2024-2025学年山东省济宁市邹城市兖矿一中高二（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年山东省济宁市邹城市兖矿一中高二（上）期末数学试卷，共47页。
2．（5分）已知直线l1：x﹣y+1＝0与直线l2：2x+ay﹣2＝0平行，则l1与l2之间的距离为（ ）
A．B．2C．D．
3．（5分）已知数列{an}为等差数列，且a1+a2+a3＝3，a2+a3+a4＝6，则a8＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．（5分）圆x2+y2＝1与圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的公共弦的长度为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，BN＝NC，AB＝，，，则＝（ ）
A．++B．+﹣
C．++D．+﹣
6．（5分）若圆x2+y2＝r2（r＞0）上恰有3个点到直线的距离为1，则r＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（5分）若椭圆C： 的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上的任意一点，则|PF1|•|PF2|的取值范围是（ ）
A．[1，3]B．[2，3]C．D．
8．（5分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n层有an个球，则数列的前20项和为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（6分）已知事件A，B发生的概率分别为P（A）＝，P（B）＝，则下列说法中正确的是（ ）
A．若A与B互斥，则
B．若A⊆B，则P（AB）＝
C．若A与B相互独立，则P（）＝
D．若，则A与B相互独立
（多选）10．（6分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S13＞S14＞S12，则下列结论中正确的是（ ）
A．{an}是递增数列
B．an＞0时，n的最大值为13
C．数列{Sn}中的最大项为S13
D．Sn＞0时，n的最大值为27
（多选）11．（6分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．点A1到平面BDE的距离为
B．异面直线AC1与BE所成角的余弦值为
C．三棱锥A1﹣BDE的外接球的表面积为11π
D．若点M在底面ABCD内运动，且点M到直线AC1的距离为，则点M的轨迹为一个椭圆的一部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝3，a5＝81，则S5＝ ．
13．（5分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小为60°，其棱l上有两个点A，B，线段AC与BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若AB＝3，AC＝2，BD＝2，则C，D两点间的距离为 ．
14．（5分）已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线l与圆x2+y2＝a2相切于点N，与C的右支交于点P，若|PN|＝3|NF|，则C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知圆M过点A（1，0），B（3，2），C（3，﹣2）．
（1）求圆M的标准方程；
（2）若过原点的直线l交圆M于E，F两点，且|EF|＝2，求直线l的方程．
16．（15分）一个不透明的箱子中有4个红球、2个蓝球（球除颜色外，没有其它差异）．
（1）若从箱子中不放回的随机抽取两球，求两球颜色相同的概率；
（2）若从箱子中有放回的抽取两球，求两球颜色相同的概率．
17．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an+n﹣3．
（1）证明数列{an﹣1}为等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）在an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn．
18．（17分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，EF∥AB，AB＝2EF．
（1）求证：BD⊥平面ACF；
（2）在线段AE上是否存在点M，使平面MAD与平面MBC夹角的余弦值为．若存在，请说明点M的位置；若不存在，请说明理由．
19．（17分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为P，且．
（1）求C的标准方程；
（2）不过原点O的直线l：y＝kx+m与C交于不同的两点A、B，在OA的延长线上取一点D使得|OA|＝|AD|，连接BD交C于点E（点E在线段BD上且不与端点重合），若S△OAB＝2S△EAB，试求直线l与坐标轴所围成三角形面积的最小值．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）抛物线y＝的焦点坐标是（ ）
A．（，0）B．（0，）C．（0，1）D．（1，0）
【考点】抛物线的焦点与准线．
【答案】C
【分析】先将方程化简为标准形式，即可得焦点坐标．
【解答】解：由抛物线可得x2＝4y，故焦点坐标为（0，1）
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线的简单性质．属基础题．
2．（5分）已知直线l1：x﹣y+1＝0与直线l2：2x+ay﹣2＝0平行，则l1与l2之间的距离为（ ）
A．B．2C．D．
【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【答案】A
【分析】在直线l2上取点（1，0），求点（1，0）到直线l1的距离即可．
【解答】解：在直线l2：2x+ay﹣2＝0上取点（1，0），
则l1与l2之间的距离即为点（1，0）到直线l1：x﹣y+1＝0的距离，
即为．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的定义与距离的计算问题，是基础题．
3．（5分）已知数列{an}为等差数列，且a1+a2+a3＝3，a2+a3+a4＝6，则a8＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的性质．
【答案】D
【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解．
【解答】解：因为数列{an}为等差数列，且a1+a2+a3＝3a2＝3，a2+a3+a4＝3a3＝6，
所以a2＝1，a3＝2，d＝1，
则a8＝a2+6d＝1+6＝7．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
4．（5分）圆x2+y2＝1与圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的公共弦的长度为（ ）
A．B．C．D．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定．
【答案】D
【分析】直接利用圆与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求出结果．
【解答】解：圆 x2+y2＝1与圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0，
两圆的方程相减得：2x﹣4y﹣2＝0，整理得：x﹣2y﹣1＝0，
所以圆心（0，0）到直线x﹣2y﹣1＝0的距离d＝，
所以公共弦长为．
故选：D．
【点评】本题考查知识点：圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
5．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，BN＝NC，AB＝，，，则＝（ ）
A．++B．+﹣
C．++D．+﹣
【考点】空间向量及其线性运算．
【答案】B
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，BN＝NC，AB＝，，，如图所示：
则：＝．
故选：B．
【点评】本题考查知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6．（5分）若圆x2+y2＝r2（r＞0）上恰有3个点到直线的距离为1，则r＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】C
【分析】求出圆心到直线的距离，通过与直线的距离为1的平行直线可得r的大小．
【解答】解：圆心O（0，0）到直线的距离，
因为圆x2+y2＝r2（r＞0）上恰有3个点到直线的距离为1，
与直线的距离为1的平行直线有两条，如图中虚线，
当圆x2+y2＝r2（r＞0）与这两条平行线中的一条有2个交点，一条相切时，可满足题意，
此时r＝2+1＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题．
7．（5分）若椭圆C： 的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上的任意一点，则|PF1|•|PF2|的取值范围是（ ）
A．[1，3]B．[2，3]C．D．
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】B
【分析】由椭圆的方程可得a，b，c的值，再由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝2，可得|PF1|•|PF2|＝（2﹣|PF2|）•|PF2|，再由|PF2|的范围，换元整理，由二次函数的性质可得它的最值．
【解答】解：由椭圆的方程可得a＝，b＝，c＝＝1，
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝2，
可得|PF1|＝2a﹣|PF2|，
所以|PF1|•|PF2|＝（2﹣|PF2|）•|PF2|，
设|PF2|＝t，则t∈[a﹣c，a+c]，即t∈[﹣1，+1]，
设f（t）＝（2﹣t）•t＝﹣t2+2t，t∈[﹣1，+1]，
开口向下，对称轴t＝，而∈[﹣1，+1]，
且|﹣1﹣3|＞|+1﹣|，
所以f（t）max＝f（）＝﹣3+2×＝3，
f（t）min＝f（﹣1）＝﹣（﹣1）2+2（﹣1）＝2，
所以f（t）∈[2，3]．
即|PF1|•|PF2|∈[2，3]．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的定义的应用及二次函数的性质的应用，换元法的应用，属于中档题．
8．（5分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第n层有an个球，则数列的前20项和为（ ）
A．B．C．D．
【考点】数列的求和；归纳推理．
【答案】A
【分析】由题意可得：a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3，……，可得an＝1+2+3+…+n，利用求和公式即可得出an，再利用裂项求和即可得出结论．
【解答】解：由题意可得：a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3，……，
∴an＝1+2+3+…+n＝，
∴＝＝2（﹣），
∴数列的前20项和为2×[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝2×（1﹣）＝．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）9．（6分）已知事件A，B发生的概率分别为P（A）＝，P（B）＝，则下列说法中正确的是（ ）
A．若A与B互斥，则
B．若A⊆B，则P（AB）＝
C．若A与B相互独立，则P（）＝
D．若，则A与B相互独立
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式．
【答案】ACD
【分析】利用互斥事件概率公式判断A；利用条件概率公式判断B；利用独立事件的性质判断C；利用独立事件的概率公式判断D．
【解答】解：事件A，B发生的概率分别为，P（B）＝，
对于A，若A与B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝＝，故A正确；
对于B，若A⊆B，则P（B|A）＝1，∴P（AB）＝P（A）P（B|A）＝＝，故B错误；
对于C，若A与B相互独立，则P（）＝P（）P（）＝（1﹣）（1﹣）＝，故C正确；
对于D，由题意知＝，P（）＝，
∴＝P（），∴，∴A与B相互独立，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查互斥事件、条件概率、独立事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（6分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S13＞S14＞S12，则下列结论中正确的是（ ）
A．{an}是递增数列
B．an＞0时，n的最大值为13
C．数列{Sn}中的最大项为S13
D．Sn＞0时，n的最大值为27
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．
【答案】BC
【分析】利用等差数列的前n项和公式和等差数列的性质得到a13＞0和a14＜0，从而逐项判断．
【解答】解：由已知，S13＞S12⇒S12+a13＞S12⇒a13＞0，
S13＞S14＝S13+a14⇒a14＜0，
所以等差数列{an}的前13项大于0，从第14项开始小于0，B正确；
则a1＞0，d＜0，所以{an}是递减数列，A错误；
且S13为等差数列{an}的前n项和的最大值，C正确；
，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查等差数列的性质，属于基础题．
（多选）11．（6分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．点A1到平面BDE的距离为
B．异面直线AC1与BE所成角的余弦值为
C．三棱锥A1﹣BDE的外接球的表面积为11π
D．若点M在底面ABCD内运动，且点M到直线AC1的距离为，则点M的轨迹为一个椭圆的一部分
【考点】点、线、面间的距离计算；命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征；球的体积和表面积．
【答案】ACD
【分析】对于A，利用点到平面的距离公式判断即可；
对于B，利用线线角的向量求法判断即可；
对于C，利用球的方程解出半径再求面积即可；
对于D，利用圆柱与平面的截面即可判断．
【解答】解：对于A，以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示：
则D（0，0，0），B（2，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），
故，，，
设面BDE的法向量，点A1到平面BDE的距离为d，
则2x+2y＝0，2y+z＝0，令x＝﹣1，解得y＝1，z＝﹣2，
所以，
由点到平面的距离公式得，选项A正确；
对于B，易知A（2，0，0），C1（0，2，2），故，，
设异面直线AC1与BE所成角为θ，则，选项B错误；
对于C，设三棱锥A1﹣BDE的外接球的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2+（c﹣z）2＝R2，
将A1，B，D，E代入球的方程，
可得，
利用加减消元法可得，
解得，代入方程中可得，
解得，，故表面积为，选项C正确；
对于D，因为M到直线A1C的距离为，故M的轨迹是以A1C为对称轴的圆柱，
而M又在底面上，底面与对称轴不垂直，
所以M在底面与圆柱的截面上，此截面必为椭圆的一部分，选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了空间中的几何体外接球应用问题，解题的关键是确定球心和半径，也可以利用球的方程确定球心坐标和球的半径，而空间中动点的轨迹，则需利用几何体的特征确定动点的几何特征，结合线面关系确定轨迹．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝3，a5＝81，则S5＝ 121 ．
【考点】等比数列的前n项和．
【答案】121．
【分析】由已知结合等比数列的性质及求和公式即可求解．
【解答】解：等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81，
则q3＝＝27，即q＝3，
所以a1＝1，
则S5＝＝121．
故答案为：121．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质及求和公式，属于基础题．
13．（5分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小为60°，其棱l上有两个点A，B，线段AC与BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若AB＝3，AC＝2，BD＝2，则C，D两点间的距离为 ．
【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．
【答案】．
【分析】利用向量的线性关系可得，两边平方可求CD的长度．
【解答】解：因为二面角α﹣l﹣β的大小为60°，，
＝．
所以，即C，D两点间的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查两点间距离的计算，考查向量法的运用，属中档题．
14．（5分）已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线l与圆x2+y2＝a2相切于点N，与C的右支交于点P，若|PN|＝3|NF|，则C的离心率为 ．
【考点】双曲线的几何特征．
【答案】．
【分析】先利用条件表示出|PF|，|PF1|，|FF1|，然后在三角形PFF1中利用余弦定理列式计算得到4a＝3b，进而根据求出离心率．
【解答】解：如图，
设双曲线右焦点为F1（c，0），
则，
则|PF|＝|PN|+|NF|＝4|NF|＝4b，
∴|PF1|＝|PF|﹣2a＝4b﹣2a，又|FF1|＝2c，
∴，
整理得4a＝3b，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查圆与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知圆M过点A（1，0），B（3，2），C（3，﹣2）．
（1）求圆M的标准方程；
（2）若过原点的直线l交圆M于E，F两点，且|EF|＝2，求直线l的方程．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．
【答案】（1）（x﹣3）2+y2＝4；
（2）．
【分析】（1）设出圆M的标准方程，代入A、B、C的坐标，解方程组即可得到答案；
（2）利用点到直线的距离公式与弦长公式加以计算，求得直线l的方程．
【解答】解：（1）设圆M的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
代入A、B、C的坐标，可得，解得，
所以圆M的标准方程为（x﹣3）2+y2＝4；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l方程为x＝0，与圆M相离，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx，即kx﹣y＝0，
因为直线l被圆M截得弦长为|EF|＝2，可得（d为点M到直线l的距离），
解得d＝，即M（3，0）到直线l的距离d＝，解得，所以直线l的方程是，即．
【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识，属于中档题．
16．（15分）一个不透明的箱子中有4个红球、2个蓝球（球除颜色外，没有其它差异）．
（1）若从箱子中不放回的随机抽取两球，求两球颜色相同的概率；
（2）若从箱子中有放回的抽取两球，求两球颜色相同的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意写出从箱子中随机抽取两球的样本空间，从而得到答案；
（2）分别计算“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为红球”和“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为蓝球”的概率，利用互斥事件的概率公式计算即可．
【解答】解：（1）把4个红球标记为A1，A2，A3，A4，2个蓝球标记为B1，B2，
从箱子中随机抽取两球的样本空间为：
Ω＝{A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A3A4，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2}，共有15个样本点，
设事件E＝“从箱子中随机抽取两球且颜色相同”，
则事件E＝{A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A2A4，A3A4，B1B2}，包含7个样本点，
∴．
（2）设事件F＝“从箱子中有放回地抽取两球且颜色相同”，
事件M＝“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为红球”，
事件N＝“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为蓝球”，
则F＝M∪N，且M与N互斥．
所以，，
则．
【点评】本题考查古典概型、列举法、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an+n﹣3．
（1）证明数列{an﹣1}为等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）在an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn．
【考点】错位相减法．
【答案】（1）证明见解析，；
（2）．
【分析】（1）利用等比数列的定义证明，并求通项公式即可；
（2）分析题意求出新数列，再用错位相减法求和即可．
【解答】证明：（1）因为Sn＝2an+n﹣3①，
当n＝1时，a1＝2a1﹣2，所以a1＝2，
当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1+n﹣4②，
由①﹣②得an＝2an﹣2an﹣1+1，即an＝2an﹣1﹣1，
所以an﹣1＝2（an﹣1﹣1），又a1﹣1＝1，
所以数列{an﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列，
所，故；
解：（2）因为an+1＝an+（n+1）dn，所以2n+1＝2n﹣1+1+（n+1）dn，
解得，所以，
所以，
，
两式相减得
＝，
所以．
【点评】本题考查了等比数列的证明和错位相减求和，属于中档题．
18．（17分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，EF∥AB，AB＝2EF．
（1）求证：BD⊥平面ACF；
（2）在线段AE上是否存在点M，使平面MAD与平面MBC夹角的余弦值为．若存在，请说明点M的位置；若不存在，请说明理由．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）存在点M，满足题意，且点M为线段AE的中点．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法得出，从而得出BD⊥AF，利用四边形ABCD是菱形，得出BD⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可得出证明；
（2）设，0≤λ≤1，利用（1）结果，求出平面MBC的一个法向量和平面MAD的一个法向量为，再根据条件，利用面面角的向量法即可求出结果．
【解答】证明：（1）取AD的中点O，连接OE，OB，
因为△ADE为等边三角形，所以OE⊥AD，
又平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，OE⊂平面ADE，
所以OE⊥平面ABCD，
又四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，所以OB⊥AD，
故以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AB＝AD＝ED＝EA＝BD＝2，EF＝1，计算可得，
则A（1，0，0），，，D（﹣1，0，0），，
所以，，
得到，故，，
得到，所以BD⊥AF，
又BD⊥AC，AC⊂平面ACF，AF⊂平面ACF，AC∩AF＝A，
所以BD⊥平面ACF；
解：（2）假设存在点M，使平面MAD与平面MBC夹角的余弦值为，
设，0≤λ≤1，则，
所以xM＝1﹣λ，yM＝0，．即，
所以，，
设平面MBC的法向量为，则，，
则，所以，
令z＝1，得x＝0，y＝λ，所以，
又平面MAD的一个法向量为，
所以，解得或（舍去），
所以存在点M，使平面MAD与平面MBC夹角的余弦值为，此时点M为线段AE的中点．
【点评】本题考查了线面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．
19．（17分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为P，且．
（1）求C的标准方程；
（2）不过原点O的直线l：y＝kx+m与C交于不同的两点A、B，在OA的延长线上取一点D使得|OA|＝|AD|，连接BD交C于点E（点E在线段BD上且不与端点重合），若S△OAB＝2S△EAB，试求直线l与坐标轴所围成三角形面积的最小值．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的几何特征．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据三角形的面积公式、椭圆的离心率以及a，b，c中之间关系可求得a2，b2的值，由此可得出椭圆C的标准方程；
（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，求出点D的坐标，根据题意推导出点E为线段BD的中点，将点E的坐标代入椭圆C的方程，可得出x1x2+2y1y2＝﹣2，将韦达定理代入可得2m2＝6k2+3，再利用基本不等式可求得直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．
【解答】解：（1）由题意可得，
又因为椭圆C的离心率为，所以a2＝2c2，
又a2＝b2+c2，联立解得a2＝8，b2＝4，
所以椭圆C的标准方程为：；
（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立整理可得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，
则Δ＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣8）＝8（4k2+2﹣m2）＞0，①
由韦达定理可得，，
所以
＝，
因为点A为OD中点，所以D（2x1，2y1），
由S△OAB＝2S△EAB，可得S△ABD＝S△OAB＝2S△EAB，即|BD|＝2|BE|，
所以，点E为BD中点，
所以点E的坐标为，
将点E的坐标代入椭圆C的方程，可得，
化简得，
又，，
代入上式可得，，即x1x2+2y1y2＝﹣2．
把，，代入x1x2+2y1y2＝﹣2，
可得2m2＝6k2+3，且满足①式．
在直线l的方程中，令y＝0，可得，即直线l交x轴于点，
则直线l与坐标轴所围成三角形面积为
，
当且仅当时，即当时取等号．
所以直线l与坐标轴所围成三角形面积的最小值为．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题．
考点卡片
1．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
2．等差数列的性质
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝ （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
【解题方法点拨】
例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
3．等差数列的通项公式
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
【解题方法点拨】
eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列
解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，
∴an＝，
把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，
∴{an}不是等差数列
考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．
eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为
解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，
∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，
解得a＝2．
∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，
∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．
故答案：4n﹣3．
这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．
【命题方向】
求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．
4．等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝
【解题方法点拨】
eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝
解：∵d＝1，S5＝15，
∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，
则S10＝10a1+d＝10+45＝55．
故答案为：55
点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．
eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．
解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．
∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，
该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．
∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，
n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，
∴．
点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．
【命题方向】
等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．
5．等比数列的前n项和
【知识点的认识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
6．数列的求和
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【解题方法点拨】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
＝
＝．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn＝＝n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn＝＝＝＝，
∴Tn＝＝＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【命题方向】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
7．错位相减法
【知识点的认识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等：
错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
【解题方法点拨】
﹣错位相减：将数列{an×bn}的项乘以等比数列的公比q，再与数列{an×bn}的项进行相减，得到简化的公式．﹣化简公式：通过错位相减法化简求和公式，特别是等差和等比数列的求和．
【命题方向】
常见题型包括利用错位相减法计算等差或等比数列的前n项和，结合具体数列进行分析．求和：1×21+2×22+3×23+…+n×2n．
解：设Sn＝1×21+2×22+3×23+…+n×2n，
∴2Sn＝1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，
∴﹣Sn＝21+22+23+…+2n﹣n•2n+1
＝＝2n+1﹣2﹣n•2n+1
＝（1﹣n）•2n+1﹣2，
∴．
8．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
9．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
10．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
11．空间向量及其线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为﹣．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．
2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律：．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：
（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．
1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0时，与的方向相同；
②当λ＜0时，与的方向相反；
③当λ＝0时，＝．
④|λ|＝|λ|•||
的长度是的长度的|λ|倍．
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（λ+μ）＝+
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．
12．二面角的平面角及求法
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，
此时csθ＝cs＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞＜π时，θ＝π﹣＜，＞，
csθ＝﹣cs＜，＞＝﹣．
13．点、线、面间的距离计算
【知识点的认识】
14．直线的一般式方程与直线的平行关系
【知识点的认识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．
15．两条平行直线间的距离
【知识点的认识】
﹣平行直线方程：两条平行直线的方程为：
直线Ax+By+C1＝0与
直线Ax+By+C2＝0
它们之间的距离为：
【解题方法点拨】
﹣计算距离：
1．选择一条直线：选择其中一条直线计算点到另一条直线的距离．
2．应用公式：用点到直线距离公式，其中点选择在第一条直线上的点．
【命题方向】
﹣平行直线距离：常考查计算两条平行直线间的垂直距离，涉及相似方程和坐标变换．
16．圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
【解题方法点拨】
已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：
（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；
（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．
另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．
【命题方向】
可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化．
例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是 （x﹣3）2+（y+2）2＝5
分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．
解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，
由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，
故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5
点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．
例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．
解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，
化简得：|4a﹣3b|＝5①，
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），
把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），
∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故选：A
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．
例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．
解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为 x2+（y+1）2＝2，
故半径等于，
故选B．
点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．
17．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
直线与圆的位置关系
【解题方法点拨】
判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
18．圆与圆的位置关系及其判定
【知识点的认识】
圆与圆的位置关系
【解题方法点拨】
圆与圆的位置关系的判定
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d
（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断
①外离（4条公切线）：d＞r1+r2
②外切（3条公切线）：d＝r1+r2
③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2
④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2|
⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|
（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．
19．两圆的公切线条数及方程的确定
【知识点的认识】
之前谈到过圆外一点可以做两条圆的相切，那么当有两个圆的时候，他们的公切线有几条呢？这里面不得不考虑两个圆的位置关系．①当两圆相离时，公切线有四条；②当两圆外切时，公切线有三条；③当两圆内切时，公切线仅有一条；④当两圆的关系为内含时，没有公切线．
【解题方法点拨】
初中知识，在高考中较少涉及，求切线的方法无外乎先设出切线方程，然后根据切线的性质求出切线的参数即可．
20．椭圆的几何特征
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
21．直线与椭圆的综合
【知识点的认识】
直线与椭圆的位置判断：将直线方程与椭圆方程联立，消去x（或y）的一元二次方程，则：
直线与椭圆相交⇔Δ＞0；
直线与椭圆相切⇔Δ＝0；
直线与椭圆相离⇔Δ＜0；
【解题方法点拨】
（1）直线与椭圆位置关系的判断方法
①联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断；
②借助直线和椭圆的几何性质来判断．
根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，也是解决此类问题的难点所在．
（2）弦长的求法
设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
则|AB|＝＝（k为直线斜率）
注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
（3）中点弦、弦中点常见问题
①过定点被定点平分的弦所在直线的方程；
②平行弦中点的轨迹；
③过定点的弦的中点的轨迹．
解决有关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”，这两种方法的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点．
（4）椭圆切线问题
①直线与椭圆相切，有且仅有一个公共点；
②过椭圆外一点可以作两条直线与椭圆相切；
③过椭圆上一点只能作一条切线．
（5）最值与范围问题的解决思路
①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；
②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解．
在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等可利用条件．
【命题方向】
1．由已知条件求椭圆的方程或离心率；
2．由已知条件求直线的方程；
3．中点弦或弦的中点问题；
4．弦长问题；
5．与向量结合求参变量的取值．
22．抛物线的焦点与准线
【知识点的认识】
抛物线的简单性质：
23．双曲线的几何特征
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
24．互斥事件与对立事件
【知识点的认识】
1．互斥事件
（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．
如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥．
（2）互斥事件的概率公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A+B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
2．对立事件
（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做．
注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；
②在一次试验中，事件A与只发生其中之一，并且必然发生其中之一．
（2）对立事件的概率公式：
P（）＝1﹣P（A）
3．互斥事件与对立事件的区别和联系
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．
【命题方向】
1．考查对知识点概念的掌握
例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个红球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”
D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”
分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可
解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确
对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确
对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，
又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，
得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，
∴D正确
故选D
点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．
例2：下列说法正确的是（ ）
A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小．
分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．
解答：根据对立事件和互斥事件的概念，
得到对立事件一定是互斥事件，
两个事件是互斥事件不一定是对立事件，
故选B．
点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案．
2．互斥事件概率公式的应用
例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是
分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，且，，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．
解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，
则，，
则乙不输即为事件A+B，
由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝
故答案为：
点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．
3．对立事件概率公式的应用
例：若事件A与B是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（ ）
A.0 B.0.4 C.0.6 D.1
分析：根据对立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A），解得即可．
解答：因为对立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A）＝0.6，
故选C．
点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．
25．互斥事件的概率加法公式
【知识点的认识】
互斥事件的概率加法公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A∪B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
26．古典概型及其概率计算公式
【知识点的认识】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝．
【解题方法点拨】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
27．列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【知识点的认识】
1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝．
等可能条件下概率的特征：
（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
（2）每一个结果出现的可能性相等．
2、概率的计算方法：
（1）列举法（列表或画树状图），
（2）公式法；
列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．
列表法
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
树状图法
（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．
【解题方法点拨】
典例1：将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2＝的内部，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣，+∞） B．（﹣∞，） C．（﹣，） D．（﹣，）
解析：对于a与b各有6中情形，故总数为36种
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b＝6，故概率为P＝＝
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2相交的情形除平行与重合即可，
∵当直线l1、l2相交时b≠2a，图中满足b＝2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，
∴满足b≠2a的有36﹣3＝33种，
∴直线l1、l2相交的概率P＝＝，
∵点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2＝的内部，
∴（﹣m）2+（）2＜，
解得﹣＜m＜
故选：D
典例2：某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下
（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
解析：（1）由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n＝1，
即 m+n＝0.45．…（2分）
由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，
得 ．…（4分）
所以m＝0.45﹣0.1＝0.35．…（5分）
（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，
记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）
共计10种．…（9分）
记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．
则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个．…（11分）
故所求概率为 ．…（13分）
28．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率为：
P（A•B）＝P（A）•P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
29．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．
推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，An，…}，
2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例1：下列表述正确的是（ ）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．
解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．
例2：下列推理是归纳推理的是（ ）
A．A，B为定点，动点P满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
B．由a1＝2，an＝3n﹣1求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
解答：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C选项由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意．
例：对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1+3
32＝1+3+5
42＝1+3+5+7
23＝3+5
33＝7+9+11
43＝13+15+17+19
根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n＝（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+11＝＝36，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
∵n3的分解中最小的数是21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故选B．
点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n的值是解题的关键．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
D
B
C
B
A
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
等级
1
2
3
4
5
频率
0.05
m
0.15
0.35
n