新高考数学二轮复习巩固训练 专题24《概率统计》大题综合练（2份，原卷版+教师版）

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数字样本特征
众数：在一组数据中出现次数最多的数
中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数
平均数：，反映样本的平均水平
方差：
反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；
越大，样本波动越大，越不稳定；越小，样本波动越小，越稳定；
标准差：，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样
极差：等于样本的最大值最小值
求随机变量X的分布列的步骤：
(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.
求随机变量的期望和方差的基本方法：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若～,则，.
4. 求解概率最大问题的关键是能够通过构造出不等关系，结合组合数公式求解结果
5. 线性回归分析解题方法：
（1）计算的值；（2）计算回归系数；（3）写出回归直线方程.
线性回归直线方程为：，，
其中为样本中心，回归直线必过该点
（4）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱）
，正相关；，负相关
独立性检验解题方法：
（1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性
独立性检验计算公式：
冲刺训练
1.在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率；
(2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设事件“种子选手第局上场”，事件“甲队最终获胜且种子选手上场”，求出、的值，利用全概率公式可求得的值；
（2）设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，计算出、的值，利用贝叶斯公式可求得的值.
【详解】（1）解：设事件“种子选手第局上场”，
事件“甲队最终获胜且种子选手上场”.
由全概率公式知，
因为每名队员上场顺序随机，故，
，，.
所以，
所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为.
（2）解：设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，
，，，
，因为.
由（1）知，所以.
所以，已知甲队获得最终胜利，种子选手上场的概率为.
2.某科研团以为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下列联表．
(1)请将上面的列联表补充完整．
(2)认为“药物对预防疾病有效”犯错误的概率是多少？
(3)为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只，设其中未服用药物的动物数为，求的分布列与期望．
下面的临界值表供参考：
（参考公式：，其中）
【答案】(1)列联表见解析(2)2.5%(3)分布列见解析，数学期望为1.6
【分析】（1）根据表中的数据完成列联表即可；
（2）由公式计算，然后根据临界值表进行判断；
（3）由题意可得的值可能为0，1，2，3，4，求出相应的概率，从而可求得的分布列与期望．
【详解】（1）列联表补充如下：
（2）．
，认为“药物对预防疾病有效”犯错误的概率是2.5%．
（3）根据题意，10只未患病动物中，有6只服用药物，4只未服用药物，
所以的值可能为0，1，2，3，4，则
，，，
，，的分布列如下：
则．
3.某种疾病可分为，两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患型疾病的人数占男性患者的，女性患型疾病的人数占女性患者的.
(1)填写列联表，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类型’与‘性别’有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？
(2)某团队进行预防型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.若，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.
，
【答案】(1)列联表见解析，被调查的男性患者至少有12；(2)元
【分析】（1）设男性患者有人，结合题设写出列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想列不等式求范围，再由，确定最小值；
（2）由题意试验每人的接种费用为的可能取值为，，独立事件乘法公式求出对应概率，进而求出期望，根据总人数求出总费用的期望即可.
【详解】（1）设男性患者有人，则女性患者有人，列联表如下：
假设：患者所患疾病类型与性别之间无关联，根据列联表中的数据，
要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则，解得，因为，，所以的最小整数值为12，
因此，男性患者至少有12人.
（2）设该试验每人的接种费用为元，则的可能取值为，.
则，，
所以，
因为，试验人数为1000人，所以该试验用于接种疫苗的总费用为，
所以元.
4.在以视觉为主导的社交媒体时代，人们常借助具有美颜功能的产品对自我形象进行美化.移动端的美颜拍摄类APP主要有两类：类是以自拍人像、美颜美妆为核心功能的APP；类是图片编辑、精修等图片美化类APP.某机构为调查市民对上述，两类APP的使用情况，随机调查了部分市民.已知被调查的市民中使用过类APP的占60%，使用过B类APP的占50%，设个人对美颜拍摄类APP类型的选择及各人的选择之间相互独立.
(1)从样本人群中任选1人，求该人使用过美颜拍摄类APP的概率；
(2)从样本人群中任选5人，记为5人中使用过美颜拍摄类APP的人数，设的数学期望为，求；
(3)在单独使用过，两类APP的样本人群中，按类型分甲、乙两组，并在各组中随机抽取8人，甲组对类APP，乙组对类APP分别评分如下：
记甲、乙两组评分的平均数分别为，，标准差分别为，，试判断哪组评价更合理.（设（），越小，则认为对应组评价更合理.）
参考数据：，.
【答案】(1)0.8(2)(3)甲组对类APP的评价更合理.
【分析】（1）求出“使用过类APP”和“使用过类APP”的概率，再由对立事件的概率公式求解即可.
（2）题意知，由二项分布的数学期望公式可求出，再由二项分布的概率公式即可求出.（3）由平均数和方差的公式求解即可得出答案.
【详解】（1）设事件表示“使用过类APP”，事件表示“使用过类APP”，
由题意知，.
任选一人，该人使用过美颜拍摄类APP的概率:.
（2）由题意知，则的数学期望.
.
（3），，
，
，
，故甲组对类APP的评价更合理.
5.相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到以上.某健身连锁机构对其会员的年龄等级和一个月内到健身房健身次数进行了统计，制作成如下两个统计图.图1为会员年龄分布图（年龄为整数），其中将会员按年龄分为“年轻人”（20岁—39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类；图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图，其中将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”.

(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图表数据，补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以认为“健身达人”与年龄有关？
(2)该健身机构在今年年底将针对全部的150名会员举办消费返利活动，预设有如下两种方案.
方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”给予奖励.其中，健身爱好者和健身达人中的“幸运之星”每人分别奖励500元和800元.
方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为2，则可获得100元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励.
如果每位健身爱好者均可参加1次摸奖游戏；每位健身达人均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）.以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.
附：.
【答案】(1)列联表见解析，“健身达人”与年龄无关(2)施行方案1投资较少，理由见解析
【分析】（1）根据题意计算相关数据填好列联表，利用公式计算，对照参考数据得出结论；
（2）按分层抽样计算方案1奖励的总金额；方案2中，设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则的可能取值为，计算对应概率，得出分布列，数学期望，进而计算按照方案2奖励的总金额，比较即可得出答案.
【详解】（1）根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为，
则年轻人人数为，非年轻人为20人，
根据图2表格得健身达人所占比，所以其人数为，
根据其中年轻人占比，所以健身达人中年轻人人数为，非年轻人为10人；
健身爱好者人数为，再通过总共年轻人合计为80人，
则健身爱好者中年轻人人数为，
根据非年轻人总共为20人，健身爱好者中非年轻人人数为，所以列联表为：
零假设为：“健身达人”与年龄无关联，
根据列联表中的数据，可得，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即“健身达人”与年龄无关.
（2）方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”，
则“幸运之星”中的健身爱好者和健身达人的人数分别为
，
按照方案1奖励的总金额为（元）.
方案2：设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，
全部的150名会员中的健身爱好者和健身达人的人数分别为
，则的可能取值为.
由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为，
所以，，
.所以的分布列为：
数学期望为（元），
按照方案2奖励的总金额为（元），
因为由，所以施行方案1投资较少.
6.为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行临床人体试验.研究人员将疫苗注射到200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.

试验发现志愿者体内产生抗体的共有160人，其中该项指标值不小于60的有110人.假设志愿者注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及小概率值的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关.
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40名志愿者进行第二次注射疫苗，结果又有名志愿者产生抗体.
（i）用频率估计概率，已知一名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的概率，求的值；
（ⅱ）以（i）中的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，再进行另一组人体接种试验，记110名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量，求最大时的的值.
参考公式：（其中为样本容量）.
【答案】(1)列联表见解析，认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关；
(2)（i）20；（ⅱ）99.
【分析】（1）完善列联表，计算的观测值，再与临界值表比对作答.
（2）（i）利用对立事件、相互独立事件的概率公式求解作答；（ⅱ）利用二项分布的概率公式，列出不等式组并求解作答.
【详解】（1）由频率分布直方图，知200名志愿者按指标值分布为：在内有（人），
在内有（人），在内有（人），
在内有（人），在内有(人)，
依题意，有抗体且指标值小于60的有50人，而指标值小于60的志愿者共有人，
则指标值小于60且没有抗体的志愿者有20人，指标值不小于60且没有抗体的志愿者有20人，
所以列联表如下：
零假设：注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60无关联，
根据列联表中数据，得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件“志愿者第一次注射疫苗产生抗体”，事件“志愿者第二次注射疫苗产生抗体”，
事件“志愿者注射2次疫苗后产生抗体”，记事件发生的概率分别为，
则，解得：，所以.
（ⅱ）依题意，随机变量，，
显然不是最大的，即当最大时，，
于是，即，
则，整理得，解得，因此，
所以最大时，的值为99.
7.首批全国文明典范城市将于2023年评选，每三年评选一次，2021年长沙市入选为全国文明典范城市试点城市，目前我市正全力争创首批全国文明典范城市，某学校号召师生利用周末从事创建志愿活动.高一（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择，每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：
(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；
(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据条件概率求解即可；（2）先求出参加人数的分布列及期望，再根据参加人数与得分的关系求出得分的期望即可.
【详解】（1）设事件A为：“至少有一名女生参加活动”，设事件B为：“恰有一名女生参加活动”.
则，.
所以在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率为：；
（2）因为女生参加活动得分为；男生参加活动得分为.
设恰有名女生参加活动，则有名男生参加活动，
所以，，，所以，
又，
所以.
8.为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成．
(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；
(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；
(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由．
【答案】(1)(2)分布列见解析，3(3)选择小宇，理由见解析
【分析】（1）小明至少正确完成其中3道题包含两种情况：一是小明正确完成3道题，二是小明正确完成4道题，然后由互斥事件的概率公式求解即可；
（2）由题意得X的可能取值为2，3，4，然后求各自对应的概率，从而可求出X的分布列及数学期望；
（3）分别计算出他们两人至少完成其中3道题的概率，通过比较概率的大小可得答案.
【详解】（1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则．
（2）X的可能取值为2，3，4
，，，X的分布列为；
数学期望．
（3）由（1）知，小明进入决赛的概率为；记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则；因为，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛．
9.某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.
(1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；
②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量，则；；.
【答案】(1)(2)①能，理由见解析②假
【分析】（1）设为第次通过第一关，为第次通过第二关，计算即可；
（2）①由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可；
②假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论．
【详解】（1）设：第i次通过第一关，：第i次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为，由题意知
.
（2）设此次闯关活动的分数记为.①由题意可知，因为，且，
所以，则；而，
且，
所以前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励；
②假设乙所说为真，则，
，
而，所以，从而，
而，
所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假.
10.研究表明，如果温差本大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于几童以及年老体弱的人群，要多加防范某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：
参考数据：，
(1)已知第一天新增感冒就的学生中有4位男生，从第一天多增的感冒就诊的学生中随机取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率为，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15时，该校新增感冒就诊的学生人数. 参考数据： ，
【答案】(1)的分布列见解析； (2)15
【分析】（1）首先根据抽取的2人中至少有一位女生的概率计算出，从而得到随机变量X的取值，根据超几何分布概率计算可得分布列和数学期望；
（2）首先根据样本相关系数和已知条件计算出，进一步计算可得，利用最小二乘法计算出请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，从而得到线性回归方程，将代入可得答案.
【详解】（1）因为，所以，
所以，解得，即第一天新增患感冒而就诊的学生有9位，其中男生4位，女生5位，则随机变量X的可能取值为，且服从超几何分布，其中，
，，，的分布列为
数学期望为；
（2）因为，所以，所以，
由于，
所以，所以，
因为，，
解得，所以，所以，
当时，，
据此估计昼夜温差为15时，该校新增感冒就诊的学生人数为.
11.某地区由于农产品出现了滞销的情况，从而农民的收入减少，很多人开始在某直播平台销售农产品并取得了不错的销售量.有统计数据显示2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”.

(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？
使用直播销售情况与年龄列联表
(2)某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：
方案一：线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不是不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，；
方案二：线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，.
针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.
参考数据：独立性检验临界值表
其中，．
【答案】(1)列联表见解析，能
(2)从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一，理由见解析
【分析】（1）由题意填写列联表，计算，对照附表得出结论．
（2）计算方案一、方案二的期望与方差，比较即可得出结论．
【详解】（1）由图2知，样本中经常使用直播销售的用户有人，
其中年轻人有人，非年轻人人，
由图1知，样本中的年轻人有人，
不常使用直播销售的用户有人，其中年轻人有人，非年轻人人，
补充完整的列联表如下，
计算，
依据小概率值的独立性检验，能认为经常使用网络直播销售与年龄有关．
（2）方案一：设获利万元，则的所有可能取值为，
，，
方案二：设获利万元，则的所有可能取值为，
，，
所以，
从获利的期望上看，方案二获得的利润更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一更稳定，所以，从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一．
12.某医疗科研小组为研究某市市民患有疾病与是否具有生活习惯的关系，从该市市民中随机抽查了100人，得到如下数据：
(1)依据的独立性检验，能否认为该市市民患有疾病与是否具有生活习惯有关？
(2)从该市市民中任选一人，表示事件“选到的人不具有生活习惯”，表示事件“选到的人患有疾病”，试利用该调查数据，给出的估计值；
(3)从该市市民中任选3人，记这3人中具有生活习惯，且末患有疾病的人数为，试利用该调查数据，给出的数学期望的估计值．
附：，其中．
【答案】(1)有关(2)(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据题设可得列联表，故可求的值，结合临界值表可判断该市市民患有疾病与是否具有生活习惯有关.
（2）根据条件概率的计算公式结合表中数据可求的估计值.
（3）利用二项分布的期望公式可求的数学期望的估计值.
【详解】（1）由已知得列联表如下：
零假设为：该市市民患有疾病与是否具有生活习惯无关．
根据列联表中的数据，经计算得到．
依据的独立性检验，推断不成立，即认为该市市民患有疾病与是否具有生活习惯有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）由（1）数据可得：，，所以．
（3）由题意知可用估计的分布，所以的估计值为．
概率统计 随堂检测
1.“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．
(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望；
(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，，且，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
【答案】(1)分布列见解析，(2)11轮
【分析】（1）根据超几何分布列分布列计算数学期望即可；
（2）先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.
【详解】（1）由题意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以．
（2）他们在每轮答题中取得胜利的概率为
，
由，，，得，
则，因此，
令，，于是当时，．
要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值．
设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，，
由，即，解得．而，则，所以理论上至少要进行11轮答题．
2.设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中，令，称是二维离散型随机变量的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；
现有个球等可能的放入编号为的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为，落入第2号盒子中的球的个数为．
(1)当时，求的联合分布列，并写成分布表的形式；
(2)设且，求的值．
（参考公式：若，则）
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）的取值为0，1，2，的取值为0，1，2，分别计算概率即可；
（2）计算得，则，最后利用二项分布的期望公式即可得到答案.
【详解】（1）若，的取值为0，1，2，的取值为0，1，2，则，
，，，
，，
，故的联合分布列为
（2）当时，，
故
所以，由二项分布的期望公式可得．
3.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
(1)根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
附：
【答案】(1)有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关；
(2)分布列见解析，数学期望为.
【分析】（1）完善列联表，计算的观测值，再与临界值表比对作答.
（2）求出的可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.
【详解】（1）依题意，列联表如下：
零假设：该校学生喜欢足球与性别无关，
的观测值为，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.
（2）依题意，的可能值为，
，，
，，所以的分布列为：
数学期望.
4.某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作.
(1)对于方案一，设X为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X的分布列与数学期望E（X）；
(2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)，，方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．
【分析】（1）根据题意得到随机变量，结合独立重复试验的概率计算公式求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；
（2）根据题意，分别求得方案一和方案二中，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得机器发生故障时不能及时维修的概率和，根据大小关系，即可得到结论.
【详解】（1）解：由题意，车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，可得方案一中，随机变量，则，，，所以随机变量的分布列为：
所以期望为．
（2）解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为，
则其概率为．
对于方案二：设机器发生故障时不能及时维修的概率为，
则，
可得，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．
患病
未患病
总计
服用药物
10
45
末服用药物
50
总计
30
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
患病
末患病
总计
服用药物
10
45
55
末服用药物
20
30
50
总计
30
75
105
0
1
2
3
4
型病
型病
合计
男
女
合计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
型病
型病
合计
男
女
合计
甲组评分
94
86
92
96
87
93
90
82
乙组评分
85
83
85
91
75
90
83
80
年轻人
非年轻人
合计
健身达人
健身爱好者
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
年轻人
非年轻人
合计
健身达人
50
10
60
健身爱好者
30
10
40
合计
80
20
100
0
100
300
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200
X
2
3
4
P
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
昼夜温差x（）
4
7
8
9
14
12
新增感就诊人数y（位）
0
1
2
年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用户
不常使用直播销售用户
合计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播销售用户
90
30
120
不常使用直播销售用户
70
10
80
合计
160
40
200
疾病
生活习惯
具有
不具有
患病
25
15
未患病
20
40

0.10
0.05
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
疾病
生活习惯B
合计
具有
不具有
患病
25
15
40
未患病
20
40
60
合计
45
55
100
0
1
2
3
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
0
1
2
3
X
0
1
2
P