新高考数学二轮复习巩固训练 专题13《基本不等式》小题综合练（2份，原卷版+教师版）

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基本不等式
，当且仅当时取等号
其中叫做正数，的算术平均数，
叫做正数，的几何平均数
通常表达为：（积定和最小）
应用条件：“一正，二定，三相等”
拓展1 几个重要平均数的大小关系
时有，，当且仅当时取等
拓展2 权方和不等式
若则当且仅当时取等.
冲刺训练
1.已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A．5B．9C．13D．18
【答案】D
【分析】由题意结合对数运算推出，从将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意正实数满足，则，
故，当且仅当，结合，即时取得等号，即的最小值是18，故选：D
2.已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
【答案】C
【分析】化简已知式可得，因为，由基本不等式求解即可.
【详解】，而，当且仅当，即取等.故选：C.
3.已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值.
【详解】令，则，方程可化为，整理得，则满足，解得，所以，即，
所以的最大值为.故选：B.
4.若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据直线的定点可得，进而可得，结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，则，令，解得，即直线恒过点.又因为点A也在直线上，则，可得，且，
则，即，当且仅当时，等号成立所以的最大值为.故选：B.
5.设，为正实数，，，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】首先由得出，由得出，代入得出，而，即，由基本不等式等号成立条件得出，即可得出答案．
【详解】因为，所以，又因为，
所以，所以，所以 ，即，又，
当且仅当时，等号成立，所以，此时，所以，故选：D．
6.已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，，使得，则最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【分析】先利用等比数列的通项公式求得公比，从而推得的值，由此利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】因为正项等比数列满足，设其公比为，则，，
所以，得，解得，因为，所以，
则，即，故，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：B.
7．（多选）若实数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用基本不等式，分，，讨论，可得的范围，再利用的范围求出的范围.
【详解】,
当时，，当且仅当或时等号成立，得，
当时，，当且仅当或时等号成立，得，当时，由可得或
综合可得，故C正确，D错误；，
当时，，故A错误，B正确；故选：BC.
8．（多选）若实数满足，则（ ）
A．且B．的最大值为
C．的最小值为7D．
【答案】ABD
【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.
【详解】由，可得，所以且，故A正确；
由，可得，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；
，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为9，故C错误；因为，则，所以，故D正确.故选：ABD.
9．（多选）已知，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最小值B．可以取到0
C．有最大值D．有最小值2
【答案】AD
【分析】根据“1”的技巧及均值不等式判断A，由均值不等式可得判断B，由均值不等式等号成立的条件判断C，由重要不等式判断D.
【详解】因为，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
因为时，，而，得出，时等号成立，故不成立，故B错误；
因为，当且仅当，即时等号成立，而，故等号不成立，故C错误；
由知，，当且仅当时，即时等号成立，故D正确.
故选：AD
10．（多选）已知且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为2
C．的最小值为6D．的最小值为4
【答案】BC
【分析】利用基本不等式可判断AB；先将化为，再妙用“1”可判断C；取特值可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误；
对于B，因为，所以，
即，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，由得，所以，
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，令，则，所以的最小值不是4，D错误.故选：BC.
11.设，则的最小值为 .
【答案】6
【分析】对式子进行变形，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】，
当且仅当取等号，即取等号，所以的最小值为6.
故答案为：6
12.已知，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由基本不等式求解即可.
【详解】，且，，
当且仅当时等号成立.故答案为：.
13.已知正数x，y满足，若恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先对关系式进行恒等变换, 进一步整理得 , 最后利用基本不等式的应用求出结果.
【详解】已知正数 满足 ,所以 ,所以:
则:
，当且仅当时，取等号；
要使 恒成立, 只需满足 即可,故 .故答案为: .
14.已知，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由已知得,将所求式子化为，然后利用“1的代换”和基本不等式求最值.
【详解】因为，所以,∴,
所以= ，当 ，即时取等号，的最小值为 .故答案为：.
15.已知，，是正实数，且，则最小值为 .
【答案】
【分析】由于，，是正实数，且，所以先结合基本不等式“1”的代换求的最小值，得，则，再根据基本不等式凑项法求的最小值，即可求得的最小值.
【详解】解：，由于，，是正实数，且，
所以，当且仅当，即，所以时等号成立，则的最小值为，所以，当且仅当，即时等号成立，则最小值为.故答案为：.
基本不等式 随堂检测
1.已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用表示后，根据基本不等式可求出结果.
【详解】因为，由，得，所以
，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.故选：D
2.若，则的最小值是 （ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】根据给定等式，利用均值不等式变形，再解一元二次不等式作答.
【详解】，当且仅当时取等号，因此，即，解得，所以当时，取得最小值2.故选：C
3.设a，b为正数，若直线被圆截得弦长为4，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】根据直线与圆的位置关系可得，再由均值不等式求解即可.
【详解】由可得 ，故圆的直径是4，所以直线过圆心，即，又，当且仅当，即，即 时，等号成立.故选：D.
4.（多选）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据基本不等式判断A,B选项，特殊值法判断C,D选项即可.
【详解】选项A：因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
选项B：，当且仅当时等号成立，故B正确；
选项C：因为,,，故C错误；
选项D：因为,,,故D错误．故选:AB．
5．（多选）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】对于A，取即可判断；对于B，求得，再结合基本不等式即可判断；对于C，利用基本不等式可得，求解不等式即可判断；对于D，，再利用函数的单调性即可判断.
【详解】对于A，取，满足，但不满足， A错；
对于B，，即，所以，当且仅当时，等号成立，B对；
对于C，，令，所以，即，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立，C对；
对于D，，令，由C选项可知，，而函数在单调递增，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，D对.故选：BCD.
6．（多选）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式及重要不等式，结合指数的运算、对数的运算和对数函数的性质即可求解.
【详解】对于A：因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
对于B：因为，，，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，故B错误；
对于C：因为，，，所以，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D：因为，，，所以，即，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：ACD
7．（多选）下列说法正确的有
A．若，则的最大值是
B．若，则的最小值为2
C．若，，均为正实数，且，则的最小值是4
D．已知，，且，则最小值是
【答案】AD
【分析】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到．
【详解】对于，由可得，由基本不等式可得，当且仅当即时取等号，
所以的最大值为，故正确；
对于，，当且仅当时等号成立，但此时无解，等号无法取得，则最小值不为2，故错误；
对于，由可得
，
当且仅当且，即，，时，等号成立，
由于，，均为正实数，则等号取不到，故错误；
对于，由可得，代入到，
当且仅当即时，等号成立，故正确．故选：．
8.已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】18
【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，则，又，是正数，
所以，当取得等号，即且时取等号，所以的最小值为，故答案为：.
9.若，则的值可以是 ．
【答案】5（答案不唯一，只要不小于即可）
【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为，所以．因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，则.故答案为：5（答案不唯一，只要不小于即可）
基本不等式的推论
重要不等式
（和定积最大）
当且仅当时取等号
当且仅当时取等号