人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时作业

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc187330486" 1 【知识点梳理】 PAGEREF _Tc187330486 \h 3
\l "_Tc187330487" 1.1 知识点一、平面向量基本定理 PAGEREF _Tc187330487 \h 3
\l "_Tc187330488" 1.1.1 平面向量基本定理 PAGEREF _Tc187330488 \h 3
\l "_Tc187330489" 1.1.2 如何使用平面向量基本定理 PAGEREF _Tc187330489 \h 3
\l "_Tc187330490" 1.2 知识点二、平面向量的坐标表示 PAGEREF _Tc187330490 \h 3
\l "_Tc187330491" 1.2.1 正交分解 PAGEREF _Tc187330491 \h 3
\l "_Tc187330492" 1.2.2 平面向量的坐标表示 PAGEREF _Tc187330492 \h 3
\l "_Tc187330493" 1.3 知识点三、平面向量的坐标运算 PAGEREF _Tc187330493 \h 4
\l "_Tc187330494" 1.3.1 平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 PAGEREF _Tc187330494 \h 4
\l "_Tc187330495" 1.3.2 如何进行平面向量的坐标运算 PAGEREF _Tc187330495 \h 4
\l "_Tc187330496" 1.4 知识点四、平面向量平行（共线）的坐标表示 PAGEREF _Tc187330496 \h 5
\l "_Tc187330497" 1.4.1 平面向量平行（共线）的坐标表示 PAGEREF _Tc187330497 \h 5
\l "_Tc187330498" 1.4.2 三点共线的判断方法 PAGEREF _Tc187330498 \h 5
\l "_Tc187330499" 1.5 知识点五、向量数量积的坐标表示 PAGEREF _Tc187330499 \h 5
\l "_Tc187330500" 1.6 知识点六、向量在几何中的应用 PAGEREF _Tc187330500 \h 5
\l "_Tc187330501" 2 【典型例题】 PAGEREF _Tc187330501 \h 5
\l "_Tc187330502" 2.1 题型一：平面向量基本定理的理解 PAGEREF _Tc187330502 \h 5
\l "_Tc187330503" 2.2 题型二：用基底表示向量 PAGEREF _Tc187330503 \h 6
\l "_Tc187330504" 2.3 题型三：平面向量的坐标表示 PAGEREF _Tc187330504 \h 7
\l "_Tc187330505" 2.4 题型四：平面向量加、减运算的坐标表示 PAGEREF _Tc187330505 \h 8
\l "_Tc187330506" 2.5 题型五：平面向量数乘运算的坐标表示 PAGEREF _Tc187330506 \h 9
\l "_Tc187330507" 2.6 题型六：向量共线的判定 PAGEREF _Tc187330507 \h 10
\l "_Tc187330508" 2.7 题型七：利用向量共线的坐标表示求参数 PAGEREF _Tc187330508 \h 11
\l "_Tc187330509" 2.8 题型八：定比分点坐标公式及应用 PAGEREF _Tc187330509 \h 11
\l "_Tc187330510" 2.9 题型九：数量积的坐标运算 PAGEREF _Tc187330510 \h 12
\l "_Tc187330511" 2.10 题型十：平面向量的模 PAGEREF _Tc187330511 \h 12
\l "_Tc187330512" 2.11 题型十一：平面向量的夹角、垂直问题 PAGEREF _Tc187330512 \h 13
\l "_Tc187330513" 2.12 题型十二：平面向量数量积的综合应用 PAGEREF _Tc187330513 \h 14
【知识点梳理】
知识点一、平面向量基本定理
平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的．
这说明如果且，那么．
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．
知识点剖析：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量．
如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算．
知识点二、平面向量的坐标表示
正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
知识点剖析：
如果基底的两个基向量、互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
知识点剖析：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中，．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
知识点三、平面向量的坐标运算
平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
知识点四、平面向量平行（共线）的坐标表示
平面向量平行（共线）的坐标表示
设非零向量，则，即，或．
知识点剖析：
若，则不能表示成因为分母有可能为0．
三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
，，
若则A，B，C三点共线．
知识点五、向量数量积的坐标表示
1、已知两个非零向量，，
2、设，则或
3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）．
知识点六、向量在几何中的应用
（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件
（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件
（3）求夹角问题，利用
（4）求线段的长度，可以利用或
【典型例题】
题型一：平面向量基本定理的理解
【例1】（2024·湖南邵阳·高一统考期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式1-1】（2024·山西·高一校联考阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ）
A．、B．、
C．、D．、
【变式1-2】（2024·高一课时练习）已知向量，不共线，则下列向量不可以作为一组基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【变式1-3】（2024·高一课时练习）下面三种说法中正确的是（ ）
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③零向量不可作为基中的向量.
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【方法技巧与总结】
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
题型二：用基底表示向量
【例2】（2024·辽宁大连·高一统考期末）在平行四边形中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】（2024·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（ ）

A．B．C．D．
【变式2-2】（2024·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期末）在中，为边上的中线，为的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2024·全国·高一假期作业）如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则（ ）

A．1B．2C．D．
【方法技巧与总结】
平面向量基本定理的作用以及注意点
（1）根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
（2）基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量．
题型三：平面向量的坐标表示
【例3】（2024·全国·高一随堂练习）如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标．

【变式3-1】（2024·全国·高一随堂练习）已知，两点的坐标，求，的坐标．
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【变式3-2】（2024·全国·高一课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标．
【变式3-3】（2024·全国·高一课堂例题）如图，是夹角为120°的两个单位向量，，且，．求在基下的坐标．

【方法技巧与总结】
在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．
题型四：平面向量加、减运算的坐标表示
【例4】（2024·全国·高一随堂练习）已知，设.
(1)求；
(2)求满足的实数
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
【变式4-1】（2024·云南昭通·高一校考期末）平面内三个向量，，．
(1)求；
(2)求满足的实数m，n．
【变式4-2】（2024·新疆·高一校考期末），求，的坐标.
【变式4-3】（2024·全国·高一随堂练习）已知向量、的坐标，求、的坐标．
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【方法技巧与总结】
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
题型五：平面向量数乘运算的坐标表示
【例5】（2024·江苏·高一专题练习）如图，网格纸上小正方形的边长为，向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ．

【变式5-1】（2024·天津·高一统考期末）已知向量，，若存在实数，满足，则实数的值为 .
【变式5-2】（2024·高一课时练习）已知点，，则的坐标为 ．
【方法技巧与总结】
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
（3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
题型六：向量共线的判定
【例6】（2024·高一课时练习）若，、，，则与的关系是 .
【变式6-1】（2024·全国·高一随堂练习）已知、、三点的坐标分别为、、，判断向量与是否共线．
【变式6-2】（2024·四川自贡·高一校考期末）（1）已知向量，，若，求k的值；
（2）已知，判断与是否共线?如果共线，它们的方向相同还是相反?
【变式6-3】（2024·湖南郴州·高一校考期末）已知、、，，.
（1）求点、及向量的坐标；
（2）求证：.
【方法技巧与总结】
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
题型七：利用向量共线的坐标表示求参数
【例7】（2024·全国·高一假期作业）已知向量，若，则的值为 ．
【变式7-1】（2024·河北石家庄·高一校考期末）已知向量，若与共线，则m的值为 ．
【变式7-2】（2024·陕西商洛·高一校考期末）已知向量，，若，则 ．
【变式7-3】（2024·高一课时练习）已知点 ，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为 .
【方法技巧与总结】
利用向量平行的条件处理求值问题的思路
（1）利用向量共线定理列方程组求解．
（2）利用向量平行的坐标表达式直接求解．
提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值．
题型八：定比分点坐标公式及应用
【例8】（2024·山西运城·高一统考期末）已知，，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M，则点P的坐标为 ．
【变式8-1】（2024·湖北·高一宜昌市夷陵中学校联考期末）已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为 ．
【变式8-2】（2024·高一课时练习）已知，，点P在线段AB的延长线上，且，则点P的坐标为 .
【方法技巧与总结】
用有向线段的定比分点坐标公式，可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法．
题型九：数量积的坐标运算
【例9】（2024·全国·模拟预测）在矩形中，，，，则向量在向量方向上的投影为 ．
【变式9-1】（2024·河南·统考模拟预测）在平行四边形中，，，点为线段 的中点，则 .
【变式9-2】（2024·辽宁抚顺·高三校联考期末）已知向量，，则 .
【变式9-3】（2024·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则 ．
【变式9-4】（2024·江西赣州·高一上犹中学校考期末）已知点，若，则 .
【方法技巧与总结】
进行数量积运算时，要正确使用公式，并能灵活运用以下几个关系．
题型十：平面向量的模
【例10】（2024·广东东莞·高一统考期末）已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式10-1】（2024·天津武清·高一校考阶段练习）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式10-2】（2024·高一课时练习）已知 ，，若，且，则实数a的值等于（ ）
A．1或2B．或1C．D．
【变式10-3】（2024·全国·高一专题练习）设平面向量，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
求向量的模的常见思路及方法
（1）求模问题一般转化为求模的平方，即，求模时，勿忘记开方．
（2）或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
题型十一：平面向量的夹角、垂直问题
【例11】（2024·重庆綦江·高一校考期末）已知，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式11-1】（2024·黑龙江佳木斯·高一佳木斯一中校考期末）若向量，且与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式11-2】（2024·贵州毕节·高一统考期末）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式11-3】（2024·贵州铜仁·高一贵州省松桃民族中学校考阶段练习）已知，是非零向量，且，不共线，，，若向量与互相垂直，则实数的值为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）求解方法：由直接求出．
（2）注意事项：利用三角函数值求的值时，应注意角的取值范围是．利用判断的值时，要注意时，有两种情况：一是是钝角，二是为；时，也有两种情况：一是是锐角，二是为．
题型十二：平面向量数量积的综合应用
【例12】（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）平面向量，，满足，，则的最大值为 .
【变式12-1】（2024·辽宁本溪·高二校考期末）如图，在边长为4的正方形中，点是正方形外接圆上任意一点，则的取值范围是 .

【变式12-2】（2023海南省直辖县级单位·高一校考期末）如图放置的边长为2的正方形ABCD顶点A，D分别在轴，轴正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是 ．
【变式12-3】（2023湖北鄂州·高一统考期末）如图，在中，，点P为边BC上的一动点，则的最小值为 .
【变式12-4】（2023福建三明·高一三明市第二中学校考阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作圆弧交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则的最小值为 ．
【变式12-5】（2023江苏南京·高一校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴非负半轴和y轴非负半轴上，顶点C在第一象限内，AB＝2，BC＝1，设∠DAx＝θ，若，则的取值范围为 ．
【方法技巧与总结】
坐标法
运算
坐标语言
加法与减法
记，
，
实数与向量的乘积
记，则