必修 第二册6.2 平面向量的运算课后练习题

这是一份必修 第二册6.2 平面向量的运算课后练习题，文件包含人教A版高中数学必修第二册导学案623向量的数乘运算解析版doc、人教A版高中数学必修第二册导学案623向量的数乘运算原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
新课导学
（一）新知导入
【问题1】可以,即=.
【问题2】与的方向相同,与的方向相反.
【问题3】的长度是的长度的3倍,即若||=λ,则||=3λ.
【问题4】成立,向量同样满足分配律、结合律.
（二）向量的数乘运算
1.向量的数乘运算
1．定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.
2．规定：①|λa|＝|λ||a|，
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0，∴|a|＝4|b|.∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同．
答案：C
【做一做2】答案：D
2.向量共线定理
【探究1】 正确．
【探究2】不一定．当b＝0，a＝0时，λ有无数个值；当b＝0，a≠0时，λ无解；只有当b≠0时，才有a＝λb.
【探究3】一定存在,且是唯一的.
向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
【辩一辩】答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×

（三）典型例题
【例1】 【解】(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)eq \f(1,2)[(3a＋2b)－eq \f(2,3)a－b]－eq \f(7,6)[eq \f(1,2)a＋eq \f(3,7)(b＋eq \f(7,6)a)]＝eq \f(1,2)(3a－eq \f(2,3)a＋2b－b)－eq \f(7,6)(eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)a＋eq \f(3,7)b)
＝eq \f(1,2)(eq \f(7,3)a＋b)－eq \f(7,6)(a＋eq \f(3,7)b)＝eq \f(7,6)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(7,6)a－eq \f(1,2)b＝0.
(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)
＝6a＋2b.
【巩固练习1】【解】（1）
=.
（2）
=
【例2】(1)证明：因为eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq \(AB,\s\up6(→)).
所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．
（2）解：因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1与e2不共线，只能有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))所以k＝±1.
【巩固练习2】解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))
答案：－eq \f(1,3)
【例3】【解】因为eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2|eq \(CD,\s\up6(→))|，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)).
(1)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝e2＋eq \f(1,2)e1.
(2)eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)e1－e2＋eq \f(1,2)e1＝eq \f(1,4)e1－e2.
【变式探究】【解】因为eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))，eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))，
所以2eq \(MN,\s\up6(→))＝(eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→)))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋(eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→)))．
又因为M，N分别是DC，AB的中点，
所以eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0，eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝0.所以2eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))，
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,2)e2－eq \f(1,2)e1.
【巩固练习3】【解】（1）因为，所以；
（2）因为，
所以
（四）操作演练 素养提升
答案：1.B 2.C 3.D 4.－2