2025高考数学一轮复习-12.3-成对数据的统计相关性、一元线性回归模型-专项训练【含答案】

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1．下列有关线性回归的说法，不正确的是( )
A．具有相关关系的两个变量不是因果关系
B．散点图能直观地反映数据的相关程度
C．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系
D．任一组数据都有经验回归方程
2．对于样本相关系数，下列说法错误的是( )
A．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性
B．样本相关系数可以是正的，也可以是负的
C．样本相关系数r∈[－1，1]
D．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强
3．在线性回归模型中，变量x与y的一组样本数据对应的点均在直线y＝ eq \f(1,2)x＋1上，R2＝1－ eq \f(\i\su(i＝1,n, )(yi－\(y,\s\up6(^))i)2,\i\su(i＝1,n, )(yi－\x\t(y))2)，则R2等于( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2)
C．1 D． eq \f(5,2)
4．(多选)某工厂研究某种产品的产量x(单位：吨)与所需某种材料y(单位：吨)之间的相关关系，在生产过程中收集4组数据如表所示．根据表中数据可得经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝0.7x＋ eq \(a,\s\up6(^))，则下列四个说法中正确的为( )
A.变量x与y正相关
B．y与x的样本相关系数r0，故A正确，B错误；
由表格可得 eq \x\t(x)＝ eq \f(3＋4＋6＋7,4)＝5， eq \x\t(y)＝ eq \f(2.5＋3＋4＋5.9,4)＝3.85，
则0.7×5＋ eq \(a,\s\up6(^))＝3.85，解得 eq \(a,\s\up6(^))＝0.35，故C正确；
所以经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35，
当x＝8时， eq \(y,\s\up6(^))＝0.7×8＋0.35＝5.95，
即产量为8吨时，预测所需材料约为5.95吨，故D正确．
答案：ACD
5．解析：由表格，得 eq \x\t(x)＝ eq \f(2＋3＋5＋6,4)＝4， eq \x\t(y)＝ eq \f(28＋31＋41＋48,4)＝37，
所以37＝5×4＋ eq \(a,\s\up6(^))，即 eq \(a,\s\up6(^))＝17，
所以预测当广告费用为8万元时，销售额为5×8＋17＝57(万元).
答案：57
6．解析：由z＝ln y，则ln y＝ln 2e2x+1，即z＝ln 2＋ln e2x+1＝ln 2＋2x＋1，则z＝2x＋ln 2＋1，故m＝2，n＝ln 2＋1，所以mn＝2ln 2＋2.
答案：2ln 2＋2
7．解：(1) eq \x\t(x)＝ eq \f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，
eq \x\t(y)＝ eq \f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5.0.
(2) eq \i\su(i＝1,5,x)iyi－5 eq \x\t(x) eq \x\t(y)＝112.3－5×4×5＝12.3， eq \i\su(i＝1,5,x) eq \\al(2,i)－5 eq \x\t(x)2＝90－5×42＝10，
eq \i\su(i＝1,5,y) eq \\al(2,i)－5 eq \x\t(y)2≈140.8－5×52＝15.8，
所以r＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\t(x) \x\t(y),\r(\i\su(i＝1,5,x) eq \\al(2,i)－5\x\t(x)2)\r(\i\su(i＝1,5,y) eq \\al(2,i)－5\x\t(y)2))≈ eq \f(12.3,\r(10×15.8))＝ eq \f(12.3,\r(2)×\r(79))≈ eq \f(12.3,1.4×8.9)≈0.987，
r接近1，说明该设备的使用年限与所支出的维修费用之间具有很高的相关性．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．解析：由题意可知， eq \x\t(x)＝ eq \f(21＋23＋25＋27,4)＝24， eq \x\t(y)＝ eq \f(15＋18＋19＋20,4)＝18，
将(24，18)代入 eq \(y,\s\up6(^))＝0.8x＋ eq \(a,\s\up6(^))，
即18＝0.8×24＋ eq \(a,\s\up6(^))，解得 eq \(a,\s\up6(^))＝－1.2，
所以 eq \(y,\s\up6(^))＝0.8x－1.2，
当x＝30时， eq \(y,\s\up6(^))＝0.8×30－1.2＝22.8，
所以该数据的残差为23.6－22.8＝0.8.
答案：C
2．解析：设t＝x2，则 eq \(y,\s\up6(^))＝6t＋ eq \(a,\s\up6(^))，
由已知得 eq \x\t(t)＝ eq \f(1,5)×(1＋4＋9＋16＋25)＝11，
eq \x\t(y)＝ eq \f(1,5)×(2＋17＋36＋93＋142)＝58，
所以 eq \(a,\s\up6(^))＝58－6×11＝－8，故A错误，B正确；
在 eq \(y,\s\up6(^))＝6x2－8中，令x＝4，
得 eq \(y,\s\up6(^))4＝6×42－8＝88，
所以此回归模型第4周的残差为y4－ eq \(y,\s\up6(^))4＝93－88＝5，故C正确；
在 eq \(y,\s\up6(^))＝6x2－8中，令x＝6，
得 eq \(y,\s\up6(^))6＝6×62－8＝208，故D错误．
答案：BC
3．解析：由表格中的数据可得 eq \x\t(x)＝500， eq \x\t(y)＝5，故 eq \(a,\s\up6(^))＝5－0.011×500＝－0.5，故N＝0.011×10 000－0.5＝110－0.5＝109.5≈110，而n＝20，故疫苗的有效率为1－ eq \f(20,110)≈0.818.
答案：0.818
4．解析： eq \x\t(x)＝ eq \f(9＋9.5＋m＋10.5＋11,5)＝8＋ eq \f(m,5)，
eq \x\t(y)＝ eq \f(11＋n＋8＋6＋5,5)＝6＋ eq \f(n,5)，
回归直线一定经过点( eq \x\t(x)， eq \x\t(y))，
即6＋ eq \f(n,5)＝－3.2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8＋\f(m,5)))＋40，即3.2m＋n＝42.
又m＋n＝20，所以m＝10，n＝10.
答案：10
x
3
4
6
7
y
2.5
3
4
5.9
广告费用x(万元)
2
3
5
6
销售额y(万元)
28
31
41
48
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
色差x
21
23
25
27
色度y
15
18
19
20
周数(x)
1
2
3
4
5
治愈人数(y)
2
17
36
93
142
调查人数x
300
400
500
600
700
感染人数y
3
3
6
6
7
售价x
9
9.5
m
10.5
11
销售量y
11
n
8
6
5