新高考数学二轮复习巩固训练 专题06《随机变量及其分布》小题综合练（2份，原卷版+教师版）

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离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）;
（2）.
数学期望
数学期望的性质
（1）.
（2）若～,则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
方差
标准差=.
方差的性质
(1)；
(2）若～，则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
方差与期望的关系 .
正态分布密度函数
，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
对于，取值小于x的概率 .
.
冲刺训练
1.随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A．0.22B．0.24C．0.28D．0.36
【答案】A
【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得．
【详解】∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，
∵，∴.故选：A.
2.研究人员采取普查的方式调查某市国企普通职工的收入情况，记被调查的职工的收入为X，统计分析可知，则（ ）参考数据：若，则，，.
A．0.8186B．0.9759C．0.74D．0.84
【答案】D
【分析】根据正态分布的性质结合条件即得.
【详解】依题意，，所以
.故选：D.
3.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，通过统计相关数据后，发现坐公交车用时和骑自行车用时都近似服从正态分布. 绘制了概率分布密度曲线，如图所示，则下列哪种情况下，应选择骑自行车（ ）
A．有26 min可用B．有30 min可用
C．有34 min可用D．有38 min可用
【答案】D
【分析】应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具，结合图形，比较概率的大小可得答案.
【详解】由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.根据和的分布密度曲线图可知，，，，.所以，如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车.故选：D.
4.设，则随机变量的分布列是
则当在内减小时，（ ）
A．减小B．增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
【答案】C
【分析】根据期望公式求得随机变量的期望，之后利用方差公式求得随机变量的方差，根据二次函数的性质求得结果.
【详解】根据题意可得，，
，所以在单调递减，在单调递增，所以先减小后增大.
故选：C.
5.已知随机变量，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正态分布的性质求出的值，则，令，，则，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】因为随机变量，且，所以，即，所以，所以令，，
所以，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，即的最大值为.故选：D.
6.近年来，网络消费新业态、新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为50万人，从该县随机选取5000人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下5组：、、 、，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分X（单位：分）近似地服从正态分布，且，，，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得.则以下不正确的是（ ）

A．由直方图可估计样本的平均数约为74.5
B．由直方图可估计样本的中位数约为75
C．由正态分布估计全县的人数约为2.3万人
D．由正态分布估计全县的人数约为40.9万人
【答案】C
【分析】由频率分布直方图所给数据可计算出样本的平均数与中位数，即可判断AB选项；由由此即可判断C选项；由，可判断D选项.
【详解】对于A选项，由直方图可估计样本的平均数为
，A对；
对于B选项，满意度得分在之间的频率为，
满意度得分在之间的频率为，
设样本的中位数为，则，由中位数的定义可得，解得，B对；
对于C选项，因为，，，所以，，
所以，由正态分布可估计全县的人数约为万人，C错；
对于D选项，因为，，所以，
，
所以，由正态分布可估计全县的人数约为万人，D对.故选：C
7.下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量，则
B．若随机变量服从两点分布，且，则
C．若随机变量的分布列为，则
D．若随机变量，则的分布列中最大的只有
【答案】D
【分析】A选项，根据正态分布的对称性得到，A正确；B选项，根据服从两点分布，且得到分布列，求出的分布列，求出期望值和方差；C选项，根据概率之和为1列出方程，求出；D选项，根据解出答案.
【详解】A选项，，由正态分布的对称性可知，A正确；
B选项，若随机变量服从两点分布，且，即分布列为：
所以
故，则，B正确；
C选项，分布列中概率之和为1，即，解得，C正确；
D选项，随机变量，令，
即，解得，因为，所以或3，
则的分布列中最大的有或，D错误.故选：D
8．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据、、、、、、、的第分位数（中位数）为
B．一组数据、、、、、、、的第分位数为
C．若变量服从，，则
D．若变量服从，，则
【答案】ABD
【分析】利用百分位数的定义可判断AB选项；利用正态分布的对称性可判断CD选项.
【详解】对于AB选项，数据、、、、、、、共个数，因为，，
因此，这组数据的分位数（中位数）为，这组数据的分位数为，AB都对；
对于CD选项，因为变量服从，，则，C错D对.故选：ABD.
9．（多选）以下说法正确的是（ ）
A．决定系数越小，模型的拟合效果越差
B．数据1，2，4，5，6，8，9的60百分位数为5
C．若，则
D．有一组不全相等的样本数据，，，，它的平均数和中位数都是5，若去掉其中的一个数据5，则方差变大
【答案】ACD
【分析】A由决定系数实际意义；B百分位数定义求60百分位数；C二项分布方差公式求方差，再由方差性质求新方差；D应用方差公式写出原方差、新方差，结合题意判断大小.
【详解】A：决定系数越小，模型的拟合效果越差，越大拟合效果越好，对；
B：，故60百分位数为6，错；
C：由，则，故，对；
D：由，原方差，去掉一个数据5，均值不变，新方差，
数据是数据去掉一个数据5所得新数据，显然，对.故选：ACD
10．（多选）下列命题中，正确的是（ ）
A．若事件与事件互斥，则事件与事件独立
B．已知随机变量服从二项分布，若，则
C．已知随机变最服从正态分布，若，则
D．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
【答案】BD
【分析】由互斥事件与独立事件的定义即可判断A；由二项分布的期望公式及期望的性质判断B；由正态分布的性质判断C；根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可判断D.
【详解】对于A：由互斥事件与独立事件的定义，设事件、都是概率不为的事件，
若事件与事件是互斥事件，则，而若事件与事件是相互独立事件，则，故A错误；
对于B：因为，则，所以，即，解得，故B正确；
对于C：由随机变量服从正态分布，，则，故C错误；
对于D：因为回归直线方程必过样本中心点，所以，解得，故D正确；故选：BD
11．（多选）下列命题中，正确的是（ ）
A．已知随机变量X服从二项分布，若，则
B．已知随机变量X服从正态分布，若，则
C．已知，，，则
D．已知，，，则
【答案】ACD
【分析】利用二项分布期望公式及性质计算判断A；利用正态分布的对称性计算判断B；利用条件概率公式推理判断C；利用全概率公式计算判断D作答.
【详解】对于，由二项分布的期望公式，，
由期望的性质得，则，正确；
对于，由正态分布曲线的性质知，，
根据对称性知，，于是，B错误；
对于C，由，得，
所以，C正确；
对于D，由，得，又，
由全概率公式得，，D正确.
故选：ACD
12．（多选）已知两个离散型随机变量，满足，其中的分布列如下：
若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由分布列的性质及期望公式解得，然后根据期望与方差的公式及性质求解.
【详解】由分布列的性质，可得，解得①，
因为，所以，即②，联立①②解得，，
∴，因为，所以，.故选：ABD.
13．（多选）若随机变量，下列说法中正确的是（ ）
A．B．期望
C．期望D．方差
【答案】BCD
【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及期望与方差公式即可求解.
【详解】随机变量，则，故A错误；，故B正确；
，故C正确；因为，所以，故D正确.故选：BCD
14.已知某学校高三数学期末考试成绩服从正态分布，已知成绩落在的概率为0.4，数学考试满分150分，该学校高三有学生800人，则考试成绩140分以上的学生大约有 人．
【答案】
【分析】根据正态分布的对称性求出考试成绩140分以上的概率，再乘以即可得解.
【详解】设学生成绩为，则，则，因为，
所以，所以，
则考试成绩140分以上的学生大约有（人）.故答案为：.
15.某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于120的概率是 .
【答案】
【分析】根据正态分布的对称性求出学生的成绩高于120的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果.
【详解】因为，所以，所以，因为，所以，所以，
则所求概率为.故答案为：.
随机变量及其分布 随堂检测
1.某工厂生产的新能源汽车的某部件产品的质量指标X服从正态分布，若，则（ ）
A．0.12B．0.24C．0.26D．0.48
【答案】C
【分析】运用正态分布的对称性求解即可.
【详解】由正态分布可知，，，
所以． 故选：C.
2.山东烟台某地种植的苹果按果径（单位：）的大小分级，其中的苹果为特级，且该地种植的苹果果径．若在某一次采摘中，该地果农采摘了2万个苹果，则其中特级苹果的个数约为（ ）（参考数据：，．，）
A．3000B．13654C．16800D．19946
【答案】C
【分析】先根据原则求出的概率，再乘以即可得解.
【详解】由，得，，
，
所以，
所以特级苹果的个数约为个.故选：C.
3.若随机变量，则有如下结论：（，，）,高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（ ）
A．19B．12C．6D．5
【答案】C
【分析】由正态曲线的对称性求出理论上说在130分以上的概率，即可求出理论上说在130分以上人数.
【详解】∵数学成绩近似地服从正态分布，，∴，
根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为，∴理论上说在130分以上人数约为.故选：C．
4.据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X服从正态分布，考生共50000人，估计数学单科分数在130～150分的学生人数约为（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则，，）
A．1070B．2140C．4280D．6795
【答案】A
【分析】利用区间上的概率及正态分布的对称性求，进而估计区间人数.
【详解】由题设
，所以数学单科分数在130～150分的学生人数约为人.
故选：A
5．（多选）下列四个命题中正确的是（ ）
A．已知随机变量X服从正态分布，若，则
B．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4
C．已知随机变量X服从二项分布，若，则
D．样本相关系数r，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强
【答案】ACD
【分析】根据正态分布曲线的对称性，可求得的值，判断A；根据线性回归直线过样本中心可求得m的值，判断B；根据二项分布的方差的性质可判断C；根据样本相关系数的意义可判断D.
【详解】对于A，随机变量X服从正态分布，则由，可得，即，故，则，A正确；
对于B，将样本点的中心代入，可得，B错误；
对于C，随机变量X服从二项分布，则，若，则，C正确；对于D，样本相关系数r，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，正确，故选：ACD
6．（多选）下列说法中，正确的命题有（ ）
A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
B．已知随机变量服从正态分布N（2，），，则
C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3
D．若样本数据，，…的方差为2，则数据，，…的方差为16
【答案】AC
【分析】对于A，利用残差图的意义即可判断；对于B，利用正态分布的对称性计算判断；对于C，对给定模型取对数比对即得；对于D，利用新数据方差计算公式判断作答．
【详解】对于A，在做回归分析时，由残差图表达的意义知，A正确；
对于B，因，且，于是得，B不正确；对于C，由得，依题意得，，即，C正确；
对于D，依题意，， ，…，的方差为，D不正确.故选：AC.
7．（多选）下列命题中，正确的是（ ）
A．已知随机变量X服从二项分布，若，则
B．已知随机变量X服从正态分布，若，则
C．已知，，，则
D．已知，，，则
【答案】ACD
【分析】利用二项分布期望公式及性质计算判断A；利用正态分布的对称性计算判断B；利用条件概率公式推理判断C；利用全概率公式计算判断D作答.
【详解】对于，由二项分布的期望公式，，由期望的性质得，则，正确；对于，由正态分布曲线的性质知，，根据对称性知，，于是，B错误；对于C，由，得，所以，C正确；对于D，由，得，又，由全概率公式得，，D正确.故选：ACD
8．（多选）某地区高三男生的身高X服从正态分布，则（ ）
A．B．若越大，则越大
C．D．
【答案】AC
【分析】根据随机变量服从正态分布，求得对称轴，再根据曲线的对称性，即可求解答案．
【详解】由题意，随机变量服从正态分布，所以，即正态分布曲线的对称轴为，,A选项正确; ,C选项正确;
又由，则，D选项错误;
若越大，则数据越分散，越不集中在平均数附近，越小，B选项错误.故选：AC．
9．若随机变量，且，则 ．
【答案】
【分析】利用正态曲线的对称性求出的值，然后根据正态密度曲线的对称性可得出，代值计算即可得解.
【详解】因为，且，则，所以，.故答案为：.
10.随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则 ．（用字母表示）
【答案】
【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到，再结合随机变量服从正态分布可得答案.
【详解】随机变量服从标准正态分布，根据对称性可知，因为，所以，即，随机变量服从正态分布，根据对称性可知，
，则，即.故答案为：.
0
1
0
1
0
2
0
1
2