2025高考数学一轮复习-11.3-事件的相互独立性与条件概率、全概率公式-专项训练【含答案】

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1．小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4，乘坐地铁的概率为0.6，且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04，则小明没有迟到的概率为( )
B．0.956
D．0.959
2．在一次试验中，随机事件A，B满足P(A)＝P(B)＝ eq \f(2,3)，则( )
A.事件A，B一定互斥
B.事件A，B一定不互斥
C.事件A，B一定互相独立
D.事件A，B一定不互相独立
3．投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为 eq \f(1,3)，投中壶耳的概率为 eq \f(1,5).四支箭投完，以得分多者赢．则乙赢得这局比赛的概率为( )
A. eq \f(13,75) B． eq \f(3,75)
C. eq \f(8,15) D． eq \f(8,75)
4．为领略奥运的拼搏精神，甲、乙、丙三人进行短道速滑训练赛．已知每一场比赛甲、乙、丙获胜的概率分别为 eq \f(1,6)， eq \f(1,3)， eq \f(1,2)，则3场训练赛过后，甲、乙获胜场数相同的概率为( )
A. eq \f(11,72) B． eq \f(5,24)
C. eq \f(7,24) D． eq \f(1,3)
5．已知事件A，B，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，如果A与B互斥，令m＝P(AB)，如果A与B相互独立，令n＝P(A eq \x\t(B))，则n－m＝________．
6．甲、乙两个箱子中各装有5个大小、质地均相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球．抛一枚质地均匀的硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸出一个球；若硬币反面向上，从乙箱中随机摸出一个球．则摸到红球的概率为________．
7．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 eq \f(1,2).
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．人们为了解一只股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该只股票将上涨的概率为________．
2．甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别为 eq \f(3,5)和p.若甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为 eq \f(9,20)，则p的值为________．
3．21世纪汽车博览会在上海举行．某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观与内饰的颜色分布如表所示：
现将这25个汽车模型进行编号．
(1)若小明从25个汽车模型编号中随机选取一个，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为小明取到的模型为米色内饰，求P(B)和P(B|A)，并据此判断事件A和事件B是否独立．
(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人一次性从25个汽车模型编号中选取两个，给出以下抽奖规则：①选到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色；
②按结果的可能性大小设置奖项，概率越小奖项越高；③该抽奖活动的奖金金额为一等奖600元、二等奖300元、三等奖150元．请你分析奖项对应的结果，设X为奖金金额，写出X的分布列，并求出X的数学期望．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：由题意，小明没有迟到的概率为0.4×(1－0.05)＋0.6×(1－0.04)＝0.956.
答案：B
2．解析：若事件A，B互斥，则P(A)＋P(B)≤1，但P(A)＝P(B)＝ eq \f(2,3)，不满足，故事件A，B一定不互斥．
答案：B
3．解析：由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：
(1)第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳，其概率为P1＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,5)＝ eq \f(1,15)；
(2)第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳均可，其概率为P2＝ eq \f(1,5)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋\f(1,5)))＝ eq \f(8,75)，
所以乙赢得这局比赛的概率为P＝P1＋P2＝ eq \f(1,15)＋ eq \f(8,75)＝ eq \f(13,75).
答案：A
4．解析：“甲、乙获胜场数相同”包括两种情况：“甲、乙各获胜1场”与“甲、乙各获胜0场”，
所以所求概率为C eq \\al(1,3)× eq \f(1,6)×C eq \\al(1,2)× eq \f(1,3)×C eq \\al(1,1)× eq \f(1,2)＋C eq \\al(3,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(3)＝ eq \f(7,24).
答案：C
5．解析：若A，B互斥，则m＝P(AB)＝0，
若A，B相互独立，则A， eq \x\t(B)也相互独立，
所以n＝P(A eq \x\t(B))＝P(A)P( eq \x\t(B))＝0.5×(1－P(B))＝0.5×(1－0.2)＝0.4，
则n－m＝0.4.
答案：0.4
6．解析：抛一枚质地均匀的硬币，正面向上与反面向上的概率均为 eq \f(1,2)，从甲箱中随机摸出一个球为红球的概率为 eq \f(3,5)，从乙箱中随机摸出一个球为红球的概率为 eq \f(2,5)，所以摸到红球的概率P＝ eq \f(1,2)× eq \f(3,5)＋ eq \f(1,2)× eq \f(2,5)＝ eq \f(1,2).
答案： eq \f(1,2)
7．解：(1)甲连胜四场的概率为 eq \f(1,16).
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为 eq \f(1,16)；乙连胜四场的概率为 eq \f(1,16)；
丙上场后连胜三场的概率为 eq \f(1,8).
所以需要进行第五场比赛的概率为1－ eq \f(1,16)－ eq \f(1,16)－ eq \f(1,8)＝ eq \f(3,4).
(3)丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 eq \f(1,8)；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 eq \f(1,16)， eq \f(1,8)， eq \f(1,8).
因此丙最终获胜的概率为 eq \f(1,8)＋ eq \f(1,16)＋ eq \f(1,8)＋ eq \f(1,8)＝ eq \f(7,16).
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1．解析：记“利率下调”为事件A，则“利率不变”为事件 eq \x\t(A)，“价格上涨”为事件C，
由题意知P(A)＝60%，P( eq \x\t(A))＝40%，P(C|A)＝80%，P(C| eq \x\t(A))＝40%，
∴P(C)＝P(A)P(C|A)＋P( eq \x\t(A))P(C| eq \x\t(A))＝0.48＋0.16＝0.64.
答案：0.64
2．解析：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，
则“甲射击一次，未击中目标”为事件 eq \x\t(A)，“乙射击一次，未击中目标”为事件 eq \x\t(B)，
则P(A)＝ eq \f(3,5)，P( eq \x\t(A))＝1－ eq \f(3,5)＝ eq \f(2,5)，P(B)＝p，P( eq \x\t(B))＝1－p.
依题意得 eq \f(3,5)×(1－p)＋ eq \f(2,5)×p＝ eq \f(9,20)，解得p＝ eq \f(3,4).
答案： eq \f(3,4)
3．解：(1)由题意得，P(B)＝ eq \f(2＋3,25)＝ eq \f(1,5)，
P(A)＝ eq \f(8＋2,25)＝ eq \f(2,5)，P(AB)＝ eq \f(2,25)，
则P(B|A)＝ eq \f(P(AB),P(A))＝ eq \f(\f(2,25),\f(2,5))＝ eq \f(1,5).
∵P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事件A和事件B独立．
(2)记外观与内饰均同色为事件A1，外观与内饰都异色为事件A2，仅外观或仅内饰同色为事件A3，
则P(A1)＝ eq \f(C eq \\al(2,8)＋C eq \\al(2,12)＋C eq \\al(2,2)＋C eq \\al(2,3),C eq \\al(2,25))＝ eq \f(98,300)＝ eq \f(49,150)，
P(A2)＝ eq \f(C eq \\al(1,8)C eq \\al(1,3)＋C eq \\al(1,2)C eq \\al(1,12),C eq \\al(2,25))＝ eq \f(48,300)＝ eq \f(4,25)，
P(A3)＝ eq \f(C eq \\al(1,8)C eq \\al(1,2)＋C eq \\al(1,12)C eq \\al(1,3)＋C eq \\al(1,8)C eq \\al(1,12)＋C eq \\al(1,2)C eq \\al(1,3),C eq \\al(2,25))＝ eq \f(154,300)＝ eq \f(77,150).
∵P(A2)＜P(A1)＜P(A3)，
∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色，二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色，三等奖为两个汽车模型仅外观或仅内饰同色．
X的分布列如表：
E(X)＝150× eq \f(77,150)＋300× eq \f(49,150)＋600× eq \f(4,25)＝271.
红色外观
蓝色外观
棕色内饰
8
12
米色内饰
2
3
X
150
300
600
P
eq \f(77,150)
eq \f(49,150)
eq \f(4,25)