2025高考数学一轮复习-8.1-直线的倾斜角与斜率、直线的方程-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.1-直线的倾斜角与斜率、直线的方程-专项训练【含答案】，共8页。
1．若直线l的方程为x＝－3，则直线l的倾斜角是( )
A． eq \f(π,2) B． eq \f(π,4)
C．π D．0
2．已知A(1，－3)，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(1,2)))，C(9，λ)，且A，B，C三点共线，则λ＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
3．若AB＞0且BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
5．过点A(－1，1)的直线l的倾斜角是直线l1： eq \r(3)x－y＋1＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程是( )
A． eq \r(3)x－y＋ eq \r(3)＋1＝0
B． eq \r(3)x＋y＋ eq \r(3)－1＝0
C． eq \r(3)x－3y＋ eq \r(3)＋3＝0
D． eq \r(3)x＋3y＋ eq \r(3)－3＝0
6．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距2倍的直线方程是( )
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0
7．(多选)已知直线l：x＝my＋1，则下列结论正确的是( )
A．直线l恒过定点(1，0)
B．直线l的斜率必定存在
C．m＝ eq \r(3)时，直线l的倾斜角为60°
D．m＝2时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 eq \f(1,4)
8．(多选)已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，下列判断正确的是( )
A．若ab＞0，则l的斜率小于0
B．若b＝0，a≠0，则l的倾斜角为90°
C．l可能经过坐标原点
D．若a＝0，b≠0，则l的倾斜角为0°
9．已知点A(1，3)，B(－2，－1)，若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是________．
10．如果直线x－4y＋b＝0的纵截距为正，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则b＝________．
11．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．
12．已知直线x＋ky－2－k＝0恒过定点A，则A点的坐标为________；若点A在直线mx－y＋n＝0(m，n＞0)上，则 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)的最小值为________．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))
C． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))
2．(多选)已知直线x sin α＋y cs α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
3．已知方程kx＋3－2k＝ eq \r(4－x2)有两个不同的解，则实数k的取值范围为( )
A． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))) B． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,12)，\f(3,4)))
C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,12)，1)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,12)，\f(3,4)))
4．已知直线l的斜率为 eq \r(3)，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝ eq \r(3)x＋2 B．y＝ eq \r(3)x－2
C．y＝ eq \r(3)x＋ eq \f(1,2) D．y＝－ eq \r(3)x＋2
5．(多选)在下列四个命题中，错误的有( )
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线倾斜角的取值范围是[0，π]
C．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α或不存在
6．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．
7．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为________．
8．设m∈R，若过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
9．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝ eq \f(1,2)x上时，则直线AB的方程是________．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：∵直线l的方程为x＝－3，
∴直线与x轴垂直，∴直线l的倾斜角是 eq \f(π,2).
答案：A
2．解析：∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，
即 eq \f(\f(1,2)＋3,8－1)＝ eq \f(λ＋3,9－1)，解得λ＝1.
答案：C
3．解析：∵AB＞0且BC＜0，∴－ eq \f(A,B)＜0，－ eq \f(C,B)＞0，直线y＝－ eq \f(A,B)x－ eq \f(C,B)的斜率小于零，在y轴上的截距大于零，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
答案：C
4．解析：设直线l的倾斜角为α，
则tan α＝k＝2，
直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，
所得直线的斜率k′＝tan (α＋45°)＝ eq \f(2＋1,1－2×1)＝－3.
又过点M(2，0)，
所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.
答案：D
5．解析：因为k1＝tan α＝ eq \r(3)，α＝60°，
所以k＝tan 120°＝－ eq \r(3)，
所以直线l的方程是y－1＝－ eq \r(3)(x＋1)，
即 eq \r(3)x＋y＋ eq \r(3)－1＝0.
答案：B
6．解析：当直线过原点时，由直线过点(5，2)，
可得直线的斜率为 eq \f(2,5)，
故直线的方程为y＝ eq \f(2,5)x，即2x－5y＝0；
当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为b，
则在y轴上的截距是2b，直线的方程为 eq \f(x,b)＋ eq \f(y,2b)＝1，
把点(5，2)代入可得 eq \f(5,b)＋ eq \f(2,2b)＝1，解得b＝6.
故直线的方程为 eq \f(x,6)＋ eq \f(y,12)＝1，
即2x＋y－12＝0.
答案：B
7．解析：A中，由直线方程知，直线恒过定点(1，0)，正确；
B中，当m＝0时，直线斜率不存在，错误；
C中，m＝ eq \r(3)时，直线l：y＝ eq \f(\r(3),3)(x－1)，
则直线l的斜率为 eq \f(\r(3),3)，倾斜角为30°，错误；
D中，m＝2时，直线l：x＝2y＋1，则直线l与x轴，y轴的交点分别为(1，0)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 eq \f(1,4)，正确．
答案：AD
8．解析：若ab＞0，则l的斜率－ eq \f(a,b)＜0，故A正确；若b＝0，a≠0，则l的方程为x＝ eq \f(2,a)，其倾斜角为90°，故B正确；若l经过坐标原点，则－2＝0，显然不成立，故C错误；若a＝0，b≠0，则l的方程为y＝ eq \f(2,b)，
其倾斜角为0°，故D正确．
答案：ABD
9．解析：直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)，
∵kPA＝ eq \f(3－1,1－2)＝－2，kPB＝ eq \f(－1－1,－2－2)＝ eq \f(1,2)，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，
∴－2≤k≤ eq \f(1,2).
答案： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))
10．解析：由题意，知直线的方程为y＝ eq \f(1,4)x＋ eq \f(b,4)(b＞0)，
它与两坐标轴的交点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,4)))和(－b，0)，
它与两坐标轴围成的三角形的面积为 eq \f(1,2)× eq \f(b,4)×b＝8，解得b＝8.
答案：8
11．解析：BC的中点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，
∴BC边上中线所在的直线方程为 eq \f(y－0,－\f(1,2)－0)＝ eq \f(x＋5,\f(3,2)＋5)，
即x＋13y＋5＝0.
答案：x＋13y＋5＝0
12．解析：将直线方程变形得x－2＋k(y－1)＝0，
由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－1＝0，,x－2＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))定点A的坐标为(2，1).
由于点A在直线mx－y＋n＝0上，
则有2m－1＋n＝0，所以2m＋n＝1，
所以 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)＝(2m＋n) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝3＋ eq \f(2m,n)＋ eq \f(n,m)≥3＋2 eq \r(\f(2m,n)·\f(n,m))＝3＋2 eq \r(2)，当且仅当 eq \f(2m,n)＝ eq \f(n,m)，即当且仅当n＝ eq \r(2)m时等号成立．
答案：(2，1) 3＋2 eq \r(2)
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1．解析：直线的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1.
∵a2≥0，
∴k＝a2－1≥－1.
倾斜角和斜率的关系如图所示，
∴该直线倾斜角的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
答案：C
2．解析：根据直线倾斜角的范围为[0，π)，
而π－α∈R，A不正确；
当x＝y＝0时，x sin α＋y cs α＋1＝1≠0，
所以直线必不过原点，B正确；
当α＝ eq \f(π,2)时，直线斜率不存在，C不正确；
当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为
S＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,－sin α)))· eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,－cs α)))＝ eq \f(1,|sin 2α|)≥1，D正确．
答案：BD
3．解析：由题意得，半圆y＝ eq \r(4－x2)与直线y＝kx＋3－2k有两个交点．又直线y＝kx＋3－2k⇒y－3＝k(x－2)过定点C(2，3)，如图所示．又点A(－2，0)，B(2，0)，当直线在AC位置时，斜率k＝ eq \f(3－0,2＋2)＝ eq \f(3,4)；当直线和半圆相切时，由2＝ eq \f(|0－0－2k＋3|,\r(k2＋1))，解得k＝ eq \f(5,12)，故实数k的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,12)，\f(3,4))).
答案：B
4．解析：直线x－2y－4＝0的斜率为 eq \f(1,2)，∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝ eq \r(3)x＋2.
答案：A
5．解析：对于A，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，∴A错误；
对于B，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，∴B错误；
对于C，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，∴C错误．
答案：ABC
6．解析：依题意，直线的斜率k＝－ eq \f(1,a2＋1)∈[－1，0)，
因此其倾斜角的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
答案： eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
7．解析：由题知M(2，4)，N(3，2)，
故中位线MN所在直线的方程为 eq \f(y－4,2－4)＝ eq \f(x－2,3－2)，
整理得2x＋y－8＝0.
答案：2x＋y－8＝0
8．解析：易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m取何值，两动直线都垂直，所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上)，所以|PA|·|PB|≤ eq \f(1,2)(|PA|2＋|PB|2)＝5，当且仅当|PA|＝|PB|＝ eq \r(5)时等号成立．
答案：5
9．解析：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan (180°－30°)＝－ eq \f(\r(3),3)，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－ eq \f(\r(3),3)x.
设A(m，m)，B(－ eq \r(3)n，n)，
所以AB的中点C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2))).
由点C在直线y＝ eq \f(1,2)x上，且A，P，B三点共线得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,(m－0)·(－\r(3)n－1)＝(n－0)·(m－1)，))
解得m＝ eq \r(3)，所以A( eq \r(3)， eq \r(3)).
又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝ eq \f(\r(3),\r(3)－1)＝ eq \f(3＋\r(3),2)，
所以lAB：y＝ eq \f(3＋\r(3),2)(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋ eq \r(3))x－2y－3－ eq \r(3)＝0.
答案：(3＋ eq \r(3))x－2y－3－ eq \r(3)