新高考数学二轮复习巩固训练 专题07《立体几何》小题综合练（2份，原卷版+教师版）

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欧拉定理(欧拉公式)
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；
（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.
空间的线线平行或垂直
设，，则
；
.
夹角公式
设，b＝，则
.
异面直线所成角
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
直线与平面所成角，(为平面的法向量).
二面角的平面角
（，为平面，的法向量）.
异面直线间的距离
(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).
点到平面的距离
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
冲刺训练
1.如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为20cm和10cm，侧棱长为cm．“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”．则该“升”的“平升”约可装（ ）

A．1.5LB．1.7LC．2.3LD．2.7L
【答案】C
【分析】根据棱台的体积公式求解即可.
【详解】根据题意画出正四棱台的直观图，其中底面是边长为20的正方形，底面是边长为10的正方形，侧棱，记底面和底面的中心分别为和，则是正四棱台的高.

过作平面的垂线，垂足为，则且，，
所以，，
故，所以棱台的高，
由棱台的体积公式得．故选：C .
2.在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据长方体的几何性质，结合在直线三角形中锐角三角函数，求得棱长，利用异面直线夹角的定义，根据余弦定理，可得答案.
【详解】由题意，可作图如下：
则，，设，在中，易知，在中，，，，在长方体中，易知，则为异面直线与的夹角或其补角，在中，，则，同理可得，，
由余弦定理，则.故选：C.
3.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，由等体积转化得出截去的三棱锥的高，由体对角线减去该高，计算即可.
【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，如图所示，由题意可知：，所以.故该正方体的棱长为，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该小三棱锥几何体的体积为，

所以该三棱锥的顶点D到面ABC的距离.易知鲁班锁两个相对的三角形面平行，且正方体的体对角线MD垂直于该两面，故该两面的距离. 故选：C
4.车木是我国一种古老的民间手工工艺，指的是用刀去削旋转着的木头，可用来制作家具和工艺品，随着生产力的进步，现在常借助车床实施加工．现要加工一根正四棱柱形的条木，底面边长为，高为．将条木两端夹住，两底面中心连线为旋转轴，将它旋转起来，操作工的刀头逐步靠近，最后置于离旋转轴处，沿着旋转轴平移，对整块条木进行加工，则加工后木块的体积为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先作出加工后木块的横截面的形状，据此计算即可得加工后木块的体积.
【详解】加工后木块的横截面的形状如图所示，

其中 O 为横截面的中心，, ，，计算可得 ,
:,所以加工后木块的体积为
.故选： B .
5.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长均为2，活动弹子在线段上移动（包含端点），弹子分别固定在线段的中点处，且平面，则当取最大值时，多面体的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据题意确定点的位置，再计算可求多面体的体积即可.
【详解】因为平面，平面，所以，所以为直角三角形，所以当最短时，取最大值，即时，取最大值，因为分别固定在线段的中点处，
所以，所以，因为为锐角，所以，所以，
所以多面体的体积为，故选：A
6.风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年上级学生制作的一个风筝模型的多面体为的中点，四边形为矩形，且，当时，多面体的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，先证得平面，在中，利用余弦定理求得，再结合线面垂直判定定理证得平面，得到，设，利用，求得，结合，即可求解.
【详解】在中，因为且为的中点，所以，又因为，且，平面，所以平面，在中，因为且，
所以，所以，且，
因为四边形为矩形，可得，又因为，且平面，所以平面，因为，所以平面，又因为平面，所以，
设，在直角中，可得，在直角中，可得，
因为，所以，即，解得，所以多面体的体积为：.故选：B.

7.在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取AC的中点M，可得即为二面角的平面角， △ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，在平面ABC内，设，然后表示出外接球的半径，利用基本不等式可求出其最小值，从而可求得答案.
【详解】当D在△ACD的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变，故可使D点动到一个使得DA=DC的位置，取AC的中点M，连接，因为，DA=DC，所以，，故即为二面角的平面角，△ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示；
在平面ABC内，设，则，，因为，所以，所以，所以

令，则，所以，当且仅当时取等，故选:B
8．（多选）如图，在矩形中，，，为的中点，现分别沿、将、翻折，使点、重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ）

A． B．三棱锥的体积为
C．三棱锥外接球的半径为 D．直线与所成角的余弦值为
【答案】ACD
【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A选项；利用锥体的体积公式可判断B选项；求出的外接圆半径，结合平面，可求出三棱锥的外接球半径，可判断C选项；利用空间向量法可求出直线与所成角的余弦值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，翻折前，，翻折后，则有，，
因为，、平面，所以平面，故A对；
对于B选项，在中，，边上的高为，
所以，故B错；
对于C选项，因为，，由余弦定理，可得，
则，所以的外接圆的半径，
设三棱锥外接球的半径为，因为平面，所以，所以，即三棱锥外接球的半径为，故C对；
对于D选项，在中，，，
则，
所以直线与直线所成角的余弦值为，故D对.故选：ACD.
9．（多选）如图，棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，则（ ）

A．直线为异面直线
B．平面
C．过点的平面截正方体的截面面积为
D．点是侧面内一点（含边界），平面，则的取值范围是
【答案】BC
【分析】A.根据平行关系的传递性，可证明，即可判断；B.首先判断平面平面,再利用线面垂直的判断定理，即可证明；C.首先作出截面，再根据截面的形状，求其面积；D.利用面面平行的形状，确定点的轨迹，再求的长度.
【详解】对于A，连接，

由题意可知，因为，所以，所以共面，故选项A错误；
对于B，因为，平面，平面，所以平面，同理，平面，
且，平面,所以平面平面,连结，因为，，，且平面，所以平面，平面，所以，同理，，且，平面，所以平面，且平面平面，
所以平面，故选项B正确；
对于C，连接， 根据正方体的性质可得，且，所以平面即为过点的平面截正方体的截面，该四边形为等腰梯形，其上底，下底，腰,高为，所以截面面积为，故选项C正确；
对于D，取的中点，的中点H，连结，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，因为点是侧面内一点（含边界），平面，所以点的轨迹为线段，连接，
在中，，
点到的距离为，的取值范围为，故D错误.故选：BC.
10.在圆台中，是其轴截面，，过与轴截面垂直的平面交下底面于，若点到平面的距离是，则圆台的体积等于 .
【答案】
【分析】点到平面的距离即为与的距离，即点到的距离等于，故可以求得棱台的高，进而求得棱台的体积.
【详解】∵，所以四边形为平行四边形，所以,则为正三角形∴，由题意得，平面平面平面，且平面平面，所以点到平面的距离即为与的距离，在中，过点作的垂线,过点作的垂线，则，
所以，则，则圆台的体积为，所以圆台的体积为.故答案为：
11.我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底、长方形足、器内底中部及盖内均铸一“爰”字.通高24cm，口长13.5cm，口宽12cm，底长12.5cm，底宽10.5cm．现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm，下部分看作台体.则其体积约为 （精确到0.1）．（参考数据：，）
【答案】
【分析】根据题意利用台体、锥体的体积公式运算求解.
【详解】由题意可得：
，，
所以几何体的体积.故答案为：.
12.在四棱锥中，平面平面，又为等边三角形，为的中点，为平面内的动点，则直线与直线所成角的正切值最小为 .
【答案】
【分析】转化为求直线与平面所成的角，可得直线与平面所成的角为，进而可得答案.
【详解】因为为平面内的动点，所以直线为平面上的任意直线，根据线面角的定义可得，平面的一条斜线与平面上任意直线所成的角中，斜线与它在平面上的射影所成的角为最小角，可转化为求直线与平面所成的角，因为平面平面，所以直线在平面上的射影为，
直线与平面所成的角为，因为为等边三角形，为的中点，所以，
所以直线与直线所成的最小角为，其正切值最小为.
故答案为：
13.已知正四棱台的上底面的边长为，下底面的边长为，记该正四棱台的侧面积为，其外接球表面积为，则当取得最小值时，的值是 .
【答案】
【分析】由球的表面积公式求解四棱台的外接球表面积，并求出侧面积，然后求解即可.
【详解】当取得最小值时，则球心在正四棱台的下底面内，为上底面的中心，如图所示，

由此可得外接球的半径为，进而可得，进而可求侧面的斜高.则侧面的面积，又， 所以.故答案为：.
14.如图，正方体的棱长为4，点P，Q，R分别在棱，，上，且，则以平面截正方体所得截面为底面，为顶点的棱锥的体积为 .

【答案】
【分析】利用已知作出截面，进而利用分割法即可求得以平面截正方体所得截面为底面，为顶点的棱锥的体积.
【详解】延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接交
于点，交于点，连接，则平面即为平面截正方体所得的截面.
因为，则，又因为，所以，即，解得，同理可得，则，，因为，所以，又，则，同理可得；所以，
，，，
，.
故答案为：

立体几何 随堂检测
1.已知是三条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则．
B．若与异面，，则存在，使得．
C．若，则．
D．若，则．
【答案】D
【分析】利用线线、线面、面面关系的判定与性质一一判断即可.
【详解】对选项A，若，则，又，∴．选项A正确；
对选项B，在上取点，分别作的平行线，这两条相交直线确定平面，因为，则，同理可证，
因为，所以，又因为，，所以，故B正确；

对选项C，设，在平面内任取一个不在直线上的点，过点作直线，垂足分别为点．又因为，，，，又，故，又因为平面，从而．故选项C正确；

对选项D，直线的位置关系可以是任意的，比如设，且，，，则根据平行的传递性知，故D错误.故选：D.
2.在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为，圆柱的侧面积为，则该毡帐的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用圆锥侧面积公式以及母线、底面半径和高的关系得到方程组即可解出圆锥底面半径，再利用圆柱侧面积公式即可求圆柱的高，最后再根据相关体积公式即可得到答案.
【详解】设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，因为圆锥的侧面积为，所以，即.因为，所以联立解得（负舍）.因为圆柱的侧面积为，所以，即，解得，所以该毡帐的体积为.故选：A.
3.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基底向量，即可由空间向量的模长，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】在平行六面体中，不妨设，，．
,， ，，
所以，，，
所以E到直线的距离为，故选：A
4.（多选）已知正方体的棱长为2，为四边形的中心，为线段上的一个动点，为线段上一点，若三棱锥的体积为定值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】连接，交于点，连接，由题意可得平面，进而可得为与的交点，可得，可求的值.
【详解】连接，交于点，连接，

因为为四边形的中心，所以，又平面，平面，所以平面，因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，且为定值，所以平面，所以平面与平面为同一平面，所以为与的交点，所以，故A错误，B正确；因为正方体的棱长为2，所以．故C正确，D错误．故选：BC．
5.如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为 .

【答案】1
【分析】根据空间向量的数量积运算律求解即可.
【详解】由题可得, ，,所以,且,
因为,所以
，
所以，故答案为:1.
6.已知四棱锥的底面为平行四边形，点，分别是、的中点，过，，三点的平面与棱的交点为，若，则 ．
【答案】2
【分析】延长和交于点，根据，得到，连接交于点，得到过点的截面，取的中点，连接，根据，求得，进而得到，即可求解.
【详解】如图所示，延长和交于点，由，且为的中点，所以，即，连接交于点，连接，则过点的截面即为截面，取的中点，连接，因为为的中点，所以，且，所以，可得，即，所以，因为，所以.故答案为：.

7.如图，在三棱锥中，是的中点，，分别为线段，上的动点，，平面，若，则的最小值为 .

【答案】8
【分析】当点固定，且时，的值最小，过点作，垂足为，连接，分析可知，且当沿翻转到平面时，四边形构成矩形，此时的最小值为，由此得解．
【详解】因为平面，平面，所以
则，又，平面，所以平面，因为平面，所以则在平面上，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则，设，因为，所以直线的方程为，设，则
由于变量不具有等量关系，故时，有最小，即当时，最小；
过点作BD垂线，垂足为，连接，

因为平面，，，平面
所以，所以平面，因为平面，所以
又，平面，所以平面
因为平面，所以，又，
所以，由平面，所以．
因为，所以，所以．
因为，，平面，所以，
所以当沿翻转到平面时，四边形构成矩形，

所以的最小值为，即的最小值为8．故答案为：8．