新高考数学二轮复习巩固训练 专题12《椭圆、双曲线、抛物线》小题综合练（2份，原卷版+教师版）

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椭圆离心率
，
双曲线离心率
，
椭圆焦点三角形的面积公式（椭圆上一点与两焦点组成的三角形叫做焦点三角形）
双曲线焦点三角形面积公式：
抛物线（焦点在x轴上）焦点弦相关结论，直线A,B过抛物线（焦点在x轴上）焦点与抛物线交于A，B两点，设，有
冲刺训练
1.已知椭圆：的右焦点为，为坐标原点，点为椭圆上的两点，且，为中点，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】由椭圆的方程可得右焦点的坐标，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，再由题意可得直线，的斜率之积，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，进而求出直线，的斜率之积，可得参数的关系，求出的中点的轨迹方程，进而求出的最小值．
【详解】由椭圆可得，，

所以，即，所以右焦点；因为，所以，
当直线的斜率不存在时，设直线的方程，代入椭圆的方程可得，解得，
设，，则，解得，
这时的中点在轴上，且的横坐标为，这时的最小值为；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，，，则的中点，，
联立，整理可得：，△，即，
且，，所以，，
则，可得，符合△，
可得的轨迹方程为，整理可得：，两式平方相加可得：，即的轨迹方程为：，焦点在轴上的椭圆，所以，当为该椭圆的右顶点时，取等号，综上所述：的最小值为，故选：D．
2.已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可推出，设，由勾股定理可得，结合直线与以线段为直径的圆相交可得，由此结合的根的分布，列不等式可求得答案.
【详解】设双曲线的右焦点为，则，则，

为右支上的点，取的中点为B，连接，则，设，则，则，
在中，，即，又直线与以线段为直径的圆相交，故，设，则，则需使，解得，即双曲线离心率的范围为，即的离心率的取值范围为，故选：D
3.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出图形，分析可知为直角三角形，设，在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理可求出该双曲线的离心率的值.
【详解】如下图所示：
因为，则，，
所以，，
因为，则，设，则，则，
由勾股定理可得，即，
整理可得，因为，解得，所以，，，
由勾股定理可得，即，整理可得，
因此，该双曲线的离心率为.故选：B.
4.已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，点为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点B，若，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据题意利用导数的几何意义求切线方程，进而可求得点，再结合双曲线的方程和定义求，利用余弦定理列式求解即可.
【详解】因为点A在第一象限，由，可得，则，
点在双曲线上，则，即，可得，
可得在点处的切线方程为，令，解得，
又因为，则，所以，即点，
设双曲线C的半焦距为，则，，因为，则，整理得，
则，可得，
且点为双曲线C在第一象限的右支上一点，则，可得，
在中，由余弦定理可得：，
即，整理得，所以双曲线C的离心率.故选：D.

5.已知，分别为双曲线C：的左右焦点，且到渐近线的距离为1，过的直线与C的左、右两支曲线分别交于两点，且，则下列说法正确的为（ ）
A．的面积为2B．双曲线C的离心率为
C．D．
【答案】D
【分析】利用已知条件求出b的值，对于A：利用勾股定理结合双曲线的定义求出的面积，对于B：利用双曲线的离心率公式运算求解；对于C：先求，再利用平面向量数量积的运算性质运算求解；对于D：根据双曲线的定义结合勾股定理求出，代值计算即可.
【详解】设双曲线C的半焦距为，因为双曲线C的焦点在x轴上，且，则其中一条渐近线方程为，即，且，则到渐近线的距离，可得.
对于选项A：因为，且，
可得，解得，
所以的面积为，故A错误；
对于选项B：双曲线C的离心率为，故B错误；
对于选项C：因为，可得，
所以，故C错误；
对于选项D：设，则，
因为，即，解得，
所以，故D正确；故选：D.
6.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出以为圆心的圆的方程，求出，，求出直线的方程后结合距离公式可求的坐标，代入椭圆方程后可求离心率.
【详解】
设椭圆的半焦距为，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为，故其方程为：，
令，则，结合在轴正半轴上，故，令，则或，故.
故，故直线.设，因为在轴的正半轴上，在轴的负半轴上，故，而，故，整理得到：，故，故，所以，故，整理得到：，故，故选：D.
7．（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与相交于两点，为的中点，则（ ）
A．若，则
B．若，则直线的斜率为
C．不可能是正三角形
D．当时，点到的距离的最小值为
【答案】ACD
【分析】利用联立求得点坐标，结合向量数量积的运算即可判断选项A；结合抛物线定义即可判断选项CD；设，，根据即可判断选项B.
【详解】对于A，代入，解得，，
即，，
则，所以，A正确；
对于C，如图，，所以不可能是正三角形，C正确；

对于D，由题知，，当共线时，取等号，又点到的距离为，
所以点到的距离的最小值为，D正确.
对于B，当直线的斜率大于时，根据上图再作，因为，所以设，，
因为都在上，所以，，，，
所以，则；
当直线的斜率小于时，同理可得.综上，直线的斜率为，B错.故选：ACD
8.根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 .
【答案】
【分析】由题意求出A点坐标，由于直线过焦点，利用点斜式方程求出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理求出点B坐标，利用两点间的距离求出即可.
【详解】由条件可知AQ与x轴平行，令，可得，故A点坐标为，因为 经过抛物线焦点，所以 方程为，整理得，联立，得，，所以，又，所以，，所以.故答案为：.
9.已知抛物线的焦点为，过作抛物线的切线，切点为，，则抛物线上的动点到直线的距离与到轴的距离之和的最小值为 ．
【答案】
【分析】不妨设，根据焦半径公式求出，从而求出，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出，从而求出抛物线方程，再求出焦点到直线的距离，即可得解.
【详解】根据抛物线的对称性，不妨设，由抛物线定义知，，，，或（舍去），当时，，，，
解得或（舍去），抛物线的方程为，焦点，准线方程为，焦点到直线的距离，抛物线上的动点到直线的距离与到轴的距离之和的最小值为．故答案为：
10.已知为双曲线上一点，以为切点的切线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则（为坐标原点）的面积为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出双曲线渐近线方程，设出直线的方程，联立求出点的纵坐标，再利用直线与双曲线相切借助判别式求出三角形面积作答.
【详解】双曲线的渐近线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，

显然直线不垂直于y轴，设直线，，由得点的纵坐标，由得点的纵坐标，由消去x得，于是，化简得，直线与x轴交点的横坐标为，所以的面积故答案为：.
11.设双曲线 E：的离心率为 ，直线过点和双曲线的一个焦点，若直线与圆的相切，则
【答案】
【分析】先设出直线的方程，由与圆的相切，可得关于的齐次式，进而可求.
【详解】不妨设直线过点和双曲线的右焦点，则直线的方程为，即，
由直线与圆相切，可得，整理得，，又，
所以，即，所以，即，
解得或，又，所以，所以.故答案为：
12.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若，则 ．
【答案】8
【分析】先设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，，再由正弦定理得到，得到，代入两根之和，两根之积，列出方程，求出，进而求出，.
【详解】由题意得，，当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，
故设直线的方程为，不妨设，联立，可得，易得，
设，则，则，则，
，由正弦定理得，，因为，，所以，，即，又由焦半径公式可知，则，即，即，解得，则，解得，故，当时，同理可得到.

故答案为：8
13.已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【分析】设椭圆的左焦点为，利用已知条件结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，再利用勾股定理方程组求解即可.
【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，，，

由直线交椭圆于两点﹐及，结合椭圆的对称性可得，
所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形，设，则，，，所以在直角中，即①，在直角中，即②，由②解得，将代入①得，即，所以，故答案为：.
椭圆、双曲线、抛物线 随堂检测
1.已知双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的离心率公式可得出关于的等式，解之即可.
【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故该双曲线的离心率为，解得.故选：A.
2.已知双曲线为坐标原点，为双曲线的两个焦点，点为双曲线上一点，若，则双曲线的方程可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义及勾股定理得出，再根据点在双曲线上求双曲线方程.
【详解】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，如图所示，过点作于点.

因为，所以，因为，
所以，所以，故，得.
因为，所以，故点，将代入双曲线中，
即，化简得，
，解得或（舍去），故B项正确.
故选：B.
3.设O为坐标原点，，是双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的一条切线，切点为T．线段交C于点P，若的面积为，且，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线定义，的面积，直角△中的锐角三角函数和△中的正弦定理、余弦定理建立，，之间的关系方程，再求解即可.
【详解】
由圆的方程知，，又，在直角△中，，
且.在△中，则，故.
在△中，，由正弦定理，，则，
∴由双曲线定义，，又，，则，∴，即.∵为直角，易知为钝角，由知，，
在△中，由余弦定理，，
∴，∴，
整理得，∴.又，将代入，解得.
∴双曲线C的方程：.故选：A
4.如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，可得，结合勾股定理运算求解.
【详解】延长与双曲线交于点，因为，根据对称性可知，
设，则，可得，即，
所以，则，，即，
可知，在中，由勾股定理得，
即，解得.故选：D.

5.（多选）如图，双曲线的左､右焦点分别为，过向圆作一条切线与渐近线和分别交于点（恰好为切点，且是渐近线与圆的交点），设双曲线的离心率为.当时，下列结论正确的是（ ）

A． B．
C．当点在第一象限时， D．当点在第三象限时，
【答案】BC
【分析】依据题意确定切点不在双曲线上，根据勾股定理可计算，故可判断出不正确，正确；画出图象，根据图象观察可求出渐进性的斜率，进一步计算离心率即可判断出
【详解】因为且，所以，切点不在双曲线上，不正确，正确；
若，在中，，
当分别在一二象限时（如图1），，设的倾斜角为，
则；当分别在二､三象限时（如图2），设的倾斜角为，
则，正确，错误.

故选：
6.已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为 .
【答案】2
【分析】根据对称性求出渐近线的倾斜角，再根据渐近线的斜率得，再根据离心率公式可求出结果.
【详解】如图：设关于渐近线对称的点在渐近线上，的中点在渐近线上，
则，又，所以，所以，所以.

故答案为：.
7.已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是 .
【答案】
【分析】依题意作出图形，利用抛物线的定义结合图形依次求得与，从而求得直线的方程，联立抛物线方程，利用抛物线焦半径公式与点线距离公式求得与，从而得解.
【详解】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，设准线与轴相交于点，如图，

则，在中，，所以，所以，
故在中，，所以，则.又轴，，所以，又抛物线，则，所以，所以抛物线，点.因为，所以直线的斜率，则直线，
与抛物线方程联立，消并化简得，易得，设点，则，则，又直线，可化为，则点到直线的距离，所以.