2025高考数学一轮复习-8.2-直线的交点坐标与距离公式-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.2-直线的交点坐标与距离公式-专项训练【含答案】，共9页。
1．两条直线l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交点坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，3)
C．(3，－2) D．(－3，2)
2．直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a－1)y－1＝0.若l1∥l2，则a的值为( )
A．－3或2 B．3或－2
C．3 D．－2
3．过点P(4，－1)且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是( )
A．4x＋3y－13＝0 B．4x－3y－19＝0
C．3x－4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0
4．若直线a，b的斜率分别为方程x2－4x－1＝0的两个根，则a与b的位置关系为( )
A．互相平行 B．互相重合
C．互相垂直 D．无法确定
5．平面直角坐标系中与直线y＝2x＋1关于点(1，1)对称的直线方程是( )
A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝－2x＋3 D．y＝2x－3
6．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为( )
A．7 B．9
C．11 D．－7
7．(多选)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( )
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则m＝－ eq \f(1,2)
D．若l1⊥l2，则m＝ eq \f(1,2)
8．(多选)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是( )
A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)
C．不论a为何值时，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是 eq \r(2)
9．直线l1：x＋ay－2＝0(a∈R)与直线l2：y＝ eq \f(3,4)x－1平行，则a＝________，l1与l2的距离为________．
10．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．若点A(5，0)到直线l的距离为3，则l的方程为________．
11．已知点P1(2，3)，P2(－4，5)和A(－1，2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为________________．
12．已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为______________．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，若直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )
A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0
C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0
2．(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝ eq \f(ax0＋by0＋c,\r(a2＋b2)).已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题不正确的是( )
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为( )
A． eq \r(5) B． eq \r(6)
C．2 eq \r(3) D．2 eq \r(5)
4．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
5．若m∈R，则“lg6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知两条直线l1：(3＋t)x＋4y＝5－3t，l2：2x＋(5＋t)y＝8，l1∥l2，则t＝________．
7．若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为 eq \f(2\r(13),13)，则c的值是________．
8．若△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________．
9．已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为________．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,3x＋2y－12＝0，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，))
所以两条直线的交点坐标为(2，3).
答案：A
2．解析：∵直线l1：ax＋3y＋1＝0，
l2：2x＋(a－1)y－1＝0，l1∥l2，
∴a(a－1)－2×3＝0，且－a－2≠0，∴a＝3.
答案：C
3．解析：与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程可设为4x＋3y＋m＝0.
把点P(4，－1)代入得4×4－3＋m＝0，
解得m＝－13.
所以满足条件的直线方程为4x＋3y－13＝0.
答案：A
4．解析：由根与系数的关系得ka·kb＝－1，则a与b互相垂直．
答案：C
5．解析：在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0，1)，B(1，3)，
则点A关于点(1，1)对称的点M(2，1)，B关于点(1，1)对称的点N(1，－1).
由两点式求出直线MN的方程 eq \f(y＋1,1＋1)＝ eq \f(x－1,2－1)，
即y＝2x－3.
答案：D
6．解析：直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，则m＝10，
故(t，1)在直线2x＋5y－3＝0上，t＝－1，
垂足为(－1，1)，点(－1，1)在5x－2y＋n＝0上，
∴－5－2＋n＝0，∴n＝7.
答案：A
7．解析：若l1∥l2，则1×3－m(m－2)＝0，
解得m＝3或－1，
当m＝－1时，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1与l2重合，
∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故A不正确，B正确；
若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0，
解得m＝ eq \f(1,2)，故C不正确，D正确．
答案：BD
8．解析：对于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；
对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，所以l1恒过定点A(0，1)；
l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，所以l2恒过定点B(－1，0)，故B正确；
对于C，在l1上任取点(x，ax＋1)，关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为(－ax－1，－x)，
代入l2：x＋ay＋1＝0，则等式左边不等于0，故C不正确；
对于D，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax－y＋1＝0，,x＋ay＋1＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(－a－1,a2＋1)，,y＝\f(－a＋1,a2＋1)，))
所以|MO|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－a－1,a2＋1)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－a＋1,a2＋1)))\s\up12(2))＝ eq \r(\f(2,a2＋1))≤ eq \r(2)，
所以|MO|的最大值是 eq \r(2)，故D正确．
答案：ABD
9．解析：由题可知直线l1的斜率为－ eq \f(1,a)(a≠0)，
直线l2的斜率为 eq \f(3,4)，所以－ eq \f(1,a)＝ eq \f(3,4)，
解得a＝－ eq \f(4,3)，
则直线l1：3x－4y－6＝0，
直线l2：3x－4y－4＝0，
两直线间的距离d＝ eq \f(|－6＋4|,\r(32＋(－4)2))＝ eq \f(2,5).
答案：－ eq \f(4,3) eq \f(2,5)
10．解析：法一：两直线交点为(2，1)，
当斜率不存在时，所求直线方程为x－2＝0，
此时A到直线l的距离为3，符合题意；
当斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－1＝k(x－2)，
即kx－y＋(1－2k)＝0.
由点到直线的距离公式得d＝ eq \f(|5k＋1－2k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝ eq \f(4,3)，
故所求直线方程为4x－3y－5＝0.
综上，所求直线方程为x－2＝0或4x－3y－5＝0.
法二：经过两直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以 eq \f(|10＋5λ－5|,\r((2＋λ)2＋(1－2λ)2))＝3，
解得λ＝2或 eq \f(1,2).
所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
答案：x＝2或4x－3y－5＝0
11．解析：当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时，
由直线P1P2的斜率k＝ eq \f(3－5,2＋4)＝－ eq \f(1,3)，
得所求直线的方程为y－2＝－ eq \f(1,3)(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当直线过线段P1P2的中点时，
因为线段P1P2的中点坐标为(－1，4)，
所以直线方程为x＝－1.
综上，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
答案：x＋3y－5＝0或x＝－1
12．解析：易得A不在l1和l2上，
因此l1，l2为∠B，∠C的平分线，
所以点A关于l1，l2的对称点在BC边所在的直线上．
设点A关于l1的对称点为A1(x1，y1)，
点A关于l2的对称点为A2(x2，y2)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4＋x1,2)－\f(y1－1,2)－1＝0，,\f(y1＋1,x1－4)·1＝－1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝0，,y1＝3，))
所以A1(0，3).
又易得点A关于l2的对称点A2的坐标为(－2，－1)，
所以BC边所在直线的方程为 eq \f(y－3,－1－3)＝ eq \f(x－0,－2－0)，
即2x－y＋3＝0.
答案：2x－y＋3＝0
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．解析：设A(a，b)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b＋1,a－1)＝－1，,\f(b－1,2)＝\f(a＋1,2)，))
解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1，))所以A(－1，1).
设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，
当d＝|AB|时取得最大值，
此时直线l2垂直于直线AB，
所以直线l2的斜率k＝－ eq \f(1,kAB)＝－ eq \f(1,\f(－1－1,2＋1))＝ eq \f(3,2)，
所以直线l2的方程为y－1＝ eq \f(3,2)(x＋1)，
即3x－2y＋5＝0.
答案：B
2．解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
对于A，若d1＝d2＝1，
则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝ eq \r(a2＋b2)，
直线P1P2与直线l平行，正确；
对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，直线P1P2不一定与l垂直，错误；
对于C，若d1＝d2＝0，满足d1＋d2＝0，
即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，
则点P1，P2都在直线l上，
所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；
对于D，若d1·d2≤0，
即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，
所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，
所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．
答案：BCD
3．解析：联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x＋y＝3，))解得x＝1，y＝2.
把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.
∴m＝－5－2n.
∴点(m，n)到原点的距离
d＝ eq \r(m2＋n2)＝ eq \r((5＋2n)2＋n2)
＝ eq \r(5(n＋2)2＋5)≥ eq \r(5)，
当n＝－2，m＝－1时取等号．
∴点(m，n)到原点的距离的最小值为 eq \r(5).
答案：A
4．解析：因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线．
又A(1，0)，B(0，2)，
故AB的中点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，kAB＝－2，
故AB的中垂线方程为y－1＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
即2x－4y＋3＝0.
答案：B
5．解析：由lg6m＝－1，得m＝ eq \f(1,6).若l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则直线斜率相等或斜率不存在，解得m＝0或m＝ eq \f(1,6)，则“lg6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的充分不必要条件．
答案：A
6．解析：∵l1∥l2，∴ eq \f(3＋t,2)＝ eq \f(4,5＋t)≠ eq \f(5－3t,8)，解得t＝－7.
答案：－7
7．解析：由题意得 eq \f(3,6)＝ eq \f(－2,a)≠ eq \f(－1,c)，
∴a＝－4，c≠－2，
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋ eq \f(c,2)＝0.
由两平行线间的距离公式得 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)＋1)),\r(13))＝ eq \f(2\r(13),13)，
即 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)＋1))＝2，解得c＝2或c＝－6.
答案：2或－6
8．解析：BH所在直线方程为x－2y－5＝0，
设AC的方程为2x＋y＋t＝0，且过A(5，1)，
代入解得t＝－11.
联立AC与CM的方程得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0，))解得C(4，3).
设B(2m＋5，m)，则M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m＋10,2)，\f(m＋1,2)))，
即2m＋10－ eq \f(m＋1,2)－5＝0，
解得m＝－3，则B(－1，－3)，
所以BC的方程为 eq \f(y＋3,3＋3)＝ eq \f(x＋1,4＋1)，
即6x－5y－9＝0.
答案：6x－5y－9＝0
9．解析：设点A1与A关于直线l对称，
P0为A1B与直线l的交点，
∴|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|.
在△A1PB中，|PA1|＋|PB|>|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|，
∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|.
当P点运动到P0时，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|.
设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，
则由对称的充要条件知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y1＋1,x1－4)·1＝－1，,\f(x1＋4,2)－\f(y1－1,2)－1＝0，))
解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝0，,y1＝3，))∴A1(0，3)，
∴(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝ eq \r(82＋(－1)2)＝ eq \r(65).
答案： eq \r(65)