2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之一元二次方程练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之一元二次方程练习，共16页。
A．6B．5C．2D．﹣6
2．（2024•新邵县三模）若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1•x2的值是（ ）
A．3B．﹣3C．4D．﹣4
3．（2024•娄底二模）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
4．（2024秋•思明区校级期中）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+2＝0的解，则代数式2024+2a﹣b的值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
5．（2023秋•南山区期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．16（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x）2＝23D．23（1﹣2x）2＝16
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•罗定市期中）若α，β是方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则αβ的值为 ．
7．（2024秋•思明区校级期中）如图，用48m长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是300m2的长方形鸡场，鸡场有一个2m的门，设与墙垂直的边长为x m，所列方程是 ．
8．（2024秋•鼓楼区校级期中）已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2，则x1•x2的值为 ．
9．（2024秋•松江区期中）设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，有x1+x2=−ba，x1x2=ba，请你根据以上材料解决问题：已知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3m2+3n﹣mn的值等于 ．
10．（2024秋•江夏区期中）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平．某区开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排28场比赛，则应邀请 个足球队参赛．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•金凤区校级期中）用合适的方法解方程：
（1）（x﹣2）2＝18；
（2）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）；
（3）x2+4x+5＝0；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
12．（2024秋•安宁市校级期中）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程的一个根为3，求方程的另一个根．
13．（2023秋•嵩明县期末）某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园开辟一块劳动教育基地，一面利用学校的墙（墙的长度为16m），用30m长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地ABCD，供同学们进行劳动实践．
（1）若围成的菜地面积为100m2，求此时AB的长．
（2）能围成面积为120m2的菜地吗？若能，请求出AB的值；若不能，请说明理由．
14．（2024秋•东川区期中）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0．
（1）判断此方程根的情况；
（2）若x＝﹣2是该方程的一个根，求代数式2m2+8m﹣3的值．
15．（2024秋•兰州期中）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值．2x2﹣x+2+y2我们使用的方法如下：
原式=2(x2−12x)+2+y2=2(x2−12x+116−116)+2+y2=2(x2−12x+116)−18+2+y2=2(x−14)2+y2+158.∵2(x−14)2≥0，y2≥0，∴2(x−14)2+y2+158≥158，
2x2﹣x+2+y2的最小值是158．
根据材料方法，解答下列问题．
（1）﹣x2﹣4x﹣3的最大值为 ；
（2）求m2+n2+6m﹣4n+20的最小值．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•兰州期中）若x＝4是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．6B．5C．2D．﹣6
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可．
【解答】解：把x＝4代入方程得：16﹣4m+8＝0，
解得m＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确进行计算是解题关键．
2．（2024•新邵县三模）若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1•x2的值是（ ）
A．3B．﹣3C．4D．﹣4
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得到x1•x2=−41=−4．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1•x2=ca．
3．（2024•娄底二模）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；推理能力．
【答案】C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝8＞0，进而可得出一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
4．（2024秋•思明区校级期中）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+2＝0的解，则代数式2024+2a﹣b的值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】把x＝2代入一元二次方程ax2﹣bx+2＝0解得2a﹣b＝﹣1，再利用整体思想解答即可．
【解答】解：把x＝2代入一元二次方程ax2﹣bx+2＝0得，
22a﹣2b+2＝0，
4a﹣2b+2＝0，
4a﹣2b＝﹣2，
2a﹣b＝﹣1，
∴2024+2a﹣b＝2024+（﹣1）＝2024﹣1＝2023，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的解的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（2023秋•南山区期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．16（1+x）2＝23B．23（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x）2＝23D．23（1﹣2x）2＝16
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为23（1﹣x）万元，5月份的售价为23（1﹣x）（1﹣x）＝23（1﹣x）2万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案．
【解答】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴23（1﹣x）2＝16．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•罗定市期中）若α，β是方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则αβ的值为 ﹣5 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣5．
【分析】根据根与系数的关系直接计算即可．
【解答】解：方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根是α，β，根据根与系数的关系可得：αβ＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1和x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca，熟练掌握以上知识点是关键．
7．（2024秋•思明区校级期中）如图，用48m长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是300m2的长方形鸡场，鸡场有一个2m的门，设与墙垂直的边长为x m，所列方程是 x（48+2﹣2x）＝300 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】x（48+2﹣2x）＝300．
【分析】根据篱笆的总长及与墙垂直的边长，可得出与墙平行的边长为（48+2﹣2x）m，根据长方形鸡场的面积为300m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵篱笆的总长为48m，且与墙垂直的边长为x m，
∴与墙平行的边长为（48+2﹣2x）m．
根据题意得：x（48+2﹣2x）＝300．
故答案为：x（48+2﹣2x）＝300．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2024秋•鼓楼区校级期中）已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2，则x1•x2的值为 ﹣3 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】根据x1⋅x2=ca代入计算即可．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x1⋅x2=ca=−31=−3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
9．（2024秋•松江区期中）设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，有x1+x2=−ba，x1x2=ba，请你根据以上材料解决问题：已知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3m2+3n﹣mn的值等于 7 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】7．
【分析】由m是方程x2﹣x﹣1＝0的根，可得出m2﹣m﹣1＝0，进而可得出m2﹣m＝1，利用根与系数的关系，可得出m+n＝1，mn＝﹣1，再将其代入3m2+3n﹣mn＝3（m2﹣m）+3（m+n）﹣mn中，即可得出结论．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1．
∵m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
∴3m2+3n﹣mn＝3（m2﹣m）+3（m+n）﹣mn＝3×1+3×1﹣（﹣1）＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出m2﹣m＝1，m+n＝1及mn＝﹣1是解题的关键．
10．（2024秋•江夏区期中）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平．某区开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排28场比赛，则应邀请 8 个足球队参赛．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】8．
【分析】设应该邀请x个足球队参赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为12x（x﹣1），列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设应该邀请x个足球队参赛，
由题意得：12x（x﹣1）＝28，
解得：x＝8或x＝﹣7（舍去），
即应邀请8个足球队参赛．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•金凤区校级期中）用合适的方法解方程：
（1）（x﹣2）2＝18；
（2）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）；
（3）x2+4x+5＝0；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝2+32，x2＝2﹣32；
（2）x1＝1+3，x2＝1−3；
（3）此方程无实数根；
（4）x1=13，x2＝1．
【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可．
（2）利用配方法解一元一次方程即可．
（3）利用公式法解一元二次方程即可．
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝18，
x﹣2＝±32，
x﹣2＝32或x﹣2＝﹣32，
x1＝2+32，x2＝2﹣32；
（2）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝±3，
x﹣1=3或x﹣1=−3，
x1＝1+3，x2＝1−3；
（3）x2+4x+5＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝5，
Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴此方程无实数根；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1），
（3x﹣1）2﹣2（3x﹣1）＝0，
（3x﹣1）（3x﹣1﹣2）＝0，
3x﹣1＝0或3x﹣1﹣2＝0，
x1=13，x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程解法，解题关键是根据方程的特点选择合适的方法解方程．
12．（2024秋•安宁市校级期中）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程的一个根为3，求方程的另一个根．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）x＝2．
【分析】（1）求出Δ＝（m﹣4）2，根据（m﹣4）2≥0即可证明结论；
（2）把x＝3代入方程求出m＝5，把m＝5代入x2﹣mx+2m﹣4＝0得x2﹣5x+6＝0，解方程即可得到方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2，
∵（m﹣4）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：把x＝3代入方程得：9﹣3m+2m﹣4＝0，
解得：m＝5，
把m＝5代入x2﹣mx+2m﹣4＝0得：x2﹣5x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝3，
所以另一根为x＝2．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识，关键是求出Δ＝（m﹣4）2解答．
13．（2023秋•嵩明县期末）某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园开辟一块劳动教育基地，一面利用学校的墙（墙的长度为16m），用30m长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地ABCD，供同学们进行劳动实践．
（1）若围成的菜地面积为100m2，求此时AB的长．
（2）能围成面积为120m2的菜地吗？若能，请求出AB的值；若不能，请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）10米；
（2）不能围成面积为120m2的菜地，理由见解答．
【分析】（1）设AB的长为x米，则BC的长为（30﹣2x）米，根据围成菜地的面积为100m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙的长度为16m，即可确定结论；
（2）假设能围成面积为120m2的菜地，设AB的长为y米，则BC的长为（30﹣2y）米，根据围成菜地的面积为120m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣15＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即不能围成面积为120m的菜地．
【解答】解：（1）设AB的长为x米，则BC的长为（30﹣2x）米，
根据题意得：x（30﹣2x）＝100，
整理得：x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
当x＝5时，30﹣2x＝30﹣2×5＝20＞16，不符合题意，舍去；
当x＝10时，30﹣2x＝30﹣2×10＝10＜16，符合题意．
答：AB的长为10米；
（2）不能围成面积为120m2的菜地，理由入下：
假设能围成面积为120m2的菜地，设AB的长为y米，则BC的长为（30﹣2y）米，
根据题意得：y（30﹣2y）＝120，
整理得：y2﹣15y+60＝0，
∵Δ＝152﹣4×1×60＝﹣15＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即不能围成面积为120m的菜地．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，原方程没有实数根”．
14．（2024秋•东川区期中）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0．
（1）判断此方程根的情况；
（2）若x＝﹣2是该方程的一个根，求代数式2m2+8m﹣3的值．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）﹣5．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＞0，从而根据根的判别式的意义可判断方程根的情况；
（2）先根据一元二次方程解的定义得到m2+4m＝﹣1，再把2m2+8m﹣3变形为2（m2+4m）﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣3）
＝4m2﹣4m2+12
＝12＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）把x＝﹣2代入方程x2﹣2mx+m2﹣3＝0得4+4m+m2﹣3＝0，
∴m2+4m＝﹣1，
∴2m2+8m﹣3＝2（m2+4m）﹣3＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．（2024秋•兰州期中）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值．2x2﹣x+2+y2我们使用的方法如下：
原式=2(x2−12x)+2+y2=2(x2−12x+116−116)+2+y2=2(x2−12x+116)−18+2+y2=2(x−14)2+y2+158.∵2(x−14)2≥0，y2≥0，∴2(x−14)2+y2+158≥158，
2x2﹣x+2+y2的最小值是158．
根据材料方法，解答下列问题．
（1）﹣x2﹣4x﹣3的最大值为 1 ；
（2）求m2+n2+6m﹣4n+20的最小值．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】配方法；运算能力．
【答案】（1）1；（2）7．
【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；
（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【解答】解：（1）﹣x2﹣4x﹣3
＝﹣（x2+4x+3）
＝﹣（x+2）2+1，
∵﹣（x+2）2≤0，
∴﹣（x+2）2+1≤1，
故答案为：1；
（2）m2+n2+6m﹣4n+20
＝m2+6m+9+n2﹣4n+11
＝（m+3）2+（n﹣2）2+7，
∵（m+3）2≥0，（n﹣2）2≥0，
∴（m+3）2+（n﹣2）2+7≥7．
∴m2+n2+6m﹣4n+20的最小值为7．
【点评】此题考查配方法的应用，解题关键在于理解题意掌握运算法则．
考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
3．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
4．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
5．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
6．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
7．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=−（x1+x2），ca=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
8．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
9．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
10．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．