数学必修 第二册6.2 平面向量的运算同步达标检测题

这是一份数学必修 第二册6.2 平面向量的运算同步达标检测题，文件包含人教A版高中数学必修第二册导学案624向量的数量积解析版doc、人教A版高中数学必修第二册导学案624向量的数量积原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
地 位：
本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）
第六章 平面向量及其应用
6.2.4向量的数量积
学习目标：
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功，培养数学抽象的核心素养；
2.掌握向量数量积的定义及投影向量，提升数学抽象的核心素养；
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，培养逻辑推理的核心素养；
4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，提升数学运算的核心素养。
学习重难点：
重点：平面向量的数量积的运算
掌握平面向量数量积的性质及其运算律
难点：投影向量的概念
探究数量积的性质及其应用
自主预习：
本节所处教材的第 页.
复习——
向量的加法、减法：
向量的数乘运算：
预习——
数量积：
数量积的性质：
新课导学
学习探究
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断．于是它向砍柴人请教，砍柴人说“把刀放到石上磨一磨”．于是猴子高兴地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨．直到它发现刀口和刀背差不多厚了，便停下来…结果当然是失败的．难道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做功≠成功．
物理学当中的做功在数学中叫做什么，是如何表示的呢？
【想一想】当力与运动方向成某一角度时，力对物体所做的功等于多少呢？你是如何得到的呢？
探索交流，解决问题
【探究】在马拉爬犁的实例中，力和位移都是向量，大家能否从功的计算公式中抽象出两个非零向量数量积的定义呢？
（二）向量的数量积
1.向量的夹角
【探究】如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,其中力、位移分别是矢量还是标量?它们的夹角是什么？
向量的夹角
【做一做1】若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )
A．60° B．120° C．30° D．150°
2.向量的数量积
【探究】力F所做的功应当怎样计算?决定功大小的量有哪几个?功是矢量还是标量?
向量的数量积
特别提醒：
(1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”;
(2)数量积的结果为数量,不再是向量。
【做一做】已知向量a，b满足|a|=2,|b|=,且a与b的夹角为30°,那么a·b等于 ( )
A.1 B. C.3 D.3
3.投影向量
【探究1】如图（1），已知线段AB和直线l，过线段AB的两个端点A，B，分别作直线l的垂线，垂足分别为A1，B1，得到线段A1B1，那么线段A1B1叫做什么？
【探究2】设直线AB与直线l的夹角为，那么|A1B1|与|AB|，之间有怎样的关系？
（1）如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，
我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
（2）如图，在平面内任取一点O，作=a,=b,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则=|a|cse.
特别地，当=0时，=|a|e. 当=时，=|a|e. 当=时，=0.
【做一做】已知非零向量a与b的夹角为45°，|a|=2，与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量为c,则c= .
4.向量的数量积的性质
已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角，e为与b方向相同的单位向量.
【探究1】根据数量积公式，计算a·e，a·a.
【探究2】若a·b＝0，则a与b有什么关系？
【探究3】当θ=0°和180°时，数量积a·b分别是什么？
【探究4】两个向量的数量积什么时候为正数，什么时候为零，什么时候为负数？
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e=e·a=|a|cs.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(4)a·a＝a2=|a|2或|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a2).
(5)|a·b|≤|a||b|.
(6)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
5.数量积的运算律
【探究】根据实数乘法的运算律,类比得出向量数量积的运算律,如下表,这些结果正确吗?
向量数量积的运算律
特别提醒：
（1）数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．
（2）类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
【辩一辩】判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
【做一做1】已知非零向量a，b满足(a＋b)⊥(a－b)，则( )
A.a＝b B.|a|＝|b|
C.a⊥b D.a∥b
【做一做2】设向量a，b满足|a＋b|＝eq \r(10)，|a－b|＝eq \r(6)，则a·b＝( )
（三）典型例题
1.向量的数量积的计算
例1.在▱ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，∠DAB＝60°，求：①eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))；②eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→)).
【类题通法】向量数量积的求法
求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
【巩固练习1】已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)．
2.求投影向量
例2.已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为eq \f(2π,3)，则向量a在向量e上的投影向量是____________；向量e在向量a上的投影向量是____________．
【类题通法】向量a在向量b上的投影向量的求法
将已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cs θ e(e是与b方向相同的单位向量，且e＝eq \f(b,|b|))中计算即可．
【巩固练习2】已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则向量a在向量b上的投影向量是________．
3.利用数量积解决向量的夹角和垂直问题
例3.已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,2) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
【变式探究】本例中,若非零向量a，b的夹角为60°,且|b|=4|a|,当(a+2b)⊥(ka-b)时,求实数k的值.
【类题通法】1.求平面向量夹角的方法:
(1)利用公式cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.
(2)求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.
2.非零向量a·b＝0⇔a⊥b是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中的有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．
【巩固练习3】（1）已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；
(2)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．
4.利用数量积求向量的模
例4.已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|的值．
【类题通法】根据数量积的定义a·a＝|a||a|cs 0°＝|a|2，得|a|＝eq \r(a·a)，这是求向量的模的一种方法．即要求一个向量的模，先求这个向量与自身的数量积(一定非负)，再求它的算术平方根．对于复杂的向量也是如此．例如，求|a＋b|，可先求(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)，再取其算术平方根即为|a＋b|.
【巩固练习4】已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：
(1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|.
（四）操作演练 素养提升
1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝( )
A．12 B．12eq \r(2) C．－12eq \r(2) D．－12
2.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
3.已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为( )
A．－6 B．6 C．3 D．－3
4.已知|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________．
课堂小结
通过这节课，你学到了什么知识？


在解决问题时，用到了哪些数学思想？



学习评价
【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【导学案评价】 本节导学案难度如何（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【建议】 你对本节导学案的建议：

课后作业
完成教材：第20页 练习 第1，2，3题
第22页 练习 第1,2,3题
第23页 习题6.2 第18,19,20,21题
定义
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up12(→))＝a，eq \(OB,\s\up12(→))＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角
图示
范围
特殊
情况
a与b同向
a与b反向
a与b垂直，记作ab
定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量|a||b|cs θ叫做a与b的数量积(或内积)
记法
记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ
规定
零向量与任一向量的数量积均为0
交换律
a·b＝b·a
对数乘的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
多项式乘法
向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a