高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用当堂检测题

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc187261731" 1【知识点梳理】 PAGEREF _Tc187261731 \h 2
\l "_Tc187261732" 1.1知识点一、余弦定理 PAGEREF _Tc187261732 \h 2
\l "_Tc187261733" 1.2知识点二、利用余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc187261733 \h 2
\l "_Tc187261734" 1.3知识点三、正弦定理 PAGEREF _Tc187261734 \h 2
\l "_Tc187261735" 1.4知识点四、解三角形的概念 PAGEREF _Tc187261735 \h 2
\l "_Tc187261736" 1.5知识点五、正弦定理在解三角形中的应用 PAGEREF _Tc187261736 \h 2
\l "_Tc187261737" 1.6知识点六：利用正、余弦定理解三角形 PAGEREF _Tc187261737 \h 3
\l "_Tc187261738" 1.7知识点七：三角形的形状的判定 PAGEREF _Tc187261738 \h 3
\l "_Tc187261739" 1.8知识点八、解三角形应用题的步骤 PAGEREF _Tc187261739 \h 4
\l "_Tc187261740" 1.9知识点九、解三角形应用题的基本思路 PAGEREF _Tc187261740 \h 4
\l "_Tc187261741" 2【典型例题】 PAGEREF _Tc187261741 \h 4
\l "_Tc187261742" 2.1题型一、已知两边及一角解三角形 PAGEREF _Tc187261742 \h 4
\l "_Tc187261743" 2.2题型二、已知三边解三角形 PAGEREF _Tc187261743 \h 5
\l "_Tc187261744" 2.3题型三、利用余弦定理判断三角形的形状 PAGEREF _Tc187261744 \h 7
\l "_Tc187261745" 2.4题型四、已知两角及任意一边解三角形 PAGEREF _Tc187261745 \h 9
\l "_Tc187261746" 2.5题型五、已知两边及其中一边的对角解三角形 PAGEREF _Tc187261746 \h 10
\l "_Tc187261747" 2.6题型六、三角形形状的判断 PAGEREF _Tc187261747 \h 11
\l "_Tc187261748" 2.7题型七、实际应用问题 PAGEREF _Tc187261748 \h 14
\l "_Tc187261749" 2.8题型八、三角形多解问题 PAGEREF _Tc187261749 \h 22
\l "_Tc187261750" 2.9题型九、三角形边长、面积、周长最值与范围问题 PAGEREF _Tc187261750 \h 23
\l "_Tc187261751" 2.10题型十、三角形中的图形类问题 PAGEREF _Tc187261751 \h 30
\l "_Tc187261752" 2.11题型十一、面积与周长求值问题 PAGEREF _Tc187261752 \h 34
【知识点梳理】
知识点一、余弦定理
三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：
余弦定理的变形公式：
知识点二、利用余弦定理解三角形
利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；
②已知三角形的三条边，求其三个角．
知识点剖析：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
知识点三、正弦定理
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等
即：
知识点剖析：
（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明（为的外接圆半径）；
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一．
（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
= 1 \* GB3 ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
= 2 \* GB3 ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边．
知识点四、解三角形的概念
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素．任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角．
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．
有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角．
知识点五、正弦定理在解三角形中的应用
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
知识点六：利用正、余弦定理解三角形
已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论．
在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：
①若A为锐角时：


一解一解


两解无解
②若A为直角或钝角时：
知识点七：三角形的形状的判定
特殊三角形的判定：
（1）直角三角形
勾股定理：，
互余关系：，，；
（2）等腰三角形
，；
用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）
（1）在中，；
（2）在中，；
（3）在中，；
知识点八、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确．其解题的一般步骤是：
（1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
（3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题．
知识点九、解三角形应用题的基本思路
实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解
【典型例题】
题型一、已知两边及一角解三角形
【例1】（2024·浙江嘉兴·高一校联考期末）在中，若，，，则（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【解析】中，若，，，由余弦定理，
，则.
故选：C
【变式2-1】（2024·全国·高一假期作业）在中，内角的对边分别为.若，，且则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，且
由余弦定理知，
，
解得，
故选：
【变式1-2】（2024·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）在中，，，，则最长边（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【解析】在中，，，，
由余弦定理得，，
化简得，解得或，
因为是最长的边，所以，
故选：B
【变式1-3】（2024·宁夏固原·高一校考期末）在中， ，则（ ）
A．9B．C．D．3
【答案】D
【解析】由题意知中，，
故
，
故，
故选：D
【方法技巧与总结】
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．
题型二、已知三边解三角形
【例2】（2024·天津宝坻·高一校考期末）在中，，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在中，因为，，，
由余弦定理得，
因为，所以，
则.
故选：B.
【变式2-1】（2024·四川资阳·高一四川省安岳中学校考阶段练习）设是钝角三角形的三边长，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由于是钝角三角形的三边长，
所以，且，所以.
设最长边对的角为，
则，
解得.
故选：B
【变式2-2】（2024·江西宜春·高一统考期末）在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，且，
所以，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故选：A
【变式2-3】（2024·全国·高一随堂练习）已知的内角的对边分别是，面积为S，且，则角的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
则，所以，
又，则.
故选：A
【方法技巧与总结】
已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角．
题型三、利用余弦定理判断三角形的形状
【例3】（2024·广西钦州·高一浦北中学校考阶段练习）在中，角对边为，且，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因为，
所以，即，
所以，
在中，由余弦定理：，
代入得，，即，
所以.
所以直角三角形.
故选：B
【变式3-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第三十二中学校校考期末）在中，若，，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】D
【解析】由余弦定理知，
因为，，
所以，
所以，所以，
因此，所以，
即是等边三角形，
故选：D.
【变式3-2】（2024·江苏常州·高一校联考期末）在中，，，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
【答案】C
【解析】在中,由余弦定理以及，，可知:,故为钝角，因此是钝角三角形
故选：C
【变式3-3】（2024·四川·高一四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）在中，已知，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由题意,,
则,
又，则,
由可得，即，
所以，由，知，
综上可知即的形状是等边三角形.
故选：B
【方法技巧与总结】
（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．
（2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①为直角三角形或或．
②为锐角三角形，且，且．
③为钝角三角形或或．
④若，则或．
题型四、已知两角及任意一边解三角形
【例4】（2024·四川雅安·高一统考期末）的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则该三角形最小角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由正弦定理可知
设，已知角A最小，
由余弦定理可得：.
故选：B
【变式4-1】（2024·山东临沂·高一统考期末）在中，，，分别为内角，，的对边，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由正弦定理可得，则，，又，则.
故选：C.
【变式4-2】（2024·河南郑州·高二阶段练习）在中，若，则等于（ ）
A．1B．C．4D．
【答案】C
【解析】由正弦定理得：.
故选：C
【变式4-3】（2024·全国·高一假期作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．8B．5C．4D．3
【答案】B
【解析】在中，，
因为，所以，
则由正弦定理得.
故选：B．
【方法技巧与总结】
（1）正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．
（2）因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．
题型五、已知两边及其中一边的对角解三角形
【例5】（2024·全国·高一假期作业）在中，若，则的面积为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，即，
整理得，解得或（舍去），
所以的面积为.
故选：D.
【变式5-1】（2024·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）中，，，，则角C的大小为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【解析】由正弦定理可知，
因为，所以，
故.
故选：A
【变式5-2】（2024·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考期末）在中，角的对边分别为的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
，，
，
即，解得，
，，，
.
故选：C
【变式5-3】（2024·河北邯郸·高一统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由正弦定理知：得.
故选：B
【方法技巧与总结】
这一类型题目的解题步骤为
①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；
②用三角形内角和定理求出第三个角；
③根据正弦定理求出第三条边．
其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值．
题型六、三角形形状的判断
【例6】（2024·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知在中，，且，则该的形状为（ ）[附：]
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】D
【解析】由得：，
，即，，
又，；
由得：，
即，
，，
，，，，即，
为等边三角形.
故选：D.
【变式6-1】（2024·全国·高一专题练习）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（ ）
A．等腰直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形
【答案】A
【解析】由，得，
所以由余弦定理得，
因为，
所以，
因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
所以,
所以为等腰直角三角形，
故选：A
【变式6-2】（2024·福建泉州·高一校联考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（ ）
A．等腰非等边三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
【答案】B
【解析】由，可得，所以，
所以.
在中，，故，
因为，所以，因为，所以，
故为直角三角形.
故选：B
【变式6-3】（2024·上海徐汇·高一位育中学校考期末）在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．不确定
【答案】C
【解析】在中，原等式化为：，由正弦定理得，，
即，由余弦定理得：，整理得，
则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，
所以的形状是等腰三角形或直角三角形.
故选：C
【方法技巧与总结】
判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：
（1）化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：
①（为外接圆的半径）；
②；
（2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：
①（为外接圆的半径）；
②．
题型七、实际应用问题
【例7】（2024·江苏无锡·高一江苏省南菁高级中学校考阶段练习）如图，位于我国南海海域的某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里（小岛的大小忽略不计，测量误差忽略不计），经过测量得到数据：．小岛C与小岛D之间的距离为 海里．

【答案】
【解析】由于四点共圆，
所以，
由正弦定理可知，
在中，，
解之得，
显然不合题意.
故答案为：.
【变式7-1】（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）如图，设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为 100米，50米.现欲在M、N之间架设高压电网，须计算 M，N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点 ，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为，，并从P点观测到M，N点的视角（即角 ）为，则 M，N之间的距离为 米.

【答案】
【解析】由题意得，，，
，
在中，，在中，，
在中，由余弦定理得
，
故.
故答案为：
【变式7-2】（2024·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考期末）萧县的萧窑､淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.2015年，安徽省启动对萧县欧盘村窑址的考古发掘，大量瓷器的出土和窑炉遗迹的揭露，将萧窑的历史提溯至隋代.为进一步摸清萧窑窑址的分布状况､时空框架以及文化内涵等，经国家文物局批准，2021年3月，正式对萧县白土寨窑址进行主动性考古发掘.如图，为该地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：，，则两点间距离为 cm.（参考数据：取）
【答案】14
【解析】如图，延长交于点，因为，所以，
故，
由题意得，
故，
故两点之间的距离为.
故答案为：14
【变式7-3】（2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为

【答案】
【解析】根据题意可知，.
在中，由正弦定理得,即.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形．
【例8】（2024·浙江嘉兴·高一校联考期末）彬塔，又称开元寺塔､彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高 .
【答案】
【解析】因为，，所以，
在中，由正弦定理可得，可得，
在直角三角形中，，
所以.
故答案为：.
【变式8-1】（2024·四川宜宾·高一校考期末）如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到B，在B处测得山顶P的仰角为，则山高 .

【答案】
【解析】由题意知，，，，，
在中，，，，，
.
故答案为：
【变式8-2】（2024·河南郑州·高一校考期末）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角以及，从点C测得，已知山高m，则山高 .

【答案】150m
【解析】由题意，m，，
由正弦定理得m，
所以m.
故答案为：150m.
【变式8-3】（2024·福建漳州·高一校联考期末）如图，为了测量某建筑物的高度，选取与建筑物底部在同一水平面内的两个测量基点，在两处测得建筑物顶部的仰角均为，又测得.若两点相距，则建筑物的高度为 .

【答案】
【解析】由题意知：，又，，
≌，，又，
为等边三角形，，
，即建筑物的高度为.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．
【例9】（2024·安徽·高一校联考阶段练习）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则 ．
【答案】/
【解析】如图，在中，，
则，
因为，所以，
在中，，
则，所以，
则.
故答案为：.
【变式9-1】（2024·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角的大小．
【答案】
【解析】如图，过点A作于点，
由题可知，，，，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由余弦定理得：
，
因为，
所以．
【变式9-2】（2024·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝ ，塔高为 米．
【答案】 / 15
【解析】解析由题意，得
又
在中，由余弦定理的推论得，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：；15.
【变式9-3】（2024·高一课时练习）在地面上某处测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为，再向塔走m，测得塔顶的仰角为，则角θ的度数为 ．
【答案】/
【解析】如图，
∵，，
∴，∴．
∵，，
∴，∴．
在中，由，
得，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：.
题型八、三角形多解问题
【例10】（2024·北京延庆·高一统考期末）在中，，只需添加一个条件，即可使存在且唯一．在条件：①；②；③；④中，所有可以选择的条件的序号为 ．
【答案】②③
【解析】若选①，根据三角形内角性质知，
结合及三角形内角和，此时不存在，不符合；
若选②，由，故存在且唯一，符合；
若选③，结合，由余弦定理可求出且唯一，故存在且唯一，符合；
若选④，根据三角形内角性质知可能为钝角或锐角，
当为锐角时，，满足构成三角形；
当为钝角时，根据其正弦值易知，也满足构成三角形；
所以，存在，但不唯一，不符合.
故答案为：②③
【变式10-1】（2024·广东佛山·高一统考期末）在中，角的对边分别为，已知，，，则使该三角形有唯一解的的值可以是 ．（仅需填写一个符合要求的数值）
【答案】8（答案不唯一，满足或即可）
【解析】在中，，，，
由正弦定理得：，则，
当时，，三角形无解；
当时，，，三角形有唯一解；
当时，即，则，由，得，或，所以三角形有两解，
当时，即，则，由，得，，
因为在上单调递增，所以三角形有唯一解；
故答案为：8（答案不唯一，满足或即可）.
【变式10-2】在中，，，，若有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解法1】有两解，，，即，故选C．
【解法2】，．
有两解，，，即，故选B．
你认为 是正确的．（填“解法1”或“解法2”）
【答案】解法1
【解析】根据题意画出图形，三角形有两解即满足，解法1是正确的；
解法2中因为，要是三角形有两解，则应该，即，所以错误.
【变式10-3】（2024·高一课时练习）张老师在整理试题时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，分别是角的对边，已知，，求边．显然缺少条件，张老师打算补充条件，给出的大小，使得有两解，则可以给出的的范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可知三角形有两个解
由上图可知：
若有两解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有两个交点
则，即,
故答案为：
题型九、三角形边长、面积、周长最值与范围问题
【例11】（多选题）（2024·全国·高一假期作业）设的内角的对边分别为，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则满足条件的三角形只有1个
B．面积的最大值为
C．周长的最大值为
D．若为锐角三角形，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，，
所以满足条件的三角形有2个，故A错误；
对于B，由余弦定理得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以面积的最大值为，故B正确；
对于C，由余弦定理得，
即，所以，
当且仅当时取等号，
所以的周长，
所以周长的最大值为，故C正确；
对于D，由正弦定理得，
因为为锐角三角形，所以，，
即，，所以，故D正确．
故选：BCD.
【变式11-1】（多选题）（2024·江苏徐州·高一统考期末）已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则有两解
B．周长的最大值为12
C．的取值范围为
D．的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A，由正弦定理得，又，
所以，角为唯一锐角，有一解，故A错误；
对于B，由余弦定理得：，
则，所以，
所以周长为，所以周长的最大值为12，故B正确；
对于C，，
因为，则的取值范围为，
所以的取值范围为，故C正确；
对于D，由正弦定理得，则，则，
，
因为，
所以
.
因为，所以，则，
所以当，即时，取得最大值为，故D正确；
故选：BCD
【变式11-2】（2024·全国·高一假期作业）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求边长和角A；
(2)求的周长的取值范围.
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
，
，
，
可得，
因为，所以，
由得，
得，
故或，故或0 (舍去).
（2）因为，
由余弦定理得，即，
所以，
又，即，
解得，
根据三角形三边关系得到，
故，
的周长的取值范围是.
【变式11-3】（2024·江苏苏州·高一校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，若的角平分线交于点D．

(1)若，求的长度；
(2)若为锐角三角形，且的角平分线交于点E，且与交于点O，求周长的取值范围．
【解析】（1）因为为的角平分线，，
所以，
因为
所以，
所以.
（2）在中，由正弦定理得，，
所以，
又，则，
又，所以，又，则.
在，由正弦定理得，，
所以
，
因为是锐角三角形，所以，于是，
则，所以，
所以，从而，
所以三角形周长的取值范围为.
【变式11-4】（2024·全国·高一假期作业）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．
(1)求角C；
(2)若，求的取值范围．
【解析】（1）若选①：，
则，
∴
∴
∵，，
∴，∵，∴.
若选②：，
由正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴．
若选③：，
则，
由正弦定理得，
∴∴，
∴，
∵，∴．
（2）由正弦定理得，
故，
则，
，
由于，，，
∴.
【变式11-5】（2024·江苏南京·高一南京市江宁高级中学校联考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【解析】（1）由正弦定理可得：，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
因为，
所以，即；
（2）法一：由及（1）知的面积.
由正弦定理得.
由于为锐角三角形，故，.
由（1）知，
所以，
因为在上单调递增，
故，故，
故，
从而.
因此面积的取值范围是；
法二：因为，，
由余弦定理得，即，故，
为锐角三角形，则，即，
由①得，解得，
由②得，解得或（舍去），
综上，
所以.
题型十、三角形中的图形类问题
【例12】（2024·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）如图，的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角B的大小；
(2)若，.
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
【解析】（1）
，
所以，，可得，
又因为，故.
（2）（i）因为，解得，
由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得，所以，；
（ii）因为，即，
因此，.
【变式12-1】（2024·海南省直辖县级单位·高一校考期末）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.

(1)求的度数；
(2)求的面积.
【解析】（1）由已知得，
，，
所以 是等腰三角形，，
所以，
所以.
（2）由（1）知中，，，
又，
所以.
【变式12-2】（2024·福建福州·高一校联考期末）如图所示，在中，已知点在边上，且，，.

(1)若，求线段的长；
(2)若点是的中点，，求线段的长.
【解析】（1）由条件可得.
在中，由正弦定理得，
（2）方法一：
由（1）知，因为为钝角，所以.
因为，所以
，
所以，整理得，
解得或（负值舍去），所以线段AC的长为9.
方法二：
由（1）知，因为为钝角，所以.
由点是的中点，设
在中，由余弦定理得， ①
在和中，因为
所以，
所以，整理得②
将②代入①，得
解得或（负值舍去），所以线段AC的长为9.
方法三：
由（1）知，因为为钝角，所以
如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABFC，
因为，所以，
因为，
在中，
即，整理得
解得或（负值舍去），所以线段AC的长为9
【变式12-3】（2024·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期末）如图，在中，，，为内一点，．
(1)若，求；
(2)若，求的面积．
【解析】（1）在中，，，
，可得，．
，
在中，由余弦定理得，
即，
；
（2）设，可得，，
在中，，
中，由正弦定理得，即，
，化简得，
，因此，，，
所以的面积.
题型十一、面积与周长求值问题
【例13】（2024·全国·高一假期作业）在中，内角所对的边分别为，则的面积为 .
【答案】
【解析】因为，由余弦定理得，
因为，所以，得，
故.
故答案为：
【变式13-1】（2024·全国·高一假期作业）在中，内角、、的对边分别为、、，的面积为，，，则 .
【答案】或
【解析】由三角形的面积公式可得，则，
因为，则或.
当时，由余弦定理可得；
当时，由余弦定理可得.
综上所述，或.
故答案为：或.
【变式13-2】（2024·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）已知的内角的对边分别为，，，若，，的面积为，则的周长为 ．
【答案】/
【解析】由题意，，的面积为，
可得，
又，即，
故的周长为，
故答案为：
【变式13-3】（2024·高一单元测试）在中,内角的对边分别为若的周长为7,面积为 且则c = .
【答案】3
【解析】由的周长为7，即，则
由，可得
由余弦定理可得：
由，则,
又，可得
又，解得
故答案为：3
【变式13-4】（2024·辽宁大连·高一校联考期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
(1)求；
(2)若的面积为，求边上的中线的长.
【解析】（1）因为，
所以，
所以，
即，
所以，
由余弦定理及得：
，
又，
所以，
即，
所以，
所以；
（2）由，
所以，
由（1），
所以，
因为为边上的中线，
所以，
所以
，
所以，
所以边上的中线的长为.
【变式13-5】（2024·全国·高一假期作业）在中，.
(1)求；
(2)再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求边上中线的长．
条件①：的周长为；条件②：的面积为 .
（若选择多个做答，按第一作答给分）
【解析】（1）∵，∴由正弦定理可得，
∴，∵，∴，
∴，解得.
（2）若选择①：
由（1）可得.
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长为
.
若选择②：
由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得BC边上的中线的长为
.
【变式13-6】（2024·江西萍乡·高一统考期末）从①，②两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．
问题：在中，角A，，所对的边分别为，，，且_________．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）若选①：设的外接圆半径为，
由正弦定理得，
∵，
∴，即，
又，∴；
若选②：由得，
由余弦定理得，
又，∴；
（2）∵，
∴，
∵，
又∵，，
∴，∴，
∴的周长为．
题型十二、利用向量证明平面几何问题
【例14】（2024·四川凉山·高一阶段练习）用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？

【解析】因为四边形为平行四边形，所以，
设，
因为是的中点，所以，
故，
又因为三点共线，
可设，即，
即，
故，相加可得，解得，
故，
同理可证，
故可知为的三等分点，
故.
【变式14-1】（2024·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．
【解析】由题意得，，
故，
因为，所以，
故.
【变式14-2】（2024·海南省直辖县级单位·高一校考期末）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.

(1)设，，用，表示，；
(2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.
【解析】（1），
；
（2），证明如下：
由（1）知，，
所以，
设，则，
所以，所以，得证.
【变式14-3】（2024·山东济南·高一山东师范大学附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心．
(1)求重心E的坐标；
(2)用向量法证明：．
【解析】（1）如图，
∵，，，
∴，则由重心坐标公式，得；
（2）．
易知的外心F在y轴上，可设为．
由，得，
∴，即．
∴．
∴，
∴，即．
【方法技巧与总结】
用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤
（1）利用线性运算证明的四个步骤
①选取基底．②用基底表示相关向量．③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系．④把几何问题向量化．
（2）利用坐标运算证明的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系．②把相关向量坐标化．③用向量的坐标运算找出相应关系．④把几何问题向量化．
题型十三、利用向量解决平面几何求值问题
【例15】（2024·湖北荆州·高一沙市中学校考期末）已知中，,，是线段上一点，且，是线段上的一个动点.
(1)若，求（用的式子表示）；
(2)求的取值范围.
【解析】（1）由得，解得，
又已知，
∴，故；
（2）以C为原点，CB为轴，CA为轴建立平面直角坐标系，
则，
设，，可得，
由三点共线，可得，即，
代入整理得
，，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，
又当时，，当时，，
故的取值范围为
【变式15-1】（2024·福建厦门·高一统考期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量．
(1)判断四边形的形状，并给出证明；
(2)若，，与的夹角为，为中点，求．
【解析】（1）因为，，
所以，
又因为，所以，
又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形．
（2）因为，
所以，
因为为中点，所以，
所以，所以，
所以，
因为，所以．
【变式15-2】（2024·陕西西安·高一统考期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.

(1)请用、表示向量；
(2)设和的夹角为，若，且，求证：.
【解析】（1）.
（2），
，.
【变式15-3】（2024·重庆·高一校联考期末）已知，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作，，以O为原点，分别以射线、为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图.我们把这个由基底，确定的坐标系称为基底坐标系.当向量，不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为.对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点Р在斜坐标系中的坐标.

今有斜坐标系（长度单位为米，如右图），且，，设
(1)计算的大小；
(2)质点甲在上距O点4米的点A处，质点乙在Oy上距O点1米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动.
①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用，，表示；
②若时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离.
【解析】（1）因为，，所以，
又，所以，
所以，
即的大小为.
（2）①如图所示：
依题意，过2小时后质点甲到达C点（在点左边），且有，
质点乙到达D点，且有，故.
②时刻时，质点甲到达M点，质点乙到达N点，
如图所示：
，，则，
所以两质点间的距离
，
因为，所以当时，取得最小值为，
所以小时后，两质点相距最短，最短距离为米.
【方法技巧与总结】
（1）用向量法求长度的策略
①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解．
②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则．
（2）用向量法解决平面几何问题的两种思想
①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解．
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化
为代数运算．
题型十四、向量在物理中的应用
【例16】（2024·全国·高一随堂练习）马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（ ）（参考数据：取重力加速度大小为，）
A．9.2B．7.5C．8.7D．6.5
【答案】C
【解析】设两只胳膊的拉力分别为，，，，
，
，解得．
小猴子的体重约为．
故选：C．
【变式16-1】（2024·高一单元测试）若向量分别表示两个力，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】由题意，向量分别表示两个力，
可得，
所以.
故选：C.
【变式16-2】（2024·全国·高一专题练习）如果表示“向南走”， 表示“向北走”， 表示“向东走”， 表示“向西走”，那么下列向量中表示“向北走”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，向量表示向北走，所以A 不符合题意；
向量表示向东走，所以B不符合题意；
向量表示向北走，所以C符合题意；
向量表示向南走，所以D不符合题意；
故选：C．
【变式16-3】（2024·山西·高一校联考阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为s，位移为，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，，
所以.
故选：A
【方法技巧与总结】
用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题．
（2）模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型．
（3）参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值．
（4）问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．