新高考数学二轮复习巩固训练 专题22《解三角形》大题综合练（2份，原卷版+教师版）

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正弦定理
基本公式：
（其中为外接圆的半径）
变形
三角形中三个内角的关系
，，
余弦定理
边的余弦定理
，，
角的余弦定理
，，
射影定理
，，
角平分线定理
在中，为的角平分线，则有
张角定理
三角形的面积公式
冲刺训练
1.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)求的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得，结合同角三角函数基本关系式即可求解的值；
（2）由（1）利用余弦定理以及基本不等式即可求解．
【详解】（1）由余弦定理知，则
所以，所以，则
又因为，所以，整理得，
在中，，所以．
（2）由（1）知，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
2.已知的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，，为中点，求的长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用倍角余弦公式化简可得，结合，即可求解；
（2）利用余弦定理可得，再根据即可求解.
【详解】（1），即，
化简得，解得，因为，所以．
（2）由余弦定理得，即，解得，
因为
，故的长度为．
3.在中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，点，分别在边，上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据正余弦定理，结合三角恒等变换求解即可；
（2）先求得的面积为，再设，，根据余弦定理与基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，又，所以.
（2）因为，，所以的面积为所以的面积为.
设，，所以，即，
由余弦定理知，当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
4.在 中，角 A、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)2(2)12
【分析】（1）将通分，结合两角和的正切公式即可求解；
（2）由（1）切化弦可求出，由两角和与差的余弦公式得，进而求得，再根据正弦定理结合三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由可得，，
因为，所以可得，
解得.
（2）由（1）知，所以，
又因为，所以，
所以，即，又，
所以，
由正弦定理可得，，所以，
所以，
所以的面积.
5.的内角的对边分别为且．
(1)判断的形状；
(2)若为锐角三角形，且，求的最大值．
【答案】(1)直角三角形或等腰三角形．(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换对原式进行化简，可得或，根据角的范围即可求解；
（2）由结合正弦定理可得，通过锐角三角形可得到，令，故，根据二次函数的性质即可求得最大值
【详解】（1）由题意：，
整理得，故或，
因为，所以或，
为直角三角形或等腰三角形．
（2）由正弦定理得，
∴，又，
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
令，易知，∴，
故当时，即取最大值，最大值为，综上，最大值为．
6.在中，内角的对边分别为.
(1)若，求的面积；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由得，代入，得，再根据余弦定理求出，再根据三角形面积公式可得结果.
（2）根据余弦定理得，再切化弦，利用两角和的正弦公式、正弦定理变形可得结果.
【详解】（1）因为，所以，所以，即，
又，所以，所以，
所以.
（2）由，得，得，
所以，所以，
所以
.
7.在中，三边所对的角分别为，已知，
(1)若，求；
(2)若边上的中线长为，求的长.
【答案】(1)1(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理整理得，得到，求得，再由正弦定理，即可求解；
（2）设边上的中线为，得到，结合向量的运算，求得，再利用余弦定理，即可求解.
【详解】（1）解：因为且，
由正弦定理得，整理得，
因为，可得，可得，
又因为，可得，所以，即，因为，所以，
由正弦定理的且，可得.
（2）解：设边上的中线为，则，所以，
因为边上的中线长为，可得，整理得，解得或（舍去），
所以.

8.在中，角，，的对边分别为，，，点在边上，，，.
(1)若，求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)或；(2)4或.
【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得，从而求得，即可得到结果；
（2）根据题意，由正弦定理化简得，再由正弦定理即可得到，结合三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】（1）
在中，，，由余弦定理得，
∴，化简得，解得，或.
∴，或.
∴，或，
综上可得，或.
（2）在中，设，则，
∵，由正弦定理得，∴.
在中，，，
由正弦定理得，即.化简得
，∵，∴，.
∴或，解得或.
当时，，，∴为等腰直角三角形，
得到的面积为； 当，，
在中由正弦定理得，∴
∴的面积为，
综上可得的面积为4或.
9.在中，角所对的边分别为．
(1)求证：；
(2)延长至点，使得，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）根据题意结合正、余弦定理运算求解；
（2）由正弦定理结合三角恒等变换可得，结合题意可得，运用基本不等式求最值.
【详解】（1）因为，由正弦定理得
又因为，则，可得.
（2）因为，可知，所以角为锐角，
在中，由正弦定理得：，
又因为，整理得，
由于，则，
可得，所以角A为锐角， 可得，
因为，则，所以
可得，
又因为，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为．

10.中，是边上的点，，且．
(1)若，求面积的最大值；
(2)若内是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，说明理由．
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）根据条件结合三角形面积公式可得，建立平面直角坐标系，从而可得A在一个定圆上运动变化，从而可求的边上的高的最大值，故可得面积的最大值；
（2）根据题设条件可判断该三角形为直角三角形，设，
法一：利用正弦定理和两角差的正弦公式可得，从而得，
法二：利用正弦定理得，利用余弦定理可求得，从而得.
【详解】（1）由面积公式可得：，
，因为，故，
由可得即，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，设，则，整理得到：，
即点A的轨迹是以圆心，为半径的圆，
故的边上的高的最大值为，故其面积的最大值为.
（2）因为，故，又，故，
故为直角三角形，且，
假设内存在点，使得，
法一：如图，设，
则，故，

在中，由正弦定理可得，即，
故，故，
因为为锐角，故，故存在且．
法二：如图，设，则，故，
同理，故，
而，故，
在中，由余弦定理可得：，
整理得到：，
所以，
整理得到：，解得或，
但为锐角，故，故，故存在且．
12.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．
(1)求证：；
(2)若，求．
【答案】(1)详见解析；(2)
【分析】（1）先利用余弦定理由得到，再利用正弦定理由即可求得；
（2）先利用余弦定理求得，进而利用余弦定理求得
【详解】（1）在中，，则
整理得，则又，则
在中，由正弦定理得，则
在中，由正弦定理得，则
则
则
（2）由，可得，又
则由
可得，解之得
又，则，由，可得
则
解三角形 随堂检测
1.已知的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求的大小；
(2)当，时，求的面积．
【答案】(1)；(2)或
【分析】（1）由正弦边角关系、和角正弦公式可得，结合三角形内角性质可得，即可得大小；
（2）由余弦定理列方程求，再应用三角形面积公式求的面积．
【详解】（1）由得：，
∴，，
∴．又，则．
（2）由余弦定理得：，
整理得：．解得，检验均满足构成三角形．
∴或．
2.在中，．
(1)若，求；
(2)设是边上一点，若，，求．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据已知条件及三角形的内角和定理，结合三角函数的诱导公式和降幂公式即可求解；
（2）利用二倍角公式及正弦定理，结合余弦定理及同角函数的基本关系，再利用两角差的正弦公式及三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）∵在中，，∴，
∵，∴，即，
∴，∴或，
∵，∴．
（2）∵，∴，
由正弦定理得，又由余弦定理得，
∴，即，
∴，
∵为内角，∴．∵，∴，，
又，∴，
∴，
∴，
∴．
3.在中，，D为中点， .
(1)若，求的长；
(2)若 ，求的长.
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）在中，由余弦定理求得，即可得，在中利用余弦定理即可求得答案；
（2）设，由正弦定理求得，结合，以及，可推出，再由，推出，联立解方程可得答案.
【详解】（1）在中，，
则 ，
在中，，所以.
（2）设，
在和中，由正弦定理得，，
又，得，在中，，
由，有，
所以，整理得：，①
又由，整理得：，②
联立①②得，，即.解得或，
又，故，所以.
4.已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)在中，内角所对的边分别是，且，若，求的面积.
【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为.(2)
【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简函数，结合正弦函数的周期与单调性求解即可；
（2）根据求出，根据余弦定理得到，利用平方，结合三角形面积公式求解即可.
【详解】（1），所以函数的最小正周期为.
令，得，
故函数的单调递增区间为.
（2）由，得，
由得，所以，得.
由余弦定理得，即，
因为，所以，
从而有，得，则