2025高考数学一轮复习-11.4-离散型随机变量及其分布列、数字特征-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-11.4-离散型随机变量及其分布列、数字特征-专项训练【含答案】，共7页。
1．已知下列随机变量：
①10件产品中有2件次品，从中任选3件，取到次品的件数X；
②一位射击选手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射击选手在一次射击中的得分X；
③一天内的温度X；
④在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数X.
其中X是离散型随机变量的是( )
A.①②③ B．①②④
C.②③④ D．③④
2．若随机变量X的分布列为
则X的均值E(X)等于( )
A.2a＋b B．a＋2b
C.2 D．3
3．已知P(X＝i)＝ eq \f(i,6)(i＝1，2，3)，随机变量Y＝2X－1，则P(Y≥3)＝( )
A. eq \f(1,6) B． eq \f(5,6)
C. eq \f(1,3) D． eq \f(2,3)
4．已知随机变量X的分布列是
则E(2X＋a)等于( )
A. eq \f(5,3) B． eq \f(7,3)
C. eq \f(7,2) D． eq \f(23,6)
5．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设X为取出的4个球中红球的个数，则P(X＝2)＝________．
6．随机变量X的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
7．某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如表，表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为 eq \f(2,5)，现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同).
(1)求m，n的值；
(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
(3)设X为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量X的分布列、数学期望及方差．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且 eq \i\su(i＝1,4,p)i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )
A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
2．(多选)已知随机变量X的分布列如下：
则当a在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内增大时( )
A.E(X)增大
B.E(X)减小
C.D(X)先增大后减小
D.D(X)先减小后增大
3．马老师从课本上抄录的一个随机变量X的分布列如下表：
尽管“！”与“？”处无法完全看清，但能肯定两个“？”处的数值相同，据此，E(X)＝________．
4．某公司的员工中，日生产件数为95的有3人，日生产件数为55的有2人，从这5人中任意抽取2人，则这2人的日生产件数之和X的方差为________．
5．某学校组织知识竞赛，有A，B，C三类问题，每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答，只有答对当前的问题才有资格从下一类问题中再随机抽取一个问题回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分，C类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分，已知小康同学能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，能正确回答C类问题的概率为0.4，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小康按照CBA的顺序答题，记X为小康的累计得分，求X的分布列．
(2)相比较小康自选的CBA的答题顺序，小康的朋友小乐认为按照ABC的顺序答题累计得分期望更大，小乐的判断正确吗？并说明理由．
6．一位同学分别参加了三所大学的招生笔试(各校试题各不相同)，如果该同学通过各校笔试的概率分别为 eq \f(3,4)， eq \f(2,3)， eq \f(1,2)，且该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响．
(1)求该同学至少通过一所大学笔试的概率；
(2)设该同学通过笔试的大学所数为X，求X的分布列和数学期望．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：①中，X的可能取值为0，1，2，符合要求；
②中，X的可能取值为0，1，符合要求；
③中，一天的温度变化是连续的，所以X不是离散型随机变量；
④中，在体育彩票的抽奖中，一次摇号产生的号码数是离散且随机的，符合要求．
答案：B
2．解析：E(X)＝1×a＋2×2b＋3×a＝4(a＋b)，
由分布列的性质可知2a＋2b＝1，
所以E(X)＝2.
答案：C
3．解析：由题意可知P(Y≥3)＝P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝ eq \f(2,6)＋ eq \f(3,6)＝ eq \f(5,6).
答案：B
4．解析：由分布列的性质可得 eq \f(1,2)＋ eq \f(1,3)＋a＝1，
解得a＝ eq \f(1,6)，
所以E(X)＝1× eq \f(1,2)＋2× eq \f(1,3)＋3× eq \f(1,6)＝ eq \f(5,3)，
因此E(2X＋a)＝E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2X＋\f(1,6)))＝2E(X)＋ eq \f(1,6)＝2× eq \f(5,3)＋ eq \f(1,6)＝ eq \f(7,2).
答案：C
5．解析：由题意可知P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(1,1)C eq \\al(1,3)C eq \\al(1,2)C eq \\al(1,4)＋C eq \\al(2,3)C eq \\al(2,2),C eq \\al(2,4)C eq \\al(2,6))＝ eq \f(3,10).
答案： eq \f(3,10)
6．解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝ eq \f(1,3)，
∴P(|X|＝1)＝a＋c＝ eq \f(2,3).
又a＝ eq \f(1,3)－d，c＝ eq \f(1,3)＋d，根据分布列的性质，
得0≤ eq \f(1,3)－d≤ eq \f(2,3)，0≤ eq \f(1,3)＋d≤ eq \f(2,3)，
∴－ eq \f(1,3)≤d≤ eq \f(1,3).
答案： eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3)))
7．解：(1)∵该名同学的专业为数学的概率为 eq \f(2,5)，
∴ eq \f(1＋m,10)＝ eq \f(2,5)，解得m＝3，
∵m＋n＋6＝10，∴n＝1.
(2)设事件A为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，则P(A)＝ eq \f(C eq \\al(1,3)C eq \\al(2,3)＋1,C eq \\al(3,10))＝ eq \f(1,12).
(3)由题意可知，这10名学生中是女生或专业为数学的人数为7，X所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(3,3),C eq \\al(3,10))＝ eq \f(1,120)，P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(1,7)C eq \\al(2,3),C eq \\al(3,10))＝ eq \f(7,40)，
P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(2,7)C eq \\al(1,3),C eq \\al(3,10))＝ eq \f(21,40)，P(X＝3)＝ eq \f(C eq \\al(3,7),C eq \\al(3,10))＝ eq \f(7,24)，
故X的分布列为
故E(X)＝0× eq \f(1,120)＋1× eq \f(7,40)＋2× eq \f(21,40)＋3× eq \f(7,24)＝ eq \f(21,10)，
D(X)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(21,10))) eq \s\up12(2)× eq \f(1,120)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(21,10))) eq \s\up12(2)× eq \f(7,40)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(21,10))) eq \s\up12(2)× eq \f(21,40)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(21,10))) eq \s\up12(2)× eq \f(7,24)＝ eq \f(49,100).
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．解析：X的可能取值为1，2，3，4，依据四个选项中的p1，p2，p3，p4的值，四种情形的数学期望E(X)＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都为2.5，方差D(X)＝[1－E(X)]2×p1＋[2－E(X)]2×p2＋[3－E(X)]2×p3＋[4－E(X)]2×p4，标准差为 eq \r(D(X)).
A中的方差D(X)＝0.65；
B中的方差D(X)＝1.85；
C中的方差D(X)＝1.05；
D中的方差D(X)＝1.45.
可知B的情形对应样本的标准差最大．
答案：B
2．解析：由随机变量X的分布列得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤b－a≤1，,0≤b≤1，,0≤a≤1，,b－a＋b＋a＝1，))解得b＝0.5，0≤a≤0.5，
∴E(X)＝0.5＋2a，0≤a≤0.5.
故当a在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内增大时，E(X)增大．
D(X)＝(－2a－0.5)2(0.5－a)＋(0.5－2a)2×0.5＋(1.5－2a)2a＝－4a2＋2a＋ eq \f(1,4)＝－4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,4))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(1,2)，
所以当a∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))时，D(X)单调递增，
当a∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))时，D(X)单调递减．
答案：AC
3．解析：设P(X＝1)＝P(X＝3)＝a，P(X＝2)＝b，
则2a＋b＝1.
于是E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.
答案：2
4．解析：由题意，可得X的可能取值为190，150，110，
且P(X＝190)＝ eq \f(C eq \\al(0,2)C eq \\al(2,3),C eq \\al(2,5))＝ eq \f(3,10)，P(X＝150)＝ eq \f(C eq \\al(1,2)C eq \\al(1,3),C eq \\al(2,5))＝ eq \f(3,5)，
P(X＝110)＝ eq \f(C eq \\al(2,2)C eq \\al(0,3),C eq \\al(2,5))＝ eq \f(1,10)，
则E(X)＝190× eq \f(3,10)＋150× eq \f(3,5)＋110× eq \f(1,10)＝158，所以方差D(X)＝322× eq \f(3,10)＋(－8)2× eq \f(3,5)＋(－48)2× eq \f(1,10)＝576.
答案：576
5．解：(1)由题意可知，X的所有可能取值为0，30，50，60，
P(X＝0)＝1－0.4＝0.6，
P(X＝30)＝0.4×(1－0.6)＝0.16，
P(X＝50)＝0.4×0.6×(1－0.8)＝0.048，
P(X＝60)＝0.4×0.6×0.8＝0.192.
故X的分布列为
(2)由(1)可知E(X)＝0×0.6＋30×0.16＋50×0.048＋60×0.192＝18.72.
若按照ABC顺序答题，记Y为小乐答题的累计得分，
则Y所有可能取值为0，10，30，60，
P(Y＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(Y＝10)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(Y＝30)＝0.8×0.6×(1－0.4)＝0.288，
P(Y＝60)＝0.8×0.6×0.4＝0.192，
故E(Y)＝0×0.2＋10×0.32＋30×0.288＋60×0.192＝23.36，E(X)＜E(Y)，
则小乐的判断正确．
6．解：(1)设该同学通过三所大学笔试的事件分别为A，B，C，
该同学至少通过一所大学笔试的概率P＝1－P( eq \x\t(A) eq \x\t(B) eq \x\t(C))
＝1－P( eq \x\t(A))P( eq \x\t(B))P( eq \x\t(C))＝1－ eq \f(1,4)× eq \f(1,3)× eq \f(1,2)＝ eq \f(23,24)，所以该同学至少通过一所大学笔试的概率为 eq \f(23,24).
(2)由条件可知X＝0，1，2，3，
P(X＝0)＝P( eq \x\t(A) eq \x\t(B) eq \x\t(C))＝ eq \f(1,4)× eq \f(1,3)× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,24)，
P(X＝1)＝P(A eq \x\t(B) eq \x\t(C))＋P( eq \x\t(A)B eq \x\t(C))＋P( eq \x\t(A) eq \x\t(B)C)＝ eq \f(3,4)× eq \f(1,3)× eq \f(1,2)＋ eq \f(1,4)× eq \f(2,3)× eq \f(1,2)＋ eq \f(1,4)× eq \f(1,3)× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,4)，
P(X＝2)＝P(AB eq \x\t(C))＋P(A eq \x\t(B)C)＋P( eq \x\t(A)BC)＝ eq \f(3,4)× eq \f(2,3)× eq \f(1,2)＋ eq \f(3,4)× eq \f(1,3)× eq \f(1,2)＋ eq \f(1,4)× eq \f(2,3)× eq \f(1,2)＝ eq \f(11,24)，
P(X＝3)＝P(ABC)＝ eq \f(3,4)× eq \f(2,3)× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,4)，
X的分布列为
E(X)＝0× eq \f(1,24)＋1× eq \f(1,4)＋2× eq \f(11,24)＋3× eq \f(1,4)＝
X
1
2
3
P
a
2b
a
X
1
2
3
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
a
X
－1
0
1
P
a
b
c
专业
性别
中文
英语
数学
体育
男
n
1
m
1
女
1
1
1
1
X
0
1
2
P
b－a
b
a
X
1
2
3
P
？
！
？
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,120)
eq \f(7,40)
eq \f(21,40)
eq \f(7,24)
X
0
30
50
60
P
0.6
0.16
0.048
0.192
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,24)
eq \f(1,4)
eq \f(11,24)
eq \f(1,4)