四川省南充市2023_2024学年高二数学上学期第二次月考试卷含解析

这是一份四川省南充市2023_2024学年高二数学上学期第二次月考试卷含解析，共17页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1直线恒过定点（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由时，可得到定点坐标.
【详解】当，即时，，直线恒过定点.
故选：B.
2. 空间四边形中，（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的加减运算求解即可.
【详解】根据向量的加法、减法法则，得.
故选：A.
3. 若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称求出圆C的圆心和半径可得答案.
【详解】由于圆的圆心，半径为1，
圆与圆关于原点对称，故、半径为1，
故圆的方程为：，
故选：A．
4. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线DE与AC所成的角的余弦值.
【详解】设正方体棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则D(0,0,0)，E(0，，1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，
所以＝(0，，1)，＝(－1,1,0)，
则,
则异面直线DE与AC所成角的余弦值为.
故选：B.
【点睛】本题考查关键是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量计算求解，属基础题.
5. 设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，若，则（）
A. 1或5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线的渐近线方程求出，再利用双曲线的定义，即可求解.
【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，
可得，解得，
又是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点,，，
可得点在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，则.
故答案为：C.
6. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
7. 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得，然后列出方程组，从而求解.
【详解】由题意得：，离心率：，
从而可得方程组：，解得：.
故椭圆的标准方程为：，故A项正确.
故选：A.
8. 过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由与x轴交点横坐标可得半焦距c，设出点A，B坐标，利用点差法求出的关系即可计算作答.
【详解】依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，，
则有，两式相减得：，
而，且，即有，
又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意，
所以椭圆的方程为.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列结论中正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案．
【详解】对A：，则或与相交或与异面，故选项A错误；
对B：若，，则，故选项B正确；
对C：若，则或与相交，故选项C正确；
对D：若，则，故选项D正确．
故选：BD．
10. 椭圆的离心率为，短轴长为，则（）
A. 椭圆的方程为
B. 椭圆与双曲线的焦点相同
C. 椭圆过点
D. 直线与椭圆恒有两个交点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆离心率公式、短轴长定义，结合双曲线焦点公式、代入法、直线点斜式方程的性质逐一判断即可.
【详解】因为椭圆的短轴长为，所以有，
而椭圆的离心率为，所以，
所以可得：..
A：因为，所以该椭圆的标准方程为：，因此本选项正确；
B：由，该双曲线的焦点在纵轴上，
而椭圆的焦点在横轴，所以本选项说法不正确；
C：因为，所以点在该椭圆上，因此本选项说法正确；
D：直线恒过点，而，所以点在椭圆内部，因此直线与椭圆恒有两个交点，所以本选项说法正确，
故选：ACD
11. 已知直线，圆，则下列结论正确的是（）
A. 直线l恒过定点
B. 直线l与圆C恒有两个公共点
C. 直线l与圆C的相交弦长的最大值为
D. 当时，圆C与圆关于直线l对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】将直线方程变形为即可判断直线过定点，进而判断A；再根据定点在圆内判断B；根据直线与圆相交时，最大弦为直径判断C；根据点关于直线的对称性求解关于对称的点坐标，进而求解对称圆的方程判断D.
【详解】解：对于A选项，因为直线可变形为，所以直线恒过定点，故A选项正确；
对于B选项，因为，所以点在圆内，故直线与圆相交，由两个公共点，故B选项正确；
对于C选项，对于圆，圆心为，半径为，当直线线与圆相交，故相交弦长的最大值为圆的直径，即为，故C选项错误；
对于D选项，当时，直线，故圆圆心关于对称的点的坐标为，所以圆关于对称的圆的方程为，故D选项正确.
故选：ABD
12. 已知曲线分别为曲线的左右焦点，则下列说法正确的是（）
A. 若，则曲线的两条渐近线所成的锐角为
B. 若曲线的离心率，则
C. 若，则曲线上不存在点，使得
D. 若为上一个动点，则面积的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的性质，依次分析各选项即可得答案.
【详解】对于A选项，当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为，故渐近线的倾斜角分别为，所以曲线的两条渐近线所成的锐角为，故A选项正确；
对于B选项，离心率，则曲线为焦点在轴上的双曲线，，故，所以，所以，故B选项正确；
对于C选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，设椭圆的短轴的一个顶点坐标为，则，故为钝角，所以线上存在点，使得，故C选项错误；
对于D选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，为上一个动点，则面积的最大值为，故D选项正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查椭圆与双曲线的性质，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于掌握双曲线与椭圆方程的性质，并结合椭圆焦点三角形的相关知识求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知空间向量，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】由空间向量的减法法则求得向量的坐标，然后由模的定义计算．
【详解】因为，所以.
故答案为：．
14. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则________________
【答案】6
【解析】
【分析】
由平面法向量与平面的垂线的方向向量平行可得．
【详解】∵，∴，∴，∴．
故答案为：6．
15. 已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意由四边形的面积与的面积关系，设可得，利用单调性即可求出的最小值为.
【详解】易知圆的圆心为，半径为，如图所示：
易知，设，则
由图可得，又，
可得，因，
所以当时，的最小值为.
故答案为：
16. 若坐标原点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据双曲线的焦点和双曲线方程解得，设出点，代入曲线方程，求得横纵坐标关系，再根据题意坐标表示，，代入后利用二次函数的性质求其最小值，则可求得的取值范围.
【详解】解：由题意得：
是已知双曲线的左焦点
，即
双曲线方程为
设点，则有，解得
，，
根据二次函数的单调性分析可知函数在上单调递增
当时，取得最小值，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知直线，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用两条直线垂直的条件，结合两条直线的方程可得1×（m﹣2）+m×3＝0，由此求得m的值．
（2）利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得，由此求得得m 的值．
【详解】（1）∵直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，
由l1⊥l2 ，可得 1×（m﹣2）+m×3＝0，解得．
（2）由题意可知m不等于0,
由l1∥l2 可得，解得 m＝﹣1．
【点睛】本题主要考查两直线平行、垂直的条件，属于基础题．
18. 解答下列两个小题：
（1）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程；
（2）已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，且经过点，求双曲线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的标准方程求出其焦点坐标，确定的值，再根据双曲线的实轴长确定的值，然后求出，可写出双曲线标准方程；
（2）根据双曲线有相同的渐近线设方程，代入已知点的坐标，可求双曲线的标准方程.
【详解】（1）对椭圆，因为，所以，所以焦点为，在轴上，
设双曲线的方程为，所以，且，所以，
所以，双曲线的标准方程为；
（2）双曲线与双曲线有相同的渐近线，
所以所求双曲线方程可设为：
又双曲线经过点，代入方程，
，即,
双曲线的标准方程为即.
19. 如图，棱长为 2 的正方体中，是的中点.
（1）证明: 平面;
（2）求三棱锥体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于，连接，证明后得线面平行；
（2）由计算体积．
【小问1详解】
连接交于，连接，则为的中位线，所以，
又平面，平面，
平面；
【小问2详解】
为中点，则，又正方体中，到平面的距离为，
20. 已知点，，，动点满足.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若动点满足，求动点的轨迹方程；
（3）过点的直线交动点的轨迹于，且，求直线的方程.
【答案】20.
21.
22. 或.
【解析】
【分析】（1）设出点坐标，利用两点距离公式列式化简即可求解；
（2）设出点坐标，通过向量坐标运算表示出点的坐标，代入点的轨迹方程并化简即可求解；
（3）分直线的斜率不存在和存在两种情况，根据弦长列式分别求解直线的方程.
【小问1详解】
设点，由题意可得，
即，化简可得，
所以动点的轨迹方程为；
【小问2详解】
设，由（1）知①，
又，所以，即代入①得，
整理得动点的轨迹方程为；
【小问3详解】
设圆心到直线的距离为，则，
当斜率不存在时，直线与圆交点坐标为，
满足，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
由题意，解得，所以直线方程为，
故所求直线方程为或.
21. 如图甲所示，四边形为正方形，，为的中点.将沿直线翻折使得平面，如图乙所示.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由，即可得到平面，即可得证；
（2）取的中点为，的中点为，根据面面垂直的性质得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
证明：因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
【小问2详解】
解：取的中点为，的中点为，为等边三角形，则，又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，如图建立空间直角坐标系，
设，则，，，
则，，
设平面的法向量为，则，令，则，所以，
显然平面的法向量为，
设平面与平面所成二面角为，则，
所以，即平面与平面所成二面角的正弦值为.
22. 已知椭圆的长轴长为4，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆的右顶点为，若点在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，求的面积最大值
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用给定条件，求出长短半轴长即得椭圆的标准方程.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立求出直线过的定点，再求出面积关系，并借助函数求出最大值.
【小问1详解】
由椭圆长轴长为 4，得，由离心率为，得半焦距，则
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
依题意，，直线与的斜率同号，则直线不垂直于轴，
设直线的方程为，，
由消去y得，，，即，
则，由直线与的斜率之积为，得，
化简得，即，
于是，化简得，
解得或，即直线或，
而直线不经过点，因此直线经过定点，由，得，
此时，的面积
设，于是，
当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.
【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；