新高考数学二轮复习巩固训练 专题21《数列》大题综合练（2份，原卷版+教师版）

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等差数列通项公式： 或
等比数列通项公式：
的类型，公式
数列求和的常用方法：
对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；
等差数列求和，等比数列求和
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和. 即
常见的裂项技巧：
； ；

指数型；
对数型.
等
冲刺训练
1.已知是数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用与的关系，结合累乘法即可求出数列的通项公式；
（2）分和利用等差数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）由，则，两式相减得：，
整理得：，即时，，
所以时，，
又时，，得，也满足上式．故．
（2）由（1）可知：．记，设数列的前项和．
当时，；
当时，
综上：
2.设数列是首项为1，公差为d的等差数列，且，，是等比数列的前三项．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求；
（2）由等比数列的定义和通项公式、等差数列的通项公式与求和公式，以及对数的运算性质可得所求和．
【详解】（1）由数列是首项为1，公差为d的等差数列，可得．
又，，是等比数列的前三项，可得，
即有，解得或，
时，，不能作为等比数列的项，舍去，所以；
（2）由（1）可得等比数列的前三项为1，2，4，则首项为1公比为2，，
所以，
数列的前n项和．
3.已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)集合，将集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为，求．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）直接利用数列的递推关系求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论和乘公比错位相减法求出数列的和．
【详解】（1）当时，，则，且；
当时，，，两式相减得，
∴（），
∴当时，，即，
则，∴．综上，对任意都成立．
（2），集合的非空子集有个，
其中最小元素为1的集合中，含1个元素的集合有1个，含2个元素的集合有个，
含3个元素的集合有个，……，含个元素的集合有个，
所以最小元素为1的子集个数为个，
同理，最小元素为2的子集个数为个，
……，最小元素为的子集个数为1个，∴，
，
∴，则．
4.已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）取倒数结合等差数列的通项计算即可；
（2）利用裂项法求得，结合，即可证明结论.
【详解】（1）因为，，所以，
所以.所以，所以为等差数列，首项为，公差，
所以，所以
（2）证明：因为，
所以.
所以，
因为，所以，即.
5.记为数列的前项和，已知的等差中项为.
(1)求证为等比数列；
(2)数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，
【分析】（1）利用等差中项性质化简，再利用与的关系求出，利用等比数列定义即可证明；
（2）先求出通项公式，利用放缩法及等比数列前n项和公式求出和的范围即可求出整数k.
【详解】（1）因为的等差中项为，所以，
因为时，，则，所以，由得，
又，两式相减得，即，
所以有，所以，
所以是等比数列，其首项为，公比为2.
（2）由（1）知，所以，所以，
因为，所以，
又，所以，所以.
6.已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，求得；当时，可得，两式相减得，得到，进而求得数列的通项公式；
（2）令，得到，结合裂项法求和，求得，即可得证.
【详解】（1）解：由题意，数列满足，
当时，可得，解得；
当时，可得，
两式相减得，所以，当时，，适合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）解：令，由，
可得，
所以，
因为，可得，所以.
7.已知各项均为正数的数列，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，试比较与9的大小，并加以证明．
【答案】(1)(2)，证明见解析
【分析】（1）利用因式分解推得，从而得到是等比数列，进而求得，由此得解；
（2）构造函数，利用导数证得，令，从而推得，再利用错位相减法即可得证.
【详解】（1）因为，所以，
因为的各项均为正，所以，故，即，所以是以2为公比的等比数列，
因为，又公比为2，所以，所以.
（2），证明如下：令，则，
当时，，即在上单调递减，
所以，则，即，
设，所以，
所以，
记，则，
所以，
即，则，所以，所以.
8.如图的形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球设各层球数构成一个数列.

(1)写出与的递推关系，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）利用每一层小球的数量找到递推关系，再利用累加法求通项公式即可；
（2）利用与的关系求出数列，进而求得，再利用错位相减法求即可.
【详解】（1）由题意可知，，，
所以数列的一个递推关系为，
所以当时，利用累加法可得，
将代入得，符合，
所以数列的通项公式为.
（2）当时，，即，当时，，① ，②
①-②，得，即，
所以数列是以3为首项，3为公比等比数列，所以，
由题意可知，所以，所以，
所以，③
，④
③-④得，所以，
所以数列的前项和.
9.已知数列的前项的积记为，且满足
(1)证明：数列为等差数列;
(2)若求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）将代入到中，得，结合等差数列的定义可证结论正确；
（2）由（1）求出，再求出，然后分组，利用等差数列求和公式和裂项求和方法可求出结果.
【详解】（1）当时，，得，
当时，，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
（2）由（1）知，，当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以
.
10.已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前项和，求证：.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
【答案】(1)条件选择见解析，；(2)证明见解析.
【分析】（1）选择条件①②③，利用给定条件并作变形，再结合求解作答.
（2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助数列单调性推理作答.
【详解】（1）选择①：因为，则，
两式相减得，即，
而，，则，因此数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以.
选择②：因为，则，
于是当时，，即，由，得，
即有，因此，，即数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以.
选择③：因为，又，
则，即，
显然，于是，即是以1为首项，1为公差的等差数列，
从而，即，因此，而满足上式，所以.
（2）由（1）知，，，
因此，
则，
显然数列单调递减，于是，则，
所以.
11.已知数列是等比数列，满足，且是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，记，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据等比数列的通项公式和等差中项列式求出和可得结果；
（2）由等差数列求和公式求出，再根据裂项求和法求出，可得的取值范围.
【详解】（1）设公比为，依题意得，得，解得或，
当时，，，，不合题意，
当时，，，满足，故.
（2）由（1）得，则，所以，
所以
由于，得，所以，
故的取值范围是.
12.已知数列中，，，记数列的前项的乘积为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）根据，可得，两式相除可得，两边取对数可得，结合时求得，可得，可得是常数列，即可求得答案.
（2）由（1）的结论可得的解析式，从而求得，结合放缩法以及等比数列的前项和公式确定的范围.
【详解】（1）由题意知为正项数列的前项的乘积，且，
当时，，所以，解得；又①，②，
②÷①得，，即，
所以，即，所以，所以，
结合，可知数列是常数列，
所以，所以，所以.
（2）由（1）可得，
则，
由于，
故，且，
所以，即.
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1.已知数列是正项等比数列，且.
(1)求的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由等比数列的性质结合已知条件可得，从而可求出公比，进而可求出的通项公式，
（2）由（1）得，然后利用错位相减法可求得
【详解】（1）由等比数列的性质可得，
由题意可得，解得，所以等比数列的公比为，所以.
（2）由（1）得.所以，①
则，②
①②得
，因此；
2.已知数列，，，，．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的前n项和；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）根据递推关系式可得，根据累加法对进行分奇偶讨论，确定，即可证明数列为等差数列，从而求解前n项和即可；
（2）根据裂项相消法求解数列前n项和即可．
【详解】（1）因为，所以，
当时，当时，
所以
则当为偶数时，
累加得：，所以
当为奇数时，为偶数，则，则此时，
综上可得，所以，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
其前n项和
（2）由（1）可得
则
故其前n项和
．
3.已知数列满足， __________，以下三个条件中任选一个填在横线上并完成问题.
①， ② ③
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项积为，求的最大值．
【答案】(1)；(2)6
【分析】（1）应用等比数列、等差数列的定义和通项公式，再通过构造法求通项公式；
（2）数列单调性的应用求出最大值.
【详解】（1）若选①：已知数列满足，则，
则，是首项为，公比为的等比数列，
故，即若选②：，
则是首项为，公差为4的等差数列，故，即
若选③： 因为，所以当时，，
两式作差得，即，又因为满足上式，所以
（2），故不是单调递增的，又，故当或4时，最大，最大值为．
4.在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．
设数列的前项和为，满足________，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若存在正整数，使得对恒成立，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）若选择条件①：利用可得答案；若选择条件②：由利用等差数列的定义可得答案；
（2）求出，分、两种情况，利用单调性可得答案.
【详解】（1）若选择条件①：
，则，即，
令，则，解得，
是以3为首项，3为公比的等比数列，.
若选择条件②：，是以为首项1为公差的等差数列，
，；
（2），，
∴当，即；当，即；
∴当时，对恒成立．