湖南省永州市2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试题

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一、单项选择题
二、多项选择题
三、填空题
12．13．414．
部分小题解析
8．解析：由题可知，，
构造函数，在定义域上单调递增
得，
当且仅当“”等号成立，最小值为
11．解析：选项A：，令，，A正确；
选项B：为奇函数，
，，用替换①，
①中用替换得②，由①②式，得
即是周期为2的周期函数，B正确；
选项C：，关于中心对称，无法得出的值，故C错误
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
D
A
A
D
C
B
题号
9
10
11
答案
AC
BCD
ABD
选项D：关于中心对称，，关于中心对称，函数与的图象恰有个交点，横坐标和
纵坐标和为：，横纵坐标之和：，D正确
14．解析：由，得，
即单调递减区间为，
所以只需，，解得：，
则，即，又因为，所以，所以，由，则，因为函数在区间上恰有个零点，所以由余弦函数的性质可知：，解得：，故取值范围为.
四、解答题
15．（本题满分13分）
解：
（1）当时， …………………3分
又
…………………6分
（2）
①，则， …………………9分
②，则 …………………12分
综上所述，的取值范围是 …………………13分
16．（本题满分15分）
解：
（1）且为单调函数 …………………1分
，即 …………………2分
， …………………3分
， …………………4分
即， ………………5分
则 ………………6分
（2）由（1）得，
不等式 …………………7分
令
…………………9分
解得 ………………10分
则 …………………11分
…………………12分
则 …………………13分
即或 …………………14分
不等式的解集为 …………………15分
17．（本题满分15分）
解：
（1）
………1分

…………………2分
…………………5分
的最小周正周期为 …………………7分
的单调增区间为， …………………8分
…………………9分
即 …………………10分
故的单调增区间为， …………………12分
图象的对称轴方程为， ………………13分
即 … ………………14分
故图象的对称轴方程为， …………………15分
18．（本题满分17分）
解：
（1）……①
…………………1分
又为偶函数，为奇函数
， …………………2分
……②
由①②得：
……③ …………………3分
将③代入①得：
综上所述：， …………………4分
（2） …………………5分
…………………6分
…………………7分

即得证： …………………8分
（3）由（1），（2）可知，方程可化为
…………………9分
令，因为方程有正实数根，，所以
所以有两个正实数根， …………………10分
故，解得 …………………11分
由韦达定理得 …………………12分
所以
………………13分
当且仅当“”时等号成立，
当时，方程，解得， ………14分
不妨设，令，则在上单调递增，
则
，即
………………15分
，即
………………16分
………………17分
19．（本题满分17分）
解：
（1）由题可知，，不妨设 …………………1分
由中元素之和小于6
…………………2分
当时，或 …………………3分
当时，或 …………………4分
当时，
综上，或或或或 …………5分
（2）当时，，
若，则或 …………………6分
，
，对式子无限迭代，数值增大，
此时为无限集，与题设有限集矛盾 …………………7分
若，则
， …………………8分
当时，，
，此时M中元素重复迭代 ……………9分
同理，时，；时，
时，； 也满足 …………………10分
当时，
，无限迭代后，为无限集，矛盾
综上，或或或…………11分
（3）由（2）知，
若，
时，，不为整数，不符题意
时，， 不为整数，不符题意 ……………………12分
，又，则
， ……………………13分
①当时，无解
②当时， ……………………14分
，值域为
③当时，
，令 ………15分
对称轴，，
，，值域为………………………16分
④当时，
，令
对称轴，，
，，值域为…………………………17分