新高考数学二轮复习巩固训练 专题14《函数的基本性质》小题综合练（2份，原卷版+教师版）

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单调性的运算
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗
②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘
④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘
⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
复合函数的单调性
奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：，图象关于原点对称
偶函数：，图象关于轴对称
③奇偶性的运算
周期性（差为常数有周期）
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
冲刺训练
1.已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期性，求出即可求解作答.
【详解】因为函数是定义域为上的奇函数，则，即，
由，得，因此，即，则，于是函数是以4为周期的周期函数，由，得，由，得，，从而，所以.故选：A
2.已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．10B．20C．15D．5
【答案】A
【分析】首先由条件确定，即可判断函数的周期，再结合特殊值，，即可求和.
【详解】因为函数为偶函数，所以，所以函数的图象关于
对称，又因为是定义在上的奇函数，所以，即，即，则，那么，所以2是函数的一个周期，因为是定义在上的奇函数，所以，且，
所以，，
所以.故选:A
3.已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，，则（ ）
A．关于直线对称B．关于点中心对称
C．D．
【答案】C
【分析】对于A，由是偶函数，且，可得为偶函数，可求得其对称轴，对于B，再结合，可得关于点中心对称，对于CD，由前面的计算可得的周期为4，然后根据已知条件求出，从而可判断.
【详解】对于A，是偶函数，，又，
，是偶函数，∴关于直线对称，所以A错误，
对于B，关于点中心对称，所以B错误，
对于CD，又，即4是的一个周期；
令，可得，又，，，所以C正确，D错误，
故选：C.
4.已知函数，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先分析函数的单调性和对称性，根据函数的性质，再研究与对称轴的距离即可求解.
【详解】由题意：，
，
是的对称轴；
设，，并且， 则，显然是增函数，，，，，即当时，是增函数，，根据复合函数单调性规则：同增异减，在时是增函数，根据对称性，当时，是减函数；下面分析自变量时与的距离，显然距离越大，对应的函数值越大，；设 ，则 ，是增函数，又，所以当时，，即，，；设，则，当时，是减函数，又，所以时，，即，，又，；；故选：C.
5．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为.，，当时，，，则（ ）
A．的图象关于对称B．为偶函数
C．D．不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】A.由得到判断；B.由得到，再结合判断；C.由得到再结合判断；D.由为偶函数且得到是周期函数，且周期为8，再结合当时，，可知在单调递减，画出的大致图象，利用数形结合法求解.
【详解】由可得，故可知的图象关于对称，故A错误，
由得，由得，故为偶函数，故B正确，由可得，所以，又为偶函数，所以，即，故C正确，
由为偶函数且可得，所以是周期函数，且周期为8，又当时，，可知在单调递减
故结合的性质可画出符合条件的的大致图象：

由性质结合图可知：当，时，，故D正确，故选：BCD
6．（多选）已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由题意可知4是的一个周期，所以，即可判断B；由，得结合，可知4也是的一个周期，由此求出可判断C；取特值可判断AD.
【详解】因为是奇函数，所以，且．又，所以，即．令等价于，所以，所以4是的一个周期，所以，得，即，故B正确．
由，得．又，所以，所以，即．所以，所以4也是的一个周期，
所以，得，故C正确．
取，则，显然是奇函数，符合题意．此时，但，故A错误；因为，所以，得，故D错误．故选：BC.
7．（多选）已知定义在上的偶函数满足，且当时，是减函数，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．
B．直线为函数图象的一条对称轴
C．函数在区间上存在3个零点
D．若在区间上的根为，则
【答案】AB
【分析】根据周期函数的定义可得周期，故A正确；由，，推出，可得B正确；若当时，无零点，可推出无零点，可得C错误；根据的图象关于直线对称，推出，可得D错误.
【详解】对于A，因为，所以周期，故A正确；
对于B，因为为偶函数，所以，又，所以，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，若当时，无零点，则根据周期性和对称性可推出无零点，故C错误；
对于D，因为的图象关于直线对称，且的周期，又在区间上的根为，所以，故D错误.故选：AB.
8．（多选）设函数的定义域为R，且满足，，当时，，则（ ）．
A．是周期为2的函数
B．
C．的值域是
D．方程在区间内恰有1011个实数解
【答案】BD
【分析】根据已知条件推出函数是奇函数．且以为周期，得A错误；根据周期计算，得B正确；利用导数和函数的周期性求出函数的值域可得C错误；根据函数图象与的图象交点个数，可得D正确．
【详解】函数的定义域为R，关于原点对称，因为，所以，
又因为，所以，所以是奇函数．
由，得，所以以4为周期，故A错误．
因为是奇函数，且定义域为R，所以．因为，所以，故B正确．
因为当时，，所以，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以．因为为奇函数，所以当时，，因为的图象关于直线对称，所以当时，，因为的周期为4，所以当时，，故C错误．

方程的解的个数，即的图象与的图象交点个数．因为的周期为2，且当时，与有2个交点，所以当时，与有1011个交点，故D正确．故选：BD.
9.已知函数是上的奇函数，则实数 ．
【答案】
【分析】利用奇函数的定义可得出关于实数的等式，解之即可.
【详解】因为函数是上的奇函数，则，即，
所以，，所以，，
所以，.故答案为：.
10.已知是定义在上的偶函数且，若，则的解集为 .
【答案】
【分析】构造函数，求导得函数的单调性，即可由单调性求解.
【详解】令，则 ，由于，所以，故在上单调递减，又是定义在上的偶函数且，故，所以，等价于，因此，
故的解集为，故答案为：
11.已知定义在R上的函数 ，若 有解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分析 的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性求解.
【详解】 ，所以 是奇函数，又 ， 在R的范围内是增函数， 有解等价于 ， 有解，令 ，当 时， 是增函数，当x趋于 时， 趋于 ，满足题意；当 时，当 时， ， 是增函数，当 时， 是减函数， ；令 ，则 ，当 时， ， 是增函数，当 时， 是减函数，并且当 时， ， ，
当 时 ，即当 时， 满足题意，所以a的取值范围是 ；
故答案为：.
12.设为定义在上的可导函数，其导函数为偶函数，若对任意有，且，则 .
【答案】9
【分析】导函数为偶函数可知有对称中心，可知有对称轴，所以是周期函数，然后根据周期性和对称性求解即可.
【详解】导函数为偶函数，所以，，为常数；，
，即，所以，即，
，两式相减得：，故函数周期为2，，
，，；
；.故答案为：9
函数的基本性质 随堂检测
1.已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.
【详解】因为，在上单调递减，是偶函数，是奇函数，所以在上单调递减，在上单调递增，对于A，，但无法判断的正负，故A不正确；
对于B，，但无法判断的正负，故B不正确；对于C，，在上单调递减，所以，故C不正确；对于D，，在上单调递减，，故D正确.故选：D.
2.已知函数是上的单调函数，且，则在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性，建立方程，可得答案.
【详解】因为是上的单调函数，所以存在唯一的，使得，则．因为为上的增函数，且，所以，所以．因为在上单调递增，所以，得．故选：D.
3.已知函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用导数得在上为减函数，在上为增函数，由可得，利用恒成立，得，再根据可得.
【详解】的定义域为，，令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，因为，所以，所以，即.因为，所以，所以，因为，所以，
又因为在上为增函数，所以，即，所以，综上所述：.
故选：B
4.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称
【答案】AD
【分析】根据抽象函数的奇偶性与对称性即可判断得答案.
【详解】因为为奇函数，所以，所以函数关于点对称，
又为偶函数，所以，所以函数关于直线对称.
故选：AD.
5.（多选）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，．下列说法正确的是（ ）
A．3是函数的一个周期
B．函数的图象关于直线对称
C．函数是偶函数
D．
【答案】ACD
【分析】根据可得即可确定周期求解选项A；根据为奇函数，可得即可求解选项B；根据题设条件可得即可求解选项C；利用函数的周期性和函数值可求解选项D.
【详解】对A，因为，所以，即，
所以3是函数的一个周期，A正确；
对B，因为为奇函数，所以，所以函数的图象关于点中心对称，B错误；
对C，因为，所以，
即，即，所以函数是偶函数，C正确；
对D，，所以，所以，D正确；故选:ACD.
6.（多选）已知函数及其导函数的定义域为R，若，且，则（ ）
A． B．是奇函数
C．点是图象的对称中心
D．点是图象的对称中心
【答案】BC
【分析】根据函数，可得其周期为4，又可得函数关于点对称，结合可判断函数其他对称性，根据导数运算可得，从而得导函数的对称性，从而逐项判断即可得结论.
【详解】因为，故，若，又，则，所以，这与矛盾，故A不正确；
若，则，所以，故函数的周期为，即，因为，则，即
于是有，故函数关于点对称，由周期为4，可知点是图象的对称中心，故C正确；
函数关于点对称得，又，所以，所以函数为奇函数，故B正确；
对两边求导可得，则导函数关于直线对称，故D不正确.故选：BC.
7.定义在R上的函数满足，且当，则＝ ．
【答案】/0.25
【分析】根据函数的周期性即可代入求解.
【详解】由可得，所以，故为周期函数，且周期为8，，故答案为：
8.已知函数，则使得成立的实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】函数 的 定义域为 ,因为 ,
所以 ,故函数 为偶函数，
当 时, , 且 在 上单调递减,
当 时, , 且 在 上单调递减,
而 , 故 在 上单调递减, 且 .则使得成立，
需，所以且，所以且，
所以且解得或，故答案为：.
9.已知定义在上的函数为奇函数，且满足.当时，，则 .
【答案】
【分析】利用周期性和奇偶性可把转化到已知范围上，代入表达式可求，，即可求出答案.
【详解】函数为定义在上的奇函数，所以，，所以，所以2为的周期，所以，，故答案为：.