、正弦定理的综合应用-专项训练【含答案】，共10页。
1．一艘游船从海岛A出发，沿南偏东20°的方向航行8海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东40°的方向航行16海里后到达海岛C.若游船从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的路程为( )
A.12海里 B．8 eq \r(7)海里
C.8 eq \r(5－2\r(3))海里 D．8 eq \r(3)海里
2．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为( eq \r(2)≈1.4， eq \r(3)≈1.7)( )
A.7 350 m B．2 650 m
C.3 650 m D．4 650 m
3．我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的视角为∠BPC，且tan ∠BPC＝ eq \f(1,3).已知地面上三处受灾点B，C，D共线，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1 km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测距离PD的长度是( )
A. eq \r(2) km B．2 km
C. eq \r(3) km D．4 km
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B＋sin C＝2sin A，则A的最大值为( )
A. eq \f(2π,3) B． eq \f(π,6)
C. eq \f(π,2) D． eq \f(π,3)
5．2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单．某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场A地测得纪念塔顶D的仰角为45°，乙同学在二七广场B地测得纪念塔顶D的仰角为30°，塔底为C(A，B，C在同一水平面上，DC⊥平面ABC)，测得AB＝63 m，∠ACB＝30°，则纪念塔的高CD为( )
A.40 m B．63 m
C.40 eq \r(3)m D．63 eq \r(3)m
6．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，c cs B＋(2a＋b)cs C＝0.若△ABC的外接圆面积为π，则△ABC周长的最大值是________．
7．2022年4月16日，搭载着3名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十三号返回任务取得圆满成功．假设返回舱D垂直下落于点C，某时刻地面上点A，B观测点观测到点D的仰角分别为45°，75°，若A，B间距离为10千米(其中向量 eq \(CA,\s\up6(→))与 eq \(CB,\s\up6(→))同向)，试估算该时刻返回舱距离地面的距离CD约为________千米(结果保留整数，参考数据： eq \r(3)≈1.732).
8．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为夹角为120°的公路(长度均超过4千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM＝5千米，AN＝3千米．若∠MPN＝60°，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为________千米．
9．已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．若sin A sin B sin C＝ eq \f(\r(3),2)(sin2A＋sin2B－sin2C).
(1)求sinC；
(2)若c＝ eq \r(3)，求△ABC周长的取值范围．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．数学必修第二册介绍了海伦和秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝ eq \r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋c2－b2,2)))\s\up12(2))))，其中a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．若 eq \f(1－\r(3)cs B,\r(3)sin B)＝ eq \f(1,tan C)，b＝2，则△ABC面积S的最大值为( )
A. eq \r(3) B． eq \r(5)
C.2 D． eq \r(2)
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b sin eq \f(B＋C,2)＝a sin B，a＝ eq \r(2)，则△ABC周长的最大值为________．
3．在平面内，四边形ABCD的∠ABC与∠ADC互补，DC＝1，BC＝ eq \r(3)，∠DAC＝30°，求四边形ABCD面积的最大值．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：根据题意知，在△ABC中，∠ABC＝20°＋40°＝60°，AB＝8海里，BC＝16海里，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cs ∠ABC＝82＋162－2×8×16× eq \f(1,2)＝192，
∴AC＝8 eq \r(3)海里．
答案：D
2．解析：如图，设飞机的初始位置为点A，经过420 s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，
则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°.
在△ABC中，AB＝50×420＝21 000(m)，
由正弦定理得 eq \f(AB,sin ∠ACB)＝ eq \f(BC,sin ∠BAC)，
则BC＝ eq \f(21 000,\f(1,2))×sin 15°＝10 500( eq \r(6)－ eq \r(2))(m).
因为CD⊥AB，
所以CD＝BC sin 45°＝10 500( eq \r(6)－ eq \r(2))× eq \f(\r(2),2)＝10 500( eq \r(3)－1)≈7 350(m)，
所以山顶的海拔高度大约为10 000－7 350＝2 650(m).
答案：B
3．解析：法一：由题意得BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.设PD＝x，记∠PBD＝α，∠PCD＝β，
∴tan α＝ eq \f(x,2)，tan β＝x，
∴tan ∠BPC＝tan (β－α)＝ eq \f(x－\f(x,2),1＋x·\f(x,2))＝ eq \f(x,x2＋2)＝ eq \f(1,3)，解得x＝1或x＝2.
又在Rt△PDA中，x>1，∴x＝2.
法二：由题意知BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.设PA＝x，则PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.
由tan ∠BPC＝ eq \f(1,3)，可得cs ∠BPC＝ eq \f(3\r(10),10).
在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2 eq \r(x2＋5)· eq \r(x2＋2)· eq \f(3\r(10),10)，解得x2＝3，进而PD＝ eq \r(x2＋1)＝2.
答案：B
4．解析：因为sin B＋sin C＝2sin A，则由正弦定理得b＋c＝2a.
因为b2＋c2≥ eq \f((b＋c)2,2)＝2a2，bc≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b＋c,2))) eq \s\up12(2)＝a2，
所以cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)≥ eq \f(a2,2bc)≥ eq \f(1,2)，
当且仅当b＝c时，等号成立，
所以A的最大值为 eq \f(π,3).
答案：D
5．解析：如图所示，∠DAC＝45°，∠CBD＝30°，∠ACB＝30°，设塔高CD为t，因为DC⊥平面ABC，所以DC⊥CA，DC⊥CB，
所以AC＝t，BC＝ eq \r(3)t.又AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs ∠ACB，
即632＝t2＋3t2－2× eq \r(3)t×t× eq \f(\r(3),2)，
解得t＝63 m．
答案：B
6．解析：c cs B＋(2a＋b)cs C＝0，
由正弦定理得sin C cs B＋(2sin A＋sin B)cs C＝0，
即sin C cs B＋sin B cs C＋2sin A cs C＝0，
所以sin (B＋C)＋2sin A cs C＝0，即sin A(1＋2cs C)＝0.
因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，
所以cs C＝－ eq \f(1,2).
因为C∈(0，π)，所以C＝ eq \f(2π,3).
因为△ABC的外接圆面积为π，所以△ABC的外接圆半径为1，
所以由正弦定理得 eq \f(c,sin C)＝ eq \f(c,sin \f(2π,3))＝2，解得c＝ eq \r(3).
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cs eq \f(2π,3)＝(a＋b)2－ab＝3，则ab＝(a＋b)2－3，
由基本不等式得ab≤ eq \f((a＋b)2,4)，当且仅当a＝b时等号成立，
所以(a＋b)2－3≤ eq \f((a＋b)2,4)，解得a＋b≤2，所以△ABC周长的最大值是2＋ eq \r(3).
答案：2＋ eq \r(3)
7．解析：在△ABD中，A＝45°，∠ABD＝180°－75°＝105°，∠ADB＝30°，
由正弦定理得 eq \f(AB,sin 30°)＝ eq \f(AD,sin 105°)，
AD＝20×sin 105°＝20×sin (60°＋45°)＝20×(sin 60°cs 45°＋cs 60°sin 45°)＝5( eq \r(6)＋ eq \r(2))，
所以CD＝AD× eq \f(\r(2),2)＝5( eq \r(6)＋ eq \r(2))× eq \f(\r(2),2)＝5 eq \r(3)＋5≈14(千米).
答案：14
8．解析：在△AMN中，由余弦定理得，
MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN cs 120°＝25＋9－2×5×3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝49，
所以MN＝7千米．
设∠PMN＝α，
因为∠MPN＝60°，所以∠PNM＝120°－α，0°