新高考数学二轮复习巩固训练 专题17《函数值的大小比较》小题综合练（2份，原卷版+教师版）

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构造函数的重要依据
常见构造类型
常见的指对放缩
，，，
常见的三角函数放缩
其他放缩
，，
，，
，
，
放缩程度综合
，
常见函数的泰勒展开式：
（1），其中；
（2），其中；
（3），其中；
（4），其中；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）．
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
常见函数的泰勒展开式：
结论1 ．
结论2 ．
结论3 （）．
结论4 ．
结论5 ；；．
结论6 ；
结论7
结论8 ．
结论9 ．
冲刺训练
1.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，求导确定函数单调性可得，根据指数幂的运算性质与指数函数单调性可比得，从而可得结论.
【详解】因为，，，则，，令，则，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以，即，故，则；因为，所以，因为，所以，所以，综上，.
故选：B.
2.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由基本不等式可得，构造函数，利用导数求出的单调性，可比较的大小，即可得出答案.
【详解】因为，，，
所以令，则，所以当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，又因为，所以，即，所以，又因为，所以.
故选：A.
3.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可得出，，并得出，从而得出 ，并且可得出，从而可得出的大小关系.
【详解】，，，，故选：A
4.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明，利用比商法结合基本不等式证明，再根据对数运算性质，结合对数函数性质证明即可得结论.
【详解】因为，，所以，
又，所以，所以，所以，故，
因为，又，所以，所以，
所以，又，所以，所以，故选：A.
5.已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】使用对数恒等式和对数运算对进行化简放缩比大小，找到中间值，结合三角不等式，判断与的大小.
【详解】得，再由对数运算可得.
当时，令，则，所以在递减，则.所以，故.故选：A
6.已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.
【详解】，，即，，
下面比较与的大小，构造函数与，由指数函数与幂函数的图像与单调性可知，

当时，；当时，，由，故，故，即，
所以，故选：A
7.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】比较大小，转化为比较大小，构造函数，通过求导判断的单调性，可得出大小；比较大小，转化为比较，构造函数，求导判断单调性，得到出大小，即可得出结论.
【详解】设，则，当时，故在上单调递减，
所以，即，所以，所以；
设，则，当时，，故在上单调递减，
所以，即，所以，所以，
所以.故选：B
8.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意，，，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断、，再令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断、，即可得解.
【详解】因为，，，
令，，则，
令，则，所以在上单调递增，，所以，所以在上单调递增，所以，
则，即，即，令，，则，所以在上单调递减，则，则，即，即，所以，综上可得.故选：D
9.已知，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】变形给定的等式，构造函数，利用导数探讨单调性，借助单调性比较大小作答.
【详解】由，得，
由，得，
由，得，
令函数，显然，求导得，
当时，，单调递减，当时，单调递增，
于是，即有，而，所以.
故选：B
10.设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，求导确定单调区间，得到，再构造函数，求导确定单调区间得到，得到答案.
【详解】设，，则，
，，，故，在上单调递增，
故，当时，恒成立，令，则，即；
设，，则，
又，故 在上单调递减，，故，则函数在上单调递增，即，
故当时，恒成立，令，则，即，
综上所述：.故选：C
11.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦函数、对数函数性质易得，构造，利用导数判断单调性，再判断大小关系即可.
【详解】因为，所以，显然.令，则，，若，且，则，所以在上递减，则，即，综上，.故选：D.
12.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，构造函数，通过求导讨论的单调性，再构造函数，通过求导讨论的单调性，得到，从而得到，从而判断出；再由，，求出，比较和的大小，从而判断出，即可得到.
【详解】因为，，令，则，
当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，
令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，即，，即
所以，所以；由，得，由，得，
所以，因为，
所以，所以，所以，即，所以，综上所述.故选：A
13.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，构造函数，，利用导数分析单调性，可得函数在上单调递增，进而得到，可得；构造函数，利用导数分析单调性，可得，进而得到，由，进而得到，进而求解.
【详解】由.设，
则，设，则，
所以函数在上单调递增，所以，即，即，即，所以，则函数在上单调递增，所以，即，即，即；设，
则，所以函数在上单调递减，则，即，即，即，所以，
又，所以，即，所以.故选：B.
14.设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作差法判断、的大小，构造函数, 利用导数的单调性判断、的大小.
【详解】，又，
所以令，，则，
令，则 ，
当时,, ，所以，
故,故在上是增函数，又∵，∴当时,, 故在上是增函数，故,即，故.故选:A.
15.若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数运算结合对数函数单调性可得，并与比较大小，再构造函数，可得，即可与c比较大小作答.
【详解】依题意，，令函数，求导得，函数在上单调递减，，即当时，，，
，即，因此，所以.故选：B
函数值的大小比较 随堂检测
1.已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】，，作商，利用基本不等式可得，得，根据对数函数的单调性可得.
【详解】，，
，所以，
，所以.故选：A
2.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数运算的性质将化简为，从而和比较大小，同理比较的大小关系，再根据两个指数幂的大小结合对数的运算性质可比较大小，即可得答案.
【详解】由题意：，，故．又，即，所以，即，因为，所以．因为，故，即，所以，所以，所以，所以，故选：B.
3.记，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数单调性即可比较，通过放缩法即可比较大小.
【详解】设，，则，则在上单调递增，，则，即，即，，
，则.则.故选：B.
4.若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数的运算性质可得，即可得，由作差法即可判断.
【详解】，，故，
由于，所以，故，因此，故选：B
5.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据式子结构构造函数，利用导数研究单调性比较b与c，a与b，利用中间值比较即可.
【详解】记，则，
记，则，又，所以，
所以在上单调递减，所以，
则，所以在上单调递减，
所以，故时，，所以，所以，
又，所以，
记，则，所以在上单调递增，所以，即时，，所以，所以，
所以.故选：D
6.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用其单调性比较a，c；构造函数，利用其单调性比较a，b.
【详解】设，，所以，
令，，则，则在上单调递减，所以，则，故在单调递减，
所以，即，即，因为，
构造，，所以，即在上单调递增，
所以，即，即，即，综上：．故选：D
【点睛】思路点睛：由，构造函数，利用其单调性比较；由，构造函数，利用其单调性比较.
7.若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先比较与的大小，通过比较和即可得到，再比较与的大小，构造（），利用导数证明得到时，，从而得到，通过，结合的单调性即可得到，即可得到，，的大小关系.
【详解】由，得：，，因为，所以，则；
设（），则，当时，，所以在上单调递增，
所以时，，即时，，所以，
又，，所以，则，又，所以，
综上：，故选：D.
8.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，利用导数说明函数的单调性，即可得到，即，再令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解.
【详解】设，则，
令，则，
所以当时，故在上单调递减，又，
所以当时，所以在上单调递减，又，
则，即，所以，即，令，则，
所以当时，即在上单调递增，所以，即，即，即，综上可得.故选：C
9.设，，，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【答案】D
【分析】构造函数，根据导数探究单调性，即可判断和的大小；构造函数，再令，通过二次求导探究单调性，即可判断和的大小.
【详解】由，，，得，，，构造函数，则，当时，x＝1，时，，单调递减；时，，单调递增，在x＝1处取最小值，时，，即，
取，得，，，即；设，
则，令，，因为当时，令，
，单调递减，又时，，则，即，
所以，因为当时，，
所以当时，，函数单调递增，又，所以，即，
所以当时，函数单调递增，所以，即，
，即，.故选：D
10.若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据结构，构造函数，利用导数证明出，利用单调性判断出；令，利用单调性判断出，即可得到答案.
【详解】记，因为，令，解得；令，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，
所以，
因为，所以，即；
令，，所以在单调递增，，
所以当时，，即，所以，
又，，所以.故.
故选：D.
11.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，应用导函数判断函数单调性判断大小关系.
【详解】由，得．设，则，
故当时，，f(x)单调递增；当时，，f(x)单调递减．所以f(x)在处取得极大值，也是最大值，即，即，所以，所以（当且仅当时取等号），所以，即．
设，则当时，，所以g(x)单调递增，所以，故，所以，即，所以．故选：C.
12.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数研究函数单调性，由，可得，再由，再作商法，得，从而得解.
【详解】令，则，当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，因为，所以，
又，，所以，所以，故，
因为，又因为，
故，从而有，综上所述：.故选：B.