新高考数学二轮复习巩固训练 专题11《直线与圆》小题综合练（2份，原卷版+教师版）

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点到直线的距离公式
点，直线，点到直线的距离为：
两条平行线间的距离公式
，，
直线与圆的位置关系
直线，圆
代数关系，几何关系
圆上一点的切线方程
圆与圆的位置关系
设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为
若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切
若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；
两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；
两圆内含，公切线的条数为0条；
弦长公式，直线与圆交于A，B两点，设，，有：
则
或：
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1.若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可知，当最短时，直线，即可得到，从而得到结果.
【详解】
当最短时，直线，所以.又，所以，
所以的方程为，即.故选：D
2.已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【分析】由四边形是矩形，应用勾股定理可求，再利用基本不等式可得答案.
【详解】过圆心C分别作直线，的垂线，垂足分别为，．，互相垂直，所以四边形为矩形．由圆C：，可得，又，，
所以，当且仅当时取等号，即的最大值为1，故选：B.

3.已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出直线的方程，再求出点P到直线距离的最大值作答.
【详解】圆的圆心，半径，直线的方程为：，于是点到直线：的距离，而点在圆上，因此点到直线距离的最大值为，又，所以面积的最大值为.故选：D.

4.设a，b为正数，若直线被圆截得弦长为4，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根据直线与圆的位置关系可得，再由均值不等式求解即可.
【详解】由可得 ，故圆的直径是4，所以直线过圆心，即，又，当且仅当，即，即 时，等号成立.故选：D.
5.若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可.
【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等，由圆的圆心为：，圆心到的距离为：，圆心到的距离为：，所以，由题意，所以，故选：A.
6．（多选）已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则实数的取值可以为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】BCD
【分析】由，得的轨迹是以为直径的圆O，故点P是两圆的交点，根据圆与圆的位置关系即可求解m的范围．
【详解】∵，∴点的轨迹是以为直径的圆O，半径为，故点P是圆O与圆C的交点，
圆心和半径分别为，，因此两圆相切或相交，即，解得．故选：BCD

7．（多选）如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述正确的是（ ）

A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2π
B．若圆与曲线W有8个交点，则
C．与的公切线方程为
D．曲线W上的点到直线的距离的最小值为4
【答案】ACD
【分析】A选项可将曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，即可判断；B选项可直接由图讨论判断对错；C选项可由圆心到直线的距离等于半径，求出公切线；D选项可先找到，的公切线方程为，曲线W上的点到直线的距离的最小值即为平行线间的距离.
【详解】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，
所以其面积为，故A选项正确.
当时，交点为B，D，F，H；当时，交点为A，C，E，G；当或时，没有交点；当时，交点个数为8，故B选项错误.
设与的公切线方程为，由直线和圆相切的条件可得，
解得，（舍去），
则其公切线方程为，即，故C选项正确.
同理可得，的公切线方程为，则两平行线的距离，故D选项正确.
故选：ACD.
8．（多选）设，过定点的动直线，和过定点B的动直线交于点P，圆，则下列说法正确的有（ ）
A．直线过定点（1，3） B．直线与圆C相交最短弦长为2
C．动点P的曲线与圆C相切 D．最大值为5
【答案】AB
【分析】根据直线方程求出定点坐标，可判断A正确；当时，直线与圆C相交最短弦长，由几何法求弦长可判断B正确；根据，可得动点P的曲线是圆，利用圆心距和两圆半径的关系可判断C错误；根据及不等式知识求出最大值，可判断D错误.
【详解】因为动直线过原点，所以,由，得，则，故A正确；
当时，圆心到直线：的最大值为，所以直线与圆C相交最短弦长为，故B正确；
因为，，所以，所以，所以动点P的曲线是以为直径的圆，该圆的圆心坐标为，半径为，因为两圆圆心距为，两圆半径之和为，两圆半径之差为，且，所以动点P的曲线与圆C相交，故C错误；
因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以最大值为，故D错误.

故选：AB
9.直线l经过点，，若直线l与直线平行，则 ．
【答案】
【分析】由题意，利用两直线平行的性质，直线的斜率公式，求得m的值．
【详解】∵直线l经过点，，且与直线平行，∴，求得，
故答案为：．
10.在中，的内角平分线方程为，，，则角的正切值为 ．
【答案】
【分析】根据角平分线的性质，关于的内角平分线所在直线方程的对称点一定在直线上，据此可以求出点坐标，进而求出
【详解】由题意得，根据角平分线的性质，关于的对称点一定在直线上，
设关于的对称点为，记，则是中垂线，于是，解得，
故，又，故直线方程为，于是和的交点为的坐标，
由，则，故，
则，.故答案为：

11.已知数列是等差数列，，过点作直线的垂线，垂足为点，则的最大值为 .
【答案】
【分析】由等差数列性质知直线过定点，根据题意确定在以为直径的圆上运动，并写出圆的方程，由点到圆心距离求的最大值.
【详解】因为数列是等差数列，所以直线过定点.点在以为直径的圆上运动，的中点为，该圆的方程为，所以的最大值为.故答案为：.

12.已知圆C：，直线l的横纵截距相等且与圆C相切﹐则直线l的方程为 ．
【答案】，或，或
【分析】对切线的是否过原点进行分类讨论，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出参数的值，即可得出直线的方程.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，因为直线l的横纵截距相等，所以直线的斜率存在，当直线过原点时，设直线的方程为，因为直线l与圆C相切，此时圆心到直线的距离等于半径，可得，解得，所以切线方程为；当直线不过原点时，设直线的方程为，因为直线l与圆C相切，此时圆心到直线的距离等于半径，可得，解得，所以切线方程为或，综上所述，直线l的方程为，或，或.故答案为：，或，或.
13.在平面直角坐标系中，圆为圆上的动点，为中点，若点在以为直径的圆上，则到轴距离的最大值为 .
【答案】
【分析】设，可得，当位于上方，且轴时，到轴距离取得最大值，此时，到轴距离为，设，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】设，则，，
当位于上方，且轴时，到轴距离取得最大值，此时，设到轴距离为，且，设，则，当，即时，取得最大值，故答案为：.
14.若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是 ．
【答案】.
【分析】由题意得，圆心到直线的距离，列式求解即可．
【详解】圆的圆心为，半径为，因为圆上有四个点到直线的距离为，所以圆心到直线的距离，所以，解得．故答案为：．
15.已知三点在圆上，的重心为坐标原点，则周长的最大值为 .
【答案】
【分析】根据已知条件发现，且点到圆与轴的正半轴交点的距离为4，正好是的关系，而三角形的重心是中线的三等分点，所以不妨认为圆与轴的正半轴交点是三角形的一个顶点，从而可知另两个顶点正好是圆的直径的两个端点，从而可以得到三角形三边的关系，进而借助基本不等式求出结果.
【详解】由圆得圆心，半径圆，如图，不妨设点在轴的正半轴上，由于的重心为坐标原点，且,所以为圆的直径，所以，
所以，当且仅当时取等号，所以周长的最大值为.故答案为：.
直线与圆 随堂检测
1.已知圆：，直线：被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦，弦心距和半径的关系可求得结果.
【详解】圆：的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离为，所以直线：被圆截得的弦长为，故选：C.
2.圆：与直线：交于、，当最小时，的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【分析】首先求出直线恒过定点，依题意当时弦最小，求出直线的斜率，即可得解.
【详解】直线：，即，令，解得，即直线恒过定点，又，所以点在圆内，

所以当时弦最小，因为，所以，即，解得.故选：B
3.直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】是斜率为的直线，曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆，利用点到直线距离公式，结合图形可得答案.
【详解】是斜率为的直线，曲线是以原点为圆心为半径的圆的右半圆，画出它们的图象如图，当直线与圆相切时，（舍去），当直线过时，,由图可以看出：
当时，直线与半圆有两个公共点，故选：

4．（多选）设直线系，下列命题中的真命题有（ ）
A．中所有直线均经过一个定点
B．存在定点不在中的任一条直线上
C．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上
D．中的直线所能围成的正三角形面积都相等
【答案】BC
【分析】根据条件分析出为圆的全体切线组成的集合，再逐项判断即可.
【详解】由题知，点到中每条直线的距离，即为圆的全体切线组成的集合，从而中存在平行的直线，所以A错误；又因为点不存在任何直线上，所以B正确；对任意，存在正边形使其内切圆为圆，故C正确；中的直线能组成两种大小不同的正三角形，故D错误.

故选：BC
5．（多选）已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．存在切点使得为直角 B．直线过定点
C．的取值范围是 D．面积的取值范围是
【答案】BD
【分析】通过分析知不可能为直角，可判断A、C错误；求出直线的方程，令，，即可得直线恒过的定点可判断B；求出面积的取值范围可判断D.
【详解】对于A，圆的上顶点为，即点，若为直角，则为直径，显然同一直径不能同时垂直两条相交直线，所以不可能为直角，故A错误；同理C选项的数量积也取不到，所以C错误；
对于B,设，

因为，，，则的方程为：，因为
化简可得：，同理的方程为：，而在切线，上，所以，，因为在直线
故直线的方程为，令，，即过定点，故B正确；
对于D，圆心到直线的距离平方为，线段一半的平方为：，
点到直线的距离的平方为：，所以面积的平方为：
①，因为，
所以由对勾函数的性质可知当时，①的分母取得最小值，所以面积平方的最大值，故面积的最大值为，故面积的取值范围是，故D正确.故选：BD.
6.写出经过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程 ．
【答案】或
【分析】根据圆的一般方程求出圆心和半径，利用直线的点斜式方程设出直线及点到直线的距离公式，结合圆中弦长，半径及弦心距的关系即可求解.
【详解】圆的方程可化为，圆心为，半径．当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心在直线上，弦长，不满足题意，所以过点的直线的斜率存在，设过点的直线的方程为，即，则圆心到直线的距为，依题意，即，解得或，故所求直线的方程为或．
故答案为：或．
7.若圆与轴相切，与直线也相切，且圆经过点，则圆的半径为 .
【答案】1或
【分析】分析出圆心的位置，将点代入解析式，即可求出圆的半径.
【详解】由题意，在直线中，倾斜角为，∴圆的圆心在两切线所成角的角平分线上.
设圆心，则圆的方程为：，将点的坐标代入，
得，解得：或，∴圆的半径为1或.
故答案为：1或.