2025高考数学一轮复习-9.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-9.2-直线与椭圆的位置关系-专项训练【含答案】，共8页。
1．已知直线l：y＝x＋1，椭圆C： eq \f(x2,3)＋y2＝1.若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为( )
A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(3,4))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(1,4)))
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\f(1,2)))
2．过椭圆 eq \f(x2,12)＋ eq \f(y2,4)＝1上的点A(3，－1)作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为( )
A.x－y－3＝0 B．x＋y－2＝0
C.2x＋3y－3＝0 D．3x－y－10＝0
3．(多选)已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为 eq \f(\r(3),2)，点M(2，1)在椭圆C上，直线l平行于OM且在y轴上的截距为m，直线l与椭圆C交于A，B两点，下面结论正确的有( )
A.椭圆C的方程为 eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,2)＝1
B.kOM＝ eq \f(1,2)
C.－2＜m＜2
D.m≤－2或m＞2
4．直线m与椭圆 eq \f(x2,2)＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________．
5．已知椭圆C： eq \f(x2,2)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与椭圆C的另一个交点为B，则△ABF2的面积为________．
6．已知椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，|PF2|＝ eq \f(1,2)，椭圆C的离心率为 eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．(多选)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C： eq \f(x2,6)＋ eq \f(y2,2)＝1，则下列结论正确的是( )
A.若C与l至少有一个公共点，则m≤2 eq \r(2)
B.若C与l有且仅有两个公共点，则|m|＜2 eq \r(2)
C.若m＝3 eq \r(2)，则C上到l的距离为5的点只有1个
D.若m＝－ eq \r(2)，则C上到l的距离为1的点有3个
2．(多选)已知椭圆C： eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,1－m)＝1的焦点在x轴上，且F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上一点，则下列结论正确的是( )
A. eq \f(1,2)＜m＜1
B.C的离心率为 eq \r(\f(1,m))
C.存在m，使得∠F1PF2＝90°
D.△F1PF2面积的最大值为 eq \f(\r(2),4)
3．已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________．
4．椭圆C： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，斜率为 eq \f(1,2)的直线l过左焦点F1且交C于A，B两点，且△ABF2内切圆的周长是2π.若椭圆的离心率为 eq \f(1,2)，则|AB|＝________．
5．已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，|A1F|＝3，|A2F|＝1.
(1)求椭圆的方程和离心率e；
(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q.若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP的面积的二倍，求直线A2P的方程．
6．设椭圆E： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为 eq \f(1,3)|OF1|.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)平面上点B满足 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(AF1,\s\up6(→))＋ eq \(AF2,\s\up6(→))，过F1与AB平行的直线交E于M，N两点，若|MN|＝3 eq \r(2)，求椭圆E的方程．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋1，,\f(x2,3)＋y2＝1，))消去y，得2x2＋3x＝0，则xA＋xB＝－ eq \f(3,2)，所以该中点的横坐标为 eq \f(1,2)(xA＋xB)＝－ eq \f(3,4)，纵坐标为1－ eq \f(3,4)＝ eq \f(1,4)，即线段AB的中点的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(1,4))).
答案：B
2．解析：过椭圆 eq \f(x2,12)＋ eq \f(y2,4)＝1上的点A(3，－1)的切线l的方程为 eq \f(3x,12)＋ eq \f((－y),4)＝1，
即x－y－4＝0，切线l的斜率为1，与直线l垂直的直线的斜率为－1，
过A点且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－(x－3)，
即x＋y－2＝0.
答案：B
3．解析：由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(a2－b2),a)＝\f(\r(3),2)，,\f(4,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝8，,b2＝2，))故椭圆C的方程为 eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,2)＝1，故A正确．
kOM＝ eq \f(1－0,2－0)＝ eq \f(1,2)，故B正确．因为直线l的斜率k＝kOM＝ eq \f(1,2).又l在y轴上截距为m，所以l的方程为y＝ eq \f(1,2)x＋m.由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)x＋m，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，))
得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
因为直线l与椭圆C交于A，B两点，所以Δ＝(2m)2－4(2m2－4)＞0，解得－2＜m＜2.故C正确，D错误．
答案：ABC
4．解析：由点差法可求出k1＝－ eq \f(1,2)· eq \f(x中,y中)，所以k1· eq \f(y中,x中)＝－ eq \f(1,2)，即k1k2＝－ eq \f(1,2).
答案：－ eq \f(1,2)
5．解析：由题意知A(0，1)，F1(－1，0)，F2(1，0)，直线AF1的方程为y＝x＋1，联立方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝x＋1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(4,3)，,y＝－\f(1,3)，))即B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(1,3)))，所以S△ABF2＝ eq \f(1,2)×2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3)))＝ eq \f(4,3).
答案： eq \f(4,3)
6．解：(1)由题意知，离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(3),2)，|PF2|＝ eq \f(b2,a)＝ eq \f(1,2)，得a＝2，b＝1，所以椭圆C的标准方程为 eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)由条件可知F1(－ eq \r(3)，0)，直线l：y＝x＋ eq \r(3)，联立直线l和椭圆C的方程，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋\r(3)，
\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y得5x2＋8 eq \r(3)x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－ eq \f(8\r(3),5)，x1·x2＝ eq \f(8,5)，所以|y1－y2|＝|x1－x2|＝ eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝ eq \f(4\r(2),5)，所以S△AOB＝ eq \f(1,2)·|y1－y2|·|OF1|＝ eq \f(2\r(6),5).
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1．解析：联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,\f(x2,6)＋\f(y2,2)＝1，))消去y得4x2＋6mx＋3m2－6＝0，
则判别式Δ＝12(8－m2)，
令Δ＝12(8－m2)≥0，则|m|≤2 eq \r(2)，A错误；
令Δ＝12(8－m2)＞0，则|m|＜2 eq \r(2)，B正确；
令直线l与椭圆C相切，则Δ＝12(8－m2)＝0，即m＝±2 eq \r(2)，直线y＝x＋3 eq \r(2)与y＝x－2 eq \r(2)的距离d＝ eq \f(|3\r(2)－(－2\r(2))|,\r(2))＝5，C正确；
如图，直线y＝x－ eq \r(2)分别与y＝x－2 eq \r(2)和y＝x的距离均为1，因此，C上到l的距离为1的点有3个，D正确．
答案： BCD
2．解析：A选项，椭圆C： eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,1－m)＝1的焦点在x轴上，故m＞1－m＞0，解得 eq \f(1,2)＜m＜1，A正确；
B选项，设F1(－c，0)，F2(c，0)，则c2＝m－(1－m)＝2m－1，
故C的离心率为 eq \r(\f(2m－1,m))＝ eq \r(2－\f(1,m))，B错误；
C选项，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2m－1，与椭圆C： eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,1－m)＝1联立得， eq \f(x2,m)＋ eq \f(2m－1－x2,1－m)＝1，
整理得(1－2m)x2＝2m－3m2.
因为 eq \f(1,2)＜m＜1，所以x2＝ eq \f(m(2－3m),1－2m)，
当 eq \f(2,3)≤m＜1时，2－3m≤0，1－2m＜0，故x2＝ eq \f(m(2－3m),1－2m)≥0，满足要求，
故存在m，使得∠F1PF2＝90°，C正确；
D选项，因为|F1F2|＝2 eq \r(2m－1)，故当P点位于上顶点或下顶点时，△F1PF2面积取得最大值，
故最大面积为 eq \f(1,2)|F1F2|· eq \r(1－m)＝ eq \r(2m－1)· eq \r(1－m)＝ eq \r(－2m2＋3m－1)＝ eq \r(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(3,4)))\s\up12(2)＋\f(1,8)).
因为 eq \f(1,2)＜m＜1，所以当m＝ eq \f(3,4)时，△F1PF2面积取得最大值，最大值为 eq \f(\r(2),4)，D正确．
答案：ACD
3．解析：由题意知c＝1，离心率e＝ eq \f(c,a).
因为P在直线l：y＝x＋2上移动，所以2a＝|PA|＋|PB|.点A关于直线y＝x＋2的对称点为D，设D(m，n)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n,m＋1)＝－1，,\f(1,2)n＝\f(1,2)(m－1)＋2，))
解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－2，,n＝1，))即有D(－2，1)，则2a＝|PA|＋|PB|＝|PD|＋|PB|≥|BD|＝ eq \r(10)，当D，P，B共线时，等号成立，此时a＝ eq \f(\r(10),2)，故离心率e的最大值为 eq \f(\r(10),5).
答案： eq \f(\r(10),5)
4．解析：如图所示，由椭圆定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
则△ABF2的周长为4a，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
△ABF2内切圆的半径为r.
又△ABF2内切圆的周长是2π，
故2π＝2πr，则r＝1，
由题意得 eq \f(1,2)×4a×r＝ eq \f(1,2)×2c×|y1－y2|，
得|y1－y2|＝ eq \f(2a,c)＝ eq \f(2,e)＝4，
所以|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝4 eq \r(5).
答案：4 eq \r(5)
5．解：(1)如图，由题意可知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c＝3，,a－c＝1，))
故 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,c＝1，))则b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的方程为 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1，
此椭圆的离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(1,2).
(2)由题易知直线A2P的斜率存在且不为0，所以可设直线A2P的方程为y＝k(x－2).由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x－2)，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))可得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
设P(xP，yP)，则由根与系数的关系可知xP＋2＝ eq \f(16k2,3＋4k2)，即xP＝ eq \f(8k2－6,3＋4k2)，则yP＝k(xP－2)＝ eq \f(－12k,3＋4k2).
由直线A2P交y轴于点Q可得Q(0，－2k)，
所以S△A1PQ＝ eq \f(1,2)×4×|yP－yQ|，S△A2FP＝ eq \f(1,2)×1×|yP|.
因为S△A1PQ＝2S△A2FP，所以2|yP－yQ|＝|yP|.
①当2|yP|－2|yQ|＝|yP|时，|yP|＝2|yQ|，即有 eq \f(12|k|,3＋4k2)＝2·|－2k|，解得k＝0，不符合题意，舍去．
②当2|yQ|－2|yP|＝|yP|时，2|yQ|＝3|yP|，即有4|k|＝ eq \f(36|k|,3＋4k2)，解得k＝± eq \f(\r(6),2).
故直线A2P的方程为y＝± eq \f(\r(6),2)(x－2).
6．解：(1)由题设AF2⊥F1F2及F1(－c，0)，F2(c，0)，不妨设A(c，y0)(y0＞0)，
所以 eq \f(c2,a2)＋ eq \f(y eq \\al(2,0),b2)＝1， eq \f(a2－b2,a2)＋ eq \f(y eq \\al(2,0),b2)＝1，解得y0＝ eq \f(b2,a)或y0＝－ eq \f(b2,a)(舍去)，从而A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，
直线AF1的方程为y＝ eq \f(b2,2ac)(x＋c)，整理得b2x－2acy＋b2c＝0，
原点O到直线AF1的距离为 eq \f(b2c,\r(b4＋4a2c2))＝ eq \f(c,3)，将c2＝a2－b2代入整理得a2＝2b2，
即a＝ eq \r(2)b＝ eq \r(2)c，
所以离心率e＝ eq \f(\r(2),2).
(2)由(1)问可设椭圆方程为 eq \f(x2,2c2)＋ eq \f(y2,c2)＝1，则A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(c,\r(2)))).
因为 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(AF1,\s\up6(→))＋ eq \(AF2,\s\up6(→))，所以四边形AF2BF1为平行四边形，
所以直线AB过O点，则AB斜率为 eq \f(1,\r(2))，
则设直线MN方程为y＝ eq \f(1,\r(2))(x＋c)，
联立椭圆方程得2x2＋2cx－c2＝0，显然Δ＞0，则xM＋xN＝－c，xMxN＝－ eq \f(c2,2)，
则|MN|＝ eq \r(1＋k2)|xM－xN|＝ eq \r(1＋\f(1,2)) eq \r(c2＋2c2)＝3 eq \r(2)，解得c＝2(负值舍去)，
所以b＝2，a＝2 eq \r(2)，所以椭圆方程为 eq \f(x2,8)＋ eq \f(y2,4)＝1.