2025高考数学一轮复习-10.2-排列与组合-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-10.2-排列与组合-专项训练【含答案】，共7页。
1．若A eq \\al(3,m)＝6C eq \\al(4,m)，则m等于( )
A．9 B．8
C．7 D．6
2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( )
A．10 B．20
C．30 D．40
3．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A．1 440种 B．960种
C．720种 D．480种
4．由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有( )
A．98个 B．105个
C．112个 D．210个
5．将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号为1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( )
A．15 B．20
C．30 D．42
6．某市运动会组委会决定进行赛前志愿者招募，此举得到该市大学生的积极参与．某高校3位男同学和2位女同学通过筛选加入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四个项目都有人参加，要求2位女同学不安排在一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为( )
A．144 B．150
C．168 D．192
7．如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为( )
A．208 B．204
C．200 D．196
8．(多选)现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和4个编号为1，2，3，4的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是( )
A．恰有1个盒子不放球，共有72种放法
B．每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种
C．有2个盒子内不放球，另外两个盒子内各放2个球的放法有36种
D．恰有2个盒子不放球，共有84种放法
9．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答).
10．三个家庭的3位妈妈带着3名女孩和2名男孩共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女孩相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男孩打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面，则不同的排法共有________种(用数字作答).
11．把座位编号为1，2，3，4，5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答).
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生．已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( )
A．C eq \\al(45,400)·C eq \\al(15,200)种 B．C eq \\al(20,400)·C eq \\al(40,200)种
C．C eq \\al(30,400)·C eq \\al(30,200)种 D．C eq \\al(40,400)·C eq \\al(20,200)种
2．若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2 017”．试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为( )
A．55 B．59
C．66 D．71
3．某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有( )
A．36种 B．44种
C．48种 D．54种
4．小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字．如图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字：
比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以适当的方式全部放入表格Ｋ中(没有放入火柴棒的空位表示数字“0”)，那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为( )
A．8 B．12
C．16 D．20
5．“碳中和”是指企业、团体或个人测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去1个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为( )
A.90 B．150
C.180 D．300
6．某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，则该停车点的车位数为________．
7．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)
8．从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为________．(用数字作答)
9．某商店有4个不同造型的吉祥物“冰墩墩”和3个不同造型的吉祥物“雪容融”在柜台上展示，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为________．(用数字作答)
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：因为A eq \\al(3,m)＝6C eq \\al(4,m)，所以m(m－1)(m－2)＝6× eq \f(m(m－1)(m－2)(m－3),4×3×2×1)，
即1＝ eq \f(m－3,4)，解得m＝7.
答案：C
2．解析：将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C eq \\al(3,5)C eq \\al(2,2)A eq \\al(2,2)＝20(种).
答案：B
3．解析：先将5名志愿者排好，有A eq \\al(5,5)种排法，2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中，先将2位老人排好，有A eq \\al(2,2)种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有4种插法．所以共有不同的排法4A eq \\al(2,2)A eq \\al(5,5)＝960(种).
答案：B
4．解析：当个位数字与百位数字为0，8时，有A eq \\al(2,8)A eq \\al(2,2)个；当个位数字与百位数字为1，9时，有A eq \\al(1,7)A eq \\al(1,7)A eq \\al(2,2)个，所以个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的共有A eq \\al(2,8)A eq \\al(2,2)＋A eq \\al(1,7)A eq \\al(1,7)A eq \\al(2,2)＝210(个).
答案：D
5．解析：四个篮球分成三组有C eq \\al(2,4)种分法，三组篮球进行全排列有A eq \\al(3,3)种分法，标号为1，2的两个篮球分给同一个小朋友有A eq \\al(3,3)种分法，所以有C eq \\al(2,4)A eq \\al(3,3)－A eq \\al(3,3)＝36－6＝30种分法．
答案：C
6．解析：由题可得，参与志愿者服务的项目人数为2，1，1，1，
若没有限制，则共有C eq \\al(2,5)·A eq \\al(4,4)＝240种安排方法；
当两个女同学在一起时有A eq \\al(4,4)＝24种安排方法；
当男同学小王、女同学大雅在一起时有A eq \\al(4,4)＝24种方法，
所以按题设要求不同的安排方法种数为240－24－24＝192.
答案：D
7．解析：任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C eq \\al(3,4)；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C eq \\al(3,3)；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C eq \\al(3,3)，所以可以构成三角形的组数为C eq \\al(3,12)－3C eq \\al(3,4)－8C eq \\al(3,3)＝200.
答案：C
8．解析：对于A，恰有1个盒子不放球，先选1个空盒子，再选一个盒子放两个球，
则C eq \\al(1,4)C eq \\al(2,4)A eq \\al(3,3)＝144≠72，故A不正确；
对于B，编号为1的球有C eq \\al(1,3)种放法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒子或者其他两个盒子，共有1＋C eq \\al(1,2)＝3(种)，
即3×3＝9(种)，故B正确；
对于C，首先选出两个空盒子，再取两个球放剩下的两个盒子中的一个，共有C eq \\al(2,4)C eq \\al(2,4)＝36(种)，故C正确；
对于D，恰有2个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将4个球分为3，1或2，2两种情况，放入盒子，共有C eq \\al(2,4)(C eq \\al(1,4)C eq \\al(1,2)＋C eq \\al(2,4))＝6×14＝84(种)，故D正确．
答案：BCD
9．解析：选修2门课，体育类和艺术类各选1门，共有C eq \\al(1,4)·C eq \\al(1,4)＝16种选课方案；
选修3门课，分为选2门体育类、1门艺术类和选2门艺术类、1门体育类两种情况，共有C eq \\al(2,4)·C eq \\al(1,4)＋C eq \\al(1,4)·C eq \\al(2,4)＝48种选课方案．因此不同的选课方案共有16＋48＝64(种).
答案：64
10．解析：第一步：先将3名母亲全排列，共有A eq \\al(3,3)种排法；
第二步：将3名女孩“捆绑”在一起，共有A eq \\al(3,3)种排法；
第三步：将“捆绑”在一起的3名女孩作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有A eq \\al(1,2)种排法；
第四步：首先将2名男孩之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男孩插入由女孩与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有C eq \\al(1,2)C eq \\al(1,2)种排法．
所以不同的排法共有A eq \\al(3,3)A eq \\al(3,3)A eq \\al(1,2)C eq \\al(1,2)C eq \\al(1,2)＝288(种).
答案：288
11．解析：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1，2，3，4，5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C eq \\al(3,4)＝4种分法，再对应到4个人，有A eq \\al(4,4)＝24种分法，则共有4×24＝96种分法．
答案：96
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．解析：根据分层随机抽样方法，易知从初中部和高中部分别抽取40名和20名学生，根据分步乘法计数原理，得不同的抽样结果共有C eq \\al(40,400)·C eq \\al(20,200)种．
答案：D
2．解析：记千位为首位，百位为第二位，十位为第三位，由题设中提供的信息可知，和为10的无重复的四个数字有(0，1，2，7)，(0，1，3，6)，(0，1，4，5)，(0，2，3，5)，(1，2，3，4)，共五组．其中第一组(0，1，2，7)中，7排在首位有A eq \\al(3,3)＝6种情形，2排在首位，1或7排在第二位上时，有2A eq \\al(2,2)＝4种情形，2排在首位，0排在第二位，7排在第三位有1种情形，共有6＋4＋1＝11种情形符合题设；第二组中3，6分别排在首位共有2A eq \\al(3,3)＝12种情形；第三组中4，5分别排在首位共有2A eq \\al(3,3)＝12种情形；第四组中2，3，5分别排在首位共有3A eq \\al(3,3)＝18种情形；第五组中2，3，4分别排在首位共有3A eq \\al(3,3)＝18种情形．依据分类加法计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(个).
答案：D
3．解析：由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成：(1)当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有A eq \\al(2,2)A eq \\al(2,3)种方法．(2)当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排在第一个位置，剩余三项任务排在后三个位置，有A eq \\al(1,2)A eq \\al(3,3)种方法；②D，F两项任务中一项排在第一个位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有A eq \\al(1,2)A eq \\al(2,2)种方法．(3)当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有C eq \\al(1,2)C eq \\al(1,2)A eq \\al(2,2)A eq \\al(2,2)种方法，根据分类加法计数原理知，不同的执行方案共有A eq \\al(2,2)A eq \\al(2,3)＋A eq \\al(1,2)A eq \\al(3,3)＋A eq \\al(1,2)A eq \\al(2,2)＋C eq \\al(1,2)C eq \\al(1,2)A eq \\al(2,2)A eq \\al(2,2)＝44(种).
答案：B
4．解析：由题图可知，用火柴棒拼出数字1至9所需要的火柴棒根数如下表：
由表可知，由8根火柴棒只能拼出两个无重复的数字，分别为1和6、1和9、2和7、3和7、5和7，所以8根火柴棒全部放入题中表格，可表示无重复数字的三位数的个数为C eq \\al(1,2)A eq \\al(2,2)×5＝20.
答案：D
5．解析：将5名专家分为3组，有3，1，1和1，2，2两种分法，第一类，有1个地方去3个专家，剩下的2个专家各去1个地方，共有 eq \f(C eq \\al(1,5)·C eq \\al(1,4)·C eq \\al(3,3),A eq \\al(2,2))·A eq \\al(3,3)＝ eq \f(5×4×1,2×1)×3×2×1＝60种方法；第二类，有1个地方去1个专家，另2个地方各去2个专家，共有 eq \f(C eq \\al(1,5)·C eq \\al(2,4)·C eq \\al(2,2),A eq \\al(2,2))·A eq \\al(3,3)＝ eq \f(5×\f(4×3,2)×1,2×1)×3×2×1＝90种方法，所以分派方法的种数为60＋90＝150.
答案：B
6．解析：设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的停法相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所形成的(n－2)个间隔中，故有A eq \\al(3,n－2)种停法．
对于恰有2辆相邻的停法，可先把其中2辆捆绑在一起看成一个复合元素，再和另一个插入到将(n－3)个停车位排放好所形成的(n－2)个间隔中，有A eq \\al(2,3)A eq \\al(2,n－2)种．
因为这3辆共享汽车都不相邻的停法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的停法相等，所以A eq \\al(3,n－2)＝A eq \\al(2,3)A eq \\al(2,n－2)，解得n＝10.
答案：10
7．解析：5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3，1，1)和(2，2，1)两种，当为(3，1，1)时，有C eq \\al(3,5)·A eq \\al(3,3)＝60(种)，A，B住同一房间有C eq \\al(1,3)·A eq \\al(3,3)＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2，2，1)时，有 eq \f(C eq \\al(2,5)·C eq \\al(2,3),A eq \\al(2,2))·A eq \\al(3,3)＝90(种)，A，B住同一房间有C eq \\al(2,3)·A eq \\al(3,3)＝18(种)，故有90－18＝72(种).
根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种).
答案：114
8．解析：①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C eq \\al(3,5)－C eq \\al(3,3)＝9，
②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C eq \\al(3,5)－C eq \\al(3,3)＝9，
③设甲、乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C eq \\al(4,5)＝5，
综合①②③得，不同的选法种数为9＋9＋5＝23.
答案：23
9．解析：法一：先排“雪容融”，有A eq \\al(3,3)种排列方法，在“雪容融”之间以及两端共有4个空位，恰好可以放入4个“冰墩墩”，所以“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列的排法共有A eq \\al(3,3)A eq \\al(4,4)＝144(种).
法二：先排“冰墩墩”，有A eq \\al(4,4)种排列方法，在“冰墩墩”之间恰好有3个空位可以放入3个“雪容融”，所以“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列的排法共有A eq \\al(4,4)A eq \\al(3,3)＝144(种).
答案：1数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
火柴棒根数
2
5
5
4
5
6
3
7
6