人教A版（2019） 高中数学必修二第六章平面向量及其应用章末经典习题【84题】专题训练（原卷版+解析版）

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第六章 平面向量及其应用 章末经典习题（84题）目录 TOC \o "1-3" \h \z \u  HYPERLINK \l "_Toc187268133" 1 经典题型一：向量的线性运算  PAGEREF _Toc187268133 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc187268134" 2 经典题型二：向量的数量积运算、夹角、模长  PAGEREF _Toc187268134 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc187268135" 3 经典题型三：向量范围与最值问题  PAGEREF _Toc187268135 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc187268136" 4 经典题型四：余弦定理、正弦定理  PAGEREF _Toc187268136 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc187268137" 5 经典题型五：平面向量的实际应用  PAGEREF _Toc187268137 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc187268138" 6 经典题型六：解三角形范围与最值问题  PAGEREF _Toc187268138 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc187268139" 7 经典题型七：图形类问题  PAGEREF _Toc187268139 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc187268140" 8 经典题型八：三角形形状判断与多解问题  PAGEREF _Toc187268140 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc187268141" 9 经典题型九：解三角形的实际应用  PAGEREF _Toc187268141 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc187268142" 10 经典题型九、分类讨论思想  PAGEREF _Toc187268142 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc187268143" 11 经典题型十、转化与化归思想  PAGEREF _Toc187268143 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc187268144" 12 经典题型十一、数形结合思想  PAGEREF _Toc187268144 \h 20经典题型一：向量的线性运算例1．（2024·全国·高一专题练习）在中，点是上一点，且，是中点，与交点为，又，则（    ）  A． B． C． D．例2．（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）在中，设，，，则（    ）A． B． C． D．例3．（2024·高一单元测试）在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（    ）A． B． C． D．例4．（2024·山东潍坊·高一统考期末）在中，，则P点（    ）A．在线段BC上，且 B．在线段CB的延长线上，且C．在线段BC的延长线上，且 D．在线段BC上，且例5．（2024·河北唐山·高一校联考期末）在△ABC中，点P在边BC上，且，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若，，则下列关系式成立的是（      ）A． B． C． D．例6．（2024·河南·高一校联考阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，则（    ）A． B． C． D．例7．（2024·云南保山·高一统考期末）已知在平行四边形中，点，分别在边，上，连接交于点，且满足，，，则（    ）A．-3 B．1 C． D．经典题型二：向量的数量积运算、夹角、模长例8．（多选题）（2024·四川自贡·高一统考期末）已知，下述结论正确的是（    ）A． B．C． D．例9．（多选题）（2024·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）若向量，满足，，则（    ）A．B．与的夹角为C．D．在上的投影向量为例10．（2024·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）单位向量，满足.(1)求与夹角的余弦值：(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.例11．（2024·高一单元测试）设向量，满足，且.(1)求与的夹角；(2)求的大小.例12．（2024·全国·高一假期作业）在中，已知，，，、边上的两条中线、相交于点.  (1)求、的长；(2)求的余弦值.例13．（2024·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期末）如图，在中，是的中点，点在上，且与交于点，设.    (1)求的值；(2)当时，求的值.例14．（2024·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期末）已知向量与的夹角为，且，．向量与共线，(1)求实数的值；(2)求向量与的夹角．经典题型三：向量范围与最值问题例15．（2024·全国·高一专题练习）已知，，则的范围是 .例16．（2024·广东佛山·高一顺德一中校考期末）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，P是以A为圆心2为半径的圆弧BD上的点，则的范围为 例17．（2024·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）已知向量满足，则的最大值是 ，最大值是 ．例18．（2024·辽宁大连·高一统考期末）平面向量两两不共线，满足，且．若，则的最大值为 ．例19．（2024·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是 ．例20．（2024·安徽滁州·高一校联考阶段练习）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为 .  例21．（2024·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）已知向量，满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为 .例22．（2024·全国·高一假期作业）在边长为的正方形中，是中点，则 ；若点在线段上运动，则的最小值是 .例23．（2024·北京顺义·高一牛栏山一中校考期末）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为 .经典题型四：余弦定理、正弦定理例24．（2024·上海·高一假期作业）若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足，且，则的值为 .例25．（2024·上海·高一假期作业）在中，角，，所对的边分别是，，，且，则 例26．（2024·内蒙古赤峰·高一统考期末）在内，角，，所对的边分别为，，，且．(1)求角的值；(2)若的面积为，，求的周长．例27．（2024·江苏徐州·高一统考期末）在①，②，③的面积这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.在中，角、、的对边分别为、、，已知______.(1)求角；(2)若点在边上，且，，求.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分例28．（2024·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考阶段练习）某市准备规划一条平面示意图如图所示的五边形赛道，为赛道（不考虑宽度），为赛道内的一条服务通道，．(1)求服务通道的长度；(2)若，求赛道的长度．例29．（2024·全国·高一专题练习）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围.经典题型五：平面向量的实际应用例30．（2024·全国·高一专题练习）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（　　）A．的最小值为B．的范围为C．当时， D．当时，例31．（2024·高一单元测试）如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（    ）A．， B．，C．， D．，例32．（2024·北京通州·高一统考期末）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ）A．， B．，C．， D．，例33．（2024·全国·高一专题练习）空间四边形ABCD中，E，F，G，H，I，J分别是AB，DC，BC，AD，AC，BD的中点，求证：HG，EF，IJ相交于一点O，且点O是它们的公共中点．例34．（2024·全国·高一随堂练习）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.  例35．（2024·辽宁抚顺·高一校联考期末）如图，AB为半圆O的直径，，C，D为（不含端点）上两个不同的动点.  (1)若C是上更靠近点B的三等分点，D是上更靠近点A的三等分点，用向量方法证明：且.(2)若与共线，求面积的最大值.例36．（2024·高一单元测试）根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点；(2)机器人在完成（1）中指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（取）.经典题型六：解三角形范围与最值问题例37．（多选题）（2024·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）已知锐角三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c =2．则下列结论正确的是（    ）A．的面积最大值为2 B．的取值范围为C． D．的取值范围为例38．（多选题）（2024·云南昆明·高一校考期末）下列选项正确的是（        ）A．在中，，，，该三角形有唯一解B．若，，则可以是C．中，若，且，则面积的最大值为D．若是锐角三角形，，，则边长的取值范围是例39．（多选题）（2024·山东菏泽·高一统考期末）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若D是外一点，DC＝1，AD＝2，则下列说法中正确（    ）A． B．C．四边形ABCD面积有最小值 D．四边形ABCD面积有最大值例40．（2024·上海·高一开学考试）已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是 ．例41．（2024·江苏南京·高一南京外国语学校校考专题练习）已知在中，，．(1)的取值范围是______；(2)求的取值范围．例42．（2024·全国·高一随堂练习）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中分别在上．设．  (1)若，求的边长；(2)求的边长最小值．例43．（2024·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．(1)求角C；(2)若，求的取值范围．例44．（2024·江苏连云港·高一校考阶段练习）的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在上，(1)若，，求c；(2)若是的角平分线，，求周长的最小值．例45．（2024·江苏连云港·高一统考期末）已知中，点是线段上一点，，且①，②，③，④.(1)求的长；(2)为边上的一点，若为锐角三角形，求的周长取值范围.上面问题的条件，现请你在①，②，③，④中删除一个，并将剩下三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是_______，请你写出剩余条件解答本题的过程.例46．（2024·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）锐角中，内角的边分别对应，已知.(1)求；(2)若，求的取值范围.经典题型七：图形类问题例47．（2024·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期末）如图，在中，，，为内一点，．(1)若，求；(2)若，求的面积．例48．（2024·山东临沂·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，，，，．  (1)求的值；(2)求的长．例49．（2024·江苏宿迁·高一统考期末）在圆的内接四边形中，，，，示意如图．  (1)若是圆的直径，求的长；(2)若圆的直径为，求四边形的面积．例50．（2024·江苏南京·高一江苏省溧水高级中学校联考期末）为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角，，，．  (1)求的值；(2)若测得，求待测径长．例51．（2024·浙江·高一台州中学校联考期末）在平面四边形中，．(1)若在锐角中，，求周长的取值范围；(2)若，求的长．经典题型八：三角形形状判断与多解问题例52．（2024·全国·高一假期作业）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（    ）A．钝角三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形例53．（2024·甘肃天水·高一天水市第一中学校考阶段练习）在中，若，则的形状是（    ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定例54．（2024·福建莆田·高一莆田一中校考期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，例55．（2024·全国·高一假期作业）在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．例56．（2024·江苏南通·高一统考期末）的内角，，的对边分别为，，，若，，则结合的值，下列解三角形有两解的为（    ）A． B． C． D．例57．（2024·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）符合下列条件的三角形有且只有一个的是（　　）A．，， B．，，C．，， D．，例58．（2024·浙江台州·高一温岭中学校考期末）在中角所对的边分别为，若，，，则（     ）A．当时， B．当时，有两个解C．当时，只有一个解 D．对一切，都有解例59．（2024·江苏苏州·高一南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 若满足的三角形有两个，则边长a的取值范围是 .经典题型九：解三角形的实际应用例60．（2024·全国·高一随堂练习）如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、.景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上.已知.  (1)景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路.求线段的长度（长度单位精确到0.1km）；(2)求线段的长度（长度单位精确到0.1km）（）.例61．（2024·全国·高一随堂练习）如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距的处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.     (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．例62．（2024·全国·高一课堂例题）一颗人造地球卫星在地球上空1600km处沿着圆形的轨道运行，每2h沿轨道绕地球旋转一圈．假设卫星于中午12点正通过卫星跟踪站A点的正上空，地球半径约为6400km．  (1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03时相隔的距离是多少．(2)如果此时跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？（参考数据：，）例63．（2024·广西南宁·高一南宁三中校考阶段练习）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B，C，D三地位于同一水平面上，这种仪器在B地进行弹射实验，两地相距，，在C地听到弹射声音的时间比D地晚秒，在C地测得该仪器至最高点A处的仰角为．（已知声音的传播速度为），求：  (1)B，C两地间的距离；(2)这种仪器的垂直弹射高度AB．例64．（2024·重庆万州·高一校考阶段练习）要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10000米，速度为900km/h，航测员先测得对山顶的俯角为，经过飞过M点后又测得对山顶的俯角为，  (1)求BM的长度；（结果带根号）(2)求山顶的海拔高度．（精确到m）（可能要用到的数据：）例65．（2024·广东东莞·高一东莞实验中学校考期末）“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”.春天来了，在研学的基地里，小明观察一棵桃树.如图所示，他在点处发现桃树顶端点的仰角大小为，往正前方走后，在点处发现桃树顶端点的仰角大小为.  (1)求的长；(2)若小明身高为，求这棵桃树顶端点离地面的高度（精确到，其中）.例66．（2024·广东江门·高一校考期末）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，，BC的距离比AC短40米．A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°．(1)求A、C两地的距离；(2)求该仪器的垂直弹射高度CH．例67．（2024·全国·高一假期作业）某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，如图所示．在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点米的点处建一凉亭，距离点米的点处再建一凉亭，测得，．  (1)求的值；(2)测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？例68．（2024·河南周口·高一周口恒大中学校考期末）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇.经典题型九、分类讨论思想例69．已知正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，若点在正方形的边上，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．例70．（2024·安徽亳州·高三淮南第一中学校联考阶段练习）已知向量，，则的最大值为（ ）A． B．2 C． D．1例71．（2024·山西临汾·高一统考阶段练习）已知O，A，B，C在同一平面内，，与的夹角为，与的夹角为，则（    ）A．或 B．或C． D．例72．（2024·重庆·高三西南大学附中校考阶段练习）已知四边形中，，，，点在四边形上运动，则的最小值是（    ）A． B． C． D．例73．（2024·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）在直角梯形中，，，，，，为线段（含端点）上的一个动点.设，，对于函数，下列描述正确的是（    ）A．的最大值和无关 B．的最小值和无关C．的值域和无关 D．在其定义域上的单调性和无关经典题型十、转化与化归思想例74．（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（    ）  A．3 B．4 C．5 D．6例75．（2024·江苏泰州·高三统考期中）如图，在平面图形ABCD中，，.若，，则（    ）  A． B．3 C．9 D．13例76．（2024·河南濮阳·高一统考期末）点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（    ）A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心例77．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知单位向量满足，其中，则在上的投影向量是（    ）A． B． C． D．例78．（2024·海南海口·高三统考期中）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中有一题是测量海岛上松树的高.如图，点E，H，G在水平线CI上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，DE与BH交于点J，则松树的高度（    ） B． C． D．经典题型十一、数形结合思想例79．（2024·浙江台州·高一统考期末）如图，在中，D是BC的中点，E是AC上的点，，，，，则（    ）  A． B． C． D．例80．（2024·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在处发现在北偏东方向，相距的水面上的处，有蓝方一艘小艇正以每小时的速度沿南偏东方向前进，红方侦察艇立即以每小时的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇，则红方侦察艇拦截住蓝方小艇最少需要 小时．例81．（2024·北京·高三北京四中校考期中）如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为 km.例82．（2024·江西南昌·高三江西师大附中校考期中）圆的直径，弦，点在弦上，则的最小值是 ．例83．（2024·广东佛山·高二校考阶段练习）已知力，，满足，且，则 .例84．（2024·江苏南京·高一校考期中）如图在直角梯形中，已知，，，，，则 .