2025高考数学一轮复习-7.3-空间点、直线、平面之间的位置关系-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.3-空间点、直线、平面之间的位置关系-专项训练【含答案】，共9页。
1．(多选)下列命题中正确的是( )
A．梯形的四个顶点共面
B．经过两条平行直线确定一个平面
C．空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
D．四边形确定一个平面
2．下列推断中错误的是( )
A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
3．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中的真命题是( )
A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
4．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
5．如图所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是( )
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
6．在四棱锥P­ABCD中，所有侧棱长都为4 eq \r(2)，底面是边长为2 eq \r(6)的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
7．(多选)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列四个命题中正确的是( )
A．BM与ED平行
B．CN与BE是异面直线
C．CN与BM成60°角
D．DM与BN垂直
8．(多选)关于正方体ABCD­A1B1C1D1有如下四个说法，其中正确的是( )
A．若点P在直线BC1上运动时，三棱锥A­D1PC的体积不变
B．若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是直线A1D1
C．若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与DC所成角的范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
D．若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与D1C所成的角一定是锐角
9．在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有________条．
10．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
11．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行．设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cs θ＝________．
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1．(多选)已知直线l与平面α相交于点P，则下列说法正确的是( )
A．α内不存在直线与l平行
B．α内有无数条直线与l垂直
C．α内所有直线与l是异面直线
D．至少存在一个过l且与α垂直的平面
2．我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC­A1B1C1所得截面图形的面积为________．
3．如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，ED∥PA，且PA＝ eq \r(3)ED＝ eq \r(3)AB.现将△CDE以直线DE为轴旋转一周后，则直线BP与动直线CE所成角的范围是________．
4．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝ eq \f(π,2)，AB＝2，AC＝2 eq \r(3)，PA＝2.求：
(1)三棱锥P­ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
5．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，E为AB的中点，PE⊥平面ABCD.
(1)若△PAB为等边三角形，求四棱锥P­ABCD的体积；
(2)若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成的角为45°，求PC与AD所成角的正切值．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：显然选项A正确；
对于选项B，两条平行直线确定唯一一个平面，故选项B正确；
对于选项C，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项C错误；
对于选项D，因为空间四边形不在一个平面内，故选项D错误．
答案：AB
2．解析：对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，则α∩β＝AB，B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但可能A∈α，C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D正确．
答案：C
3．解析：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．
答案：C
4．解析：由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β.又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.
答案：C
5．解析：连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．同理，A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．
∴A，M，O三点共线．
答案：A
6．解析：如图，由题意可知O是正方形ABCD的中心，
取N为OC的中点，连接MN，OB，所以OP∥MN，
则∠BMN是异面直线OP与BM所成的角．
因为OP⊥平面ABCD，
所以MN⊥平面ABCD.
因为在四棱锥P­ABCD中，所有侧棱长都为4 eq \r(2)，底面是边长为2 eq \r(6)的正方形，
所以OC＝2 eq \r(3)，所以OP＝ eq \r(32－12)＝2 eq \r(5)，
因此MN＝ eq \r(5).
在Rt△BON中，BN＝ eq \r(OB2＋ON2)＝ eq \r(15)，
所以tan ∠BMN＝ eq \f(BN,MN)＝ eq \r(3)，∴∠BMN＝60°，
则异面直线OP与BM所成的角为60°.
答案：C
7．解析：由题意画出正方体的图形如图，
显然A，B不正确；
∠ANC＝60°，即CN与BM成60°角，C正确；
因为BC⊥DM，CN⊥DM，BC∩CN＝C，BC，CN⊂平面BCN，所以DM⊥平面BCN.又BN⊂平面BCN，所以DM⊥BN，所以D正确．
答案：CD
8．解析：对于A，由BC1∥AD1，可得BC1∥平面AD1C，
则P到平面AD1C的距离不变，
由△AD1C的面积为定值，
可知点P在直线BC1上运动时，三棱锥A­D1PC的体积不变，故A正确；
对于B，若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，
则P点的轨迹是平面A1BCD1与平面A1B1C1D1的交线A1D1，故B正确；
对于C，直线AP与DC所成角即为∠PAB，当P与C1重合时，∠PAB最大，最大值为arctan eq \r(2)＜ eq \f(π,3)，故C错误；
对于D，当P与C1重合时，AP与D1C所成的角为 eq \f(π,2)，故D错误．
所以其中说法正确的是A，B.
答案：AB
9．解析：如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条．
答案：6
10．解析：因为AB∥CD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四个侧面相交．
答案：4
11．解析：如图所示，设正方体的表面ABB1A1的中心为点P，容易证明OP∥A1D，所以直线l即为直线OP，∠POC1＝θ或π－θ.
设正方体的棱长为2，则OP＝ eq \f(1,2)A1D＝ eq \r(2)，OC1＝ eq \r(6)，PC1＝ eq \r(6)，
则cs θ＝|cs ∠POC1|＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2＋6－6,2×\r(2)×\r(6))))＝ eq \f(1,2\r(3))＝ eq \f(\r(3),6).
答案： eq \f(\r(3),6)
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1．解析：如图，对于A，直线l与平面α相交于点P，所以平面α内不存在直线与l平行，故A正确；
对于B，平面α内存在与l在平面α的射影PO垂直的直线n，平面α内与n平行的直线都与l垂直，有无数条，故B正确；
对于C，平面α内过点P的直线m与直线l相交，不是异面直线，故C错误；
对于D，取直线l上除斜足外一点A，过该点作平面α的垂线AO，则平面POA垂直于平面α，故D正确．
答案：ABD
2．解析：延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC­A1B1C1所得截面图形．
由题意，解三角形可得NE＝ME＝ eq \f(\r(17),3)，
AM＝AN＝ eq \r(5)，MN＝ eq \r(6)，
∴△AMN中MN边上的高h1＝ eq \r((\r(5))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(14),2)，
△EMN中MN边上的高h2＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(17),3)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(14),6).
∴AMN截“堑堵”ABC­A1B1C1所得截面图形的面积
S＝S△AMN＋S△EMN＝ eq \f(1,2)MN·(h1＋h2)＝ eq \f(1,2)× eq \r(6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(14),2)＋\f(\r(14),6)))＝ eq \f(2\r(21),3).
答案： eq \f(2\r(21),3)
3．解析：如图所示，将PB平移到EB1的位置，C1点在以D为圆心、半径为1的圆上运动，
则∠B1EC1就是所求的角，根据三角形中，大角对大边，EB1，EC1为定值，故最值由B1C1来确定，故当C1在C处线线角最小，在C2处线线角最大．由于PA＝ eq \r(3)ED＝ eq \r(3)AB，故∠PBA＝∠EB1D＝ eq \f(π,3).而DE＝DC＝1，故∠ECD＝ eq \f(π,4)，所以∠CEB1＝ eq \f(π,3)－ eq \f(π,4)＝ eq \f(π,12).而∠EC2D＝∠ECD＝ eq \f(π,4)，故∠B1EC2＝π－ eq \f(π,4)－ eq \f(π,3)＝ eq \f(5π,12).所以所求线线角的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(5π,12))).
答案： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(5π,12)))
4．解：(1)S△ABC＝ eq \f(1,2)×2×2 eq \r(3)＝2 eq \r(3)，三棱锥P­ABC的体积为V＝ eq \f(1,3)S△ABC·PA＝ eq \f(1,3)×2 eq \r(3)×2＝ eq \f(4\r(3),3).
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，
所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝ eq \r(2)，AD＝2，
cs ∠ADE＝ eq \f(AD2＋DE2－AE2,2×AD×DE)＝ eq \f(22＋22－2,2×2×2)＝ eq \f(3,4).
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为 eq \f(3,4).
5．解：(1)∵正方形ABCD的边长为4，且△PAB为等边三角形，E为AB的中点，
∴PE＝PB·sin ∠PBE＝AB·sin 60°＝2 eq \r(3).
又PE⊥平面ABCD，
∴四棱锥P­ABCD的体积VP­ABCD＝ eq \f(1,3)×42×2 eq \r(3)＝ eq \f(32\r(3),3).
(2)如图，连接EF，
∵AD∥BC，
∴∠PCB即PC与AD所成的角．
∵PE⊥平面ABCD，EF，BC⊂平面ABCD，
∴PE⊥EF，PE⊥BC.
又PF与平面ABCD所成角为45°，
即∠PFE＝45°，
∴PE＝EF·tan ∠PFE＝4，
∴PB＝ eq \r(PE2＋BE2)＝ eq \r(42＋22)＝2 eq \r(5).
又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE，AB⊂平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.
又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，
∴tan ∠PCB＝ eq \f(PB,BC)＝ eq \f(\r(5),2)，
∴PC与AD所成角的正切值为 eq \f(\r(5),2)。