2025高考数学一轮复习-9.6-直线与抛物线的位置关系-专项训练【含答案】

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1．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点．若|AB|＝10，则AB的中点到y轴的距离等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则△OAF的面积为( )
A．2 B． eq \r(5)
C．2 eq \r(3) D．4
3．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为准线上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角．若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为( )
A． eq \f(\r(2),2) B． eq \r(2)
C． eq \f(3\r(2),2) D．3 eq \r(2)
4．过原点O的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P.若|OP|＝8，则p的值为________．
5．直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝________， eq \f(1,|AF|)＋ eq \f(1,|BF|)＝________．
6．设A，B为曲线C：y＝ eq \f(x2,4)上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
7．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为( )
A．y＝x－1或y＝－x＋1
B．y＝ eq \f(\r(3),3)(x－1)或y＝－ eq \f(\r(3),3)(x－1)
C．y＝ eq \r(3)(x－1)或y＝－ eq \r(3)(x－1)
D．y＝ eq \f(\r(2),2)(x－1)或y＝－ eq \f(\r(2),2)(x－1)
2．(多选)设O为坐标原点，直线y＝－ eq \r(3)(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝ eq \f(8,3)
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
3．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为 eq \f(2,3)的直线与C交于M，N两点，则 eq \(FM,\s\up6(→))· eq \(FN,\s\up6(→))＝________．
4．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝8x上一点A到焦点F的距离为6.若P为抛物线C准线上的一个动点，求|OP|＋|AP|的最小值．
5．已知抛物线E：y2＝8x，直线l：y＝kx－4.
(1)若直线l与抛物线E相切，求直线l的方程；
(2)设Q(4，0)，直线l与抛物线E交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若存在点C满足| eq \(CQ,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))|＝| eq \(CQ,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→))|，且线段OC与AB互相平分(O为坐标原点)，求x2的取值范围．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：AB的中点到抛物线准线的距离为 eq \f(|AB|,2)＝5，所以AB的中点到y轴的距离为5－1＝4.
答案：D
2．解析：根据题意，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，
设A(m，n)，∴|AF|＝m＋1＝5，∴m＝4，∴n＝±4，
∴S△OAF＝ eq \f(1,2)×1×4＝2.
答案：A
3．解析：如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1，0)，因为∠MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|＝|EF|＝|EN|，又E在抛物线C上，所以EN⊥l，
E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，所以N(－1， eq \r(2))，M(0，2 eq \r(2))，所以|NF|＝ eq \r(6)，|NM|＝ eq \r(3)，所以△MNF的面积为 eq \f(3\r(2),2).
答案：C
4．解析：由题意得直线OP的斜率存在．设直线OP的方程为y＝kx，因为该直线与圆C相切，所以 eq \f(|－2k|,\r(1＋k2))＝ eq \r(3)，解得k2＝3.将直线方程y＝kx与曲线方程y2＝2px(p＞0)联立，得k2x2－2px＝0.因为k2＝3，所以3x2－2px＝0，解得x＝0或x＝ eq \f(2p,3).设P(x1，y1)，则x1＝ eq \f(2p,3).又O(0，0)，所以|OP|＝ eq \r(1＋k2)|x1－0|＝2× eq \f(2p,3)＝8，解得p＝6.
答案：6
5．解析：由 eq \f(p,2)＝1，得p＝2.当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，代入y2＝4x，得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，所以 eq \f(1,|AF|)＋ eq \f(1,|BF|)＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)＝1；当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)(k≠0)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)·x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1， eq \f(1,|AF|)＋ eq \f(1,|BF|)＝ eq \f(|AF|＋|BF|,|AF|·|BF|)＝ eq \f(x1＋x2＋2,(x1＋1)(x2＋1))＝ eq \f(x1＋x2＋2,x1x2＋x1＋x2＋1)＝ eq \f(x1＋x2＋2,1＋x1＋x2＋1)＝1.综上， eq \f(1,|AF|)＋ eq \f(1,|BF|)＝1.
答案：2 1
6．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝ eq \f(x eq \\al(2,1),4)，y2＝ eq \f(x eq \\al(2,2),4)，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝ eq \f(y1－y2,x1－x2)＝ eq \f(x1＋x2,4)＝1.
(2)由y＝ eq \f(x2,4)，得y′＝ eq \f(x,2).设M(x3，y3)，由题设知 eq \f(x3,2)＝1，解得x3＝2，于是M(2，1).设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将y＝x＋m代入y＝ eq \f(x2,4)，得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)＞0，即m＞－1时，x1，2＝2±2 eq \r(m＋1).从而|AB|＝ eq \r(2)|x1－x2|＝4 eq \r(2(m＋1)).由题设知|AB|＝2|MN|，即4 eq \r(2(m＋1))＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为y＝x＋7.
7．解：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，则x1＋x2＝2pk，① x1x2＝－2p.②
(1)由x2＝2py，得y′＝ eq \f(x,p)，则A，B处的切线斜率的乘积为 eq \f(x1x2,p2)＝－ eq \f(2,p).因为点N在以AB为直径的圆上，所以AN⊥BN，所以－ eq \f(2,p)＝－1，所以p＝2.
(2)易得直线AN：y－y1＝ eq \f(x1,p)(x－x1)，直线BN：y－y2＝ eq \f(x2,p)(x－x2)，
联立，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－y1＝\f(x1,p)(x－x1)，,y－y2＝\f(x2,p)(x－x2)，))
结合①②式，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝pk，,y＝－1，))即N(pk，－1).|AB|＝ eq \r(1＋k2)|x2－x1|＝ eq \r(1＋k2) eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝ eq \r(1＋k2) eq \r(4p2k2＋8p)，点N到直线AB的距离d＝ eq \f(|kxN＋1－yN|,\r(1＋k2))＝ eq \f(|pk2＋2|,\r(1＋k2))，则△ABN的面积S△ABN＝ eq \f(1,2)·|AB|·d＝ eq \r(p(pk2＋2)3)≥2 eq \r(2p)，当k＝0时，取等号．因为△ABN的面积的最小值为4，所以2 eq \r(2p)＝4，所以p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.
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1．解析：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由BB1∥AA1可知 eq \f(|BB1|,|AA1|)＝ eq \f(|MB|,|MA|)，即 eq \f(m,3m)＝ eq \f(|MB|,|MB|＋4m)，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m.故∠AMA1＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，结合选项知选项C正确．
答案：C
2．解析：由于y2＝2px的焦点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直线y＝－ eq \r(3)(x－1)过焦点，所以－ eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－1))＝0，解得p＝2，A正确；联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝－\r(3)(x－1)，))消去y得3x2－10x＋3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝ eq \f(10,3)，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(16,3)，B不正确；
以MN为直径的圆的圆心的横坐标为 eq \f(x1＋x2,2)＝ eq \f(5,3)，圆心到准线l的距离d＝ eq \f(5,3)＋1＝ eq \f(8,3)＝ eq \f(1,2)|MN|，故以MN为直径的圆与l相切，C正确；
不妨令点M在第一象限，由3x2－10x＋3＝0得x1＝ eq \f(1,3)，x2＝3，所以y1＝ eq \f(2\r(3),3)，y2＝－2 eq \r(3)，
所以|ON|＝ eq \r(32＋(－2\r(3))2)＝ eq \r(21)，|OM|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(13),3).又|MN|＝ eq \f(16,3)，
所以△OMN不是等腰三角形，D不正确．
答案：AC
3．解析：由题意知直线MN的方程为y＝ eq \f(2,3)(x＋2)，
联立直线与抛物线的方程，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(2,3)(x＋2)，,y2＝4x，))
解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝4.))
不妨设M为(1，2)，N为(4，4).
又∵抛物线焦点为F(1，0)，∴ eq \(FM,\s\up6(→))＝(0，2)， eq \(FN,\s\up6(→))＝(3，4)，
∴ eq \(FM,\s\up6(→))· eq \(FN,\s\up6(→))＝0×3＋2×4＝8.
答案：8
4．解：抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2.因为|AF|＝6，所以由抛物线的定义知点A到准线的距离为6，即点A的横坐标为4.因为点A在抛物线上，不妨设点A在第一象限，则点A的坐标为(4，4 eq \r(2)).坐标原点O关于准线的对称点B的坐标为(－4，0).如图，连接BP，则|PO|＝|PB|，所以当A，P，B三点共线时，|PA|＋|PO|有最小值，即(|PA|＋|PO|)min＝|AB|＝ eq \r((4＋4)2＋(4\r(2))2)＝4 eq \r(6).
5．解：(1)法一：由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－4，,y2＝8x，))得k2x2－8(k＋1)x＋16＝0，
由k≠0及Δ＝64(k＋1)2－64k2＝0，
得k＝－ eq \f(1,2)，
所以直线l的方程为y＝－ eq \f(1,2)x－4.
法二：由y2＝8x，得y＝± eq \r(8x)，直线l恒过点(0，－4)，则y＝－ eq \r(8x)，
设切点为(x0，y0)(y0＜0)，由于y＝－ eq \r(8x)，
所以y′|x＝x0＝－ eq \f(\r(2),\r(x0))，
所以切线方程为y＋ eq \r(8x0)＝－ eq \f(\r(2),\r(x0))(x－x0)，将坐标(0，－4)代入得x0＝8，
即切点为(8，－8)，再将该点代入y＝kx－4，得k＝－ eq \f(1,2)，
所以直线l的方程为y＝－ eq \f(1,2)x－4.
(2)由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－4，,y2＝8x，))得k2x2－8(k＋1)x＋16＝0.
因为Δ＝64(k＋1)2－64k2＞0，且k≠0，所以k＞－ eq \f(1,2)，且k≠0，
所以x1＋x2＝ eq \f(8(k＋1),k2)，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－8＝ eq \f(8,k).
因为线段OC与AB互相平分，所以四边形OACB为平行四边形，
所以 eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＝(x1＋x2，y1＋y2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8(k＋1),k2)，\f(8,k)))，
即C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8(k＋1),k2)，\f(8,k)))，
由| eq \(CQ,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))|＝| eq \(CQ,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→))|，得AC⊥QC.
所以kAC·kQC＝－1.
又kQC＝ eq \f(\f(8,k),\f(8(k＋1),k2)－4)＝ eq \f(2k,2(k＋1)－k2)，
kAC＝kOB＝ eq \f(y2,x2)＝k－ eq \f(4,x2)，
所以 eq \f(2k,2(k＋1)－k2)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k－\f(4,x2)))＝－1，
所以 eq \f(8,x2)＝k＋ eq \f(2,k)＋2.
若k＞0，则 eq \f(8,x2)≥2 eq \r(2)＋2＝2( eq \r(2)＋1)，当且仅当k＝ eq \r(2)时取等号，
此时0＜x2≤4( eq \r(2)－1).
若－ eq \f(1,2)＜k＜0，由于k＝－ eq \f(1,2)时，k＋ eq \f(2,k)＋2＝－ eq \f(5,2)，所以 eq \f(8,x2)＜－ eq \f(5,2)，即x2＜－ eq \f(16,5)(舍去).
综上，x2的取值范围为(0，4( eq \r(2)－1)