2025高考数学一轮复习-8.4-直线与圆的位置关系-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.4-直线与圆的位置关系-专项训练【含答案】，共9页。
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
2．若圆C：x2＋y2－2x＋2y＝2与直线x－y＋a＝0有公共点，则a的取值范围是( )
A．[－2 eq \r(2)－2，2 eq \r(2)－2] B．[－2 eq \r(2)－2，2 eq \r(2)－2)
C．(－2 eq \r(2)－2，2 eq \r(2)－2) D．[－2 eq \r(2)－2，2 eq \r(2)]
3．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为 eq \r(2)的点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝R2(R＞0)，点A(0，2)，B(2，0)，则“R2＞8”是“直线AB与圆C有公共点”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
5．已知圆O：x2＋y2＝4，点P(1，1)，圆O内过点P的最长弦为AB，最短弦为CD，则( eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→)))· eq \(CD,\s\up6(→))的值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
6．过点P(1， eq \r(3))作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则弦长|AB|＝( )
A． eq \r(3) B．2
C． eq \r(2) D．4
7．若圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的弦MN的中点为A(2，－3)，则直线MN的方程是________________．
8．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________________．
9．已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为 eq \f(8,5)”的m的一个值________．
10．设P为直线l：x－y＝0上的动点，PA，PB为圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，A，B为切点，求：
(1)圆心到直线l的距离；
(2)四边形APBC的面积的最小值．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．过直线x－y－m＝0上一点P作圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1的两条切线，切点分别为A，B.若使得四边形PAMB的面积为 eq \r(7)的点P有两个，则实数m的取值范围为( )
A．－5＜m＜3 B．－3＜m＜5
C．m＜－5或m＞3 D．m＜－3或m＞5
2．(多选)已知O为坐标原点，圆Ω：(x－cs θ)2＋(y－sin θ)2＝1，则下列结论正确的是( )
A．圆Ω恒过原点O
B．圆Ω与圆x2＋y2＝4内切
C．直线x＋y＝ eq \f(3\r(2),2)被圆Ω所截得弦长的最大值为 eq \r(3)
D．直线x cs α＋y sin α＝0与圆Ω相离
3．(多选)已知圆C：x2＋y2－4y＋3＝0，一条光线从点P(2，1)射出经x轴反射，下列结论正确的是( )
A．圆C关于x轴的对称圆的方程为x2＋y2＋4y＋3＝0
B．若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为3x－2y－4＝0
C．若反射光线与圆C相切于点A，与x轴相交于点B，则|PB|＋|BA|＝2
D．若反射光线与圆C交于M，N两点，则△CNM面积的最大值为 eq \f(1,2)
4．直线x－ eq \r(3)y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3)
C． eq \f(π,2) D． eq \f(2π,3)
5．过点A(a，0)(a>0)，且倾斜角为30°的直线与圆O：x2＋y2＝r2(r>0)相切于点B，且|AB|＝ eq \r(3)，则△OAB的面积是( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(3),2)
C．1 D．2
6．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为________________．
7．已知圆E：x2＋y2－2x＝0，若A为直线l：x＋y＋m＝0上的点，过点A可作两条直线与圆E分别切于点B，C，且△ABC为等边三角形，则实数m的取值范围是________________．
8．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________________．
9．过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：由题意，知圆心(0，1)到直线l的距离
d＝ eq \f(|m|,\r(m2＋1))＜1＜ eq \r(5)，故直线l与圆相交．
答案：A
2．解析：由圆的方程可得圆心为C(1，－1)，半径r＝2.
因为直线与圆C有交点，
所以圆心C到直线x－y＋a＝0的距离d小于等于半径，即d＝ eq \f(|1＋1＋a|,\r(2))≤2，
解得－2 eq \r(2)－2≤a≤2 eq \r(2)－2.
答案：A
3．解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝ eq \f(|－1－2＋1|,\r(2))＝ eq \r(2)，半径是2 eq \r(2)，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点．
答案：C
4．解析：因为A(0，2)，B(2，0)，
所以直线AB的方程为 eq \f(x,2)＋ eq \f(y,2)＝1，
即x＋y－2＝0.
圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝R2的圆心为(3，3)，半径为R，
所以圆心到直线AB的距离d＝ eq \f(|3＋3－2|,\r(2))＝2 eq \r(2).
当R2＞8，即R＞2 eq \r(2)时，d＜R，
直线AB与圆C相交，故充分性成立；
当直线AB与圆C有公共点时，d≤R，
则R2≥8，故必要性不成立．
综上，“R2＞8”是“直线AB与圆C有公共点”的充分不必要条件．
答案：A
5．解析：由题知线段AB为圆O的直径，
不妨设A(－ eq \r(2)，－ eq \r(2))，B( eq \r(2)， eq \r(2))，
过点P的最短弦CD是垂直于AB的弦，
不妨设C(0，2)，D(2，0)，
则( eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→)))· eq \(CD,\s\up6(→))＝(2＋2 eq \r(2)，2 eq \r(2)－2)·(2，－2)＝4＋4 eq \r(2)－4 eq \r(2)＋4＝8.
答案：C
6．解析：如图所示，
∵PA，PB分别为圆O：x2＋y2＝1的切线，∴OA⊥AP.
∵P(1， eq \r(3))，O(0，0)，
∴|OP|＝ eq \r(1＋3)＝2.
又∵在Rt△APO中，|OA|＝1，cs ∠AOP＝ eq \f(1,2)，
∴∠AOP＝60°，∴|AB|＝2|OA|sin ∠AOP＝ eq \r(3).
答案：A
7．解析：由题意得圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4的圆心为C(1，－2)，
则kAC＝ eq \f(－2－(－3),1－2)＝－1，故kMN＝1，
所以所求方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.
答案：x－y－5＝0
8．解析：点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，
故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，
化为kx－y－2k－3＝0.
∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，
∴圆心(－3，2)到直线的距离d＝ eq \f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，
化为24k2＋50k＋24＝0，
∴k＝－ eq \f(4,3)或－ eq \f(3,4).
答案：－ eq \f(4,3)或－ eq \f(3,4)
9．解析：∵圆心(1，0)到直线x－my＋1＝0的距离d＝ eq \f(2,\r(1＋m2))，∴|AB|＝2 eq \r(4－\f(4,1＋m2))＝ eq \f(4|m|,\r(1＋m2))，
∴S△ABC＝ eq \f(1,2)|AB|·d＝ eq \f(4|m|,1＋m2)＝ eq \f(8,5)，
∴2m2－5|m|＋2＝0，∴|m|＝2或|m|＝ eq \f(1,2)，
∴m＝±2或m＝± eq \f(1,2).
答案：2或－2或 eq \f(1,2)或－ eq \f(1,2)(写出一个即可)
10．解：(1)圆心C(2，0)到直线l的距离为 eq \f(|2－0|,\r(2))＝ eq \r(2).
(2)S四边形APBC＝2S△PAC＝2× eq \f(1,2)·|AC|·|PA|＝ eq \r(|PC|2－1)，要使四边形APBC的面积最小，只需|PC|最小，当PC与直线l垂直时，|PC|取得最小值，为 eq \r(2)，所以四边形APBC的面积的最小值为 eq \r((\r(2))2－1)＝1.
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1．解析：∵A，B两点分别为圆M的切点，
∴△PAM与△PBM是全等的直角三角形，
由题知圆M的圆心为(2，3)，半径为1，
则四边形PAMB的面积为2S△PAM＝2× eq \f(1,2)×1×|PA|＝ eq \r(7)，
即|PA|＝ eq \r(7)，故|PM|＝2 eq \r(2).
∵使得四边形PAMB的面积为 eq \r(7)的点P有两个，
则M到x－y－m＝0的距离d＝ eq \f(|2－3－m|,\r(2))＜2 eq \r(2)，
∴－5＜m＜3.
答案：A
2．解析：对于A，将O(0，0)代入圆Ω的方程，
得cs2θ＋sin2θ＝1恒成立，所以圆Ω恒过原点O，A正确；
对于B，圆Ω的圆心为A(csθ，sin θ)，
半径为1，圆x2＋y2＝4的圆心为B(0，0)，半径为2，
所以|AB|＝1＝2－1，
所以圆Ω与圆x2＋y2＝4内切，B正确；
对于C，点A(cs θ，sin θ)到直线x＋y＝ eq \f(3\r(2),2)的距离为 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs θ＋sin θ－\f(3\r(2),2))),\r(2))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－\f(3,2)))＝ eq \f(3,2)－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，所以直线x＋y＝ eq \f(3\r(2),2)被圆Ω所截得弦长为2 eq \r(1－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))))\s\up12(2))≤2 eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－1))\s\up12(2))＝ eq \r(3)，C正确；
对于D，点A(cs θ，sin θ)到直线x cs α＋y sin α＝0的距离为 eq \f(|cs θcs α＋sin θsin α|,\r(cs2α＋sin2α))
＝|cs(θ－α)|≤1，所以直线x cs α＋y sin α＝0与圆Ω相交或相切，D错误．
答案：ABC
3．解析：将圆C的方程化为标准方程得x2＋(y－2)2＝1，则圆C的圆心为C(0，2)，半径为1.
对于A，因为C(0，2)关于x轴的对称点为
C′(0，－2)，所以圆C关于x轴对称的圆的方程为x2＋(y＋2)2＝1，
即x2＋y2＋4y＋3＝0，故A正确；
对于B，因为反射光线平分圆C的周长，
所以反射光线经过圆心C(0，2)，所以入射光线所在的直线过点(0，－2)，所以入射光线所在直线的方程为y＋2＝ eq \f(1－(－2),2－0)x，
即3x－2y－4＝0，故B正确；
对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点P′(2，－1)，
所以|PB|＋|BA|＝|P′B|＋|BA|＝|P′A|.
因为|P′A|＝ eq \r(|P′C|2－1)＝ eq \r((2－0)2＋(－1－2)2－1)＝2 eq \r(3)，
所以|PB|＋|BA|＝2 eq \r(3)，故C错误；
对于D，设∠CMN＝θ，θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则圆心C(0，2)到直线P′N的距离d＝sin θ，且|MN|＝2cs θ，所以S△CMN＝ eq \f(1,2)d|MN|＝sin θcs θ＝ eq \f(1,2)sin 2θ，当sin 2θ＝1，即θ＝ eq \f(π,4)时，△CNM面积取得最大值 eq \f(1,2)，故D正确．
答案：ABD
4．解析：画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d＝ eq \f(|2|,\r(12＋(\r(3))2))＝1，∴sin ∠AOC＝ eq \f(d,|OC|)＝ eq \f(1,2)，
∴∠AOC＝ eq \f(π,6)，∴∠CAO＝ eq \f(π,6)，
∴∠ACO＝π－ eq \f(π,6)－ eq \f(π,6)＝ eq \f(2π,3).
答案：D
5．解析：由切线的性质可得△ABO是以点B为直角顶点的直角三角形，在Rt△ABO中，∠OAB＝30°，|AB|＝ eq \r(3)，则|OB|＝1，|OA|＝2，△OAB的面积是 eq \f(1,2)×1× eq \r(3)＝ eq \f(\r(3),2).
答案：B
6．解析：圆心到直线的距离为 eq \f(|3×2－4×(－1)＋5|,5)＝3，
则所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝9
7．解析：设圆E的圆心为E，半径为r，圆E：x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心E(1，0)，半径r为1，
由题意知直线l上存在点A，使得 eq \f(r,|AE|)＝sin 30°＝ eq \f(1,2)，
即|AE|＝2r.又因为|AE|≥d(d为圆心到直线l的距离)，故要使点A存在，只需d≤2r＝2，可得 eq \f(|1＋m|,\r(2))≤2，解得m∈[－2 eq \r(2)－1，2 eq \r(2)－1].
答案：[－2 eq \r(2)－1，2 eq \r(2)－1]
8．解析：设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，M的坐标为(3，0)，
则|PQ|即为切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，
|PQ|＝ eq \r(|PM|2－|MQ|2)＝ eq \r(|PM|2－1)，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离．
设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，
则d＝ eq \f(|3－0＋1|,\r(12＋(－1)2))＝2 eq \r(2)，
∴|PM|的最小值为2 eq \r(2)，
|PQ|＝ eq \r(|PM|2－1)＝ eq \r((2\r(2))2－1)＝ eq \r(7).
答案： eq \r(7)
9．解析：化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.
∵|OA|＝ eq \r((3－1)2＋(5－2)2)＝ eq \r(13)>2，∴点A(3，5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝ eq \f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，
即|3－2k|＝2 eq \r(k2＋1)，∴k＝ eq \f(5,12)，
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.
答案：5x－12y＋45＝0或x－3