人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课后测评

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本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）
第六章 平面向量及其应用
6.3平面向量基本定理及坐标表示
学习目标：
1.理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义，培养数学抽象的核心素养；
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量，培养逻辑推理的核心素养；
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题，提升数学运算的核心素养。
学习重难点：
1.重点：了解平面向量基本定理及其意义；
2.难点：了解向量基底的含义；
在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量。
自主预习：
本节所处教材的第 页.
复习——
力的分解：
向量的加减法及数乘运算：
预习——
基底：
平面向量基本定理：
新课导学
学习探究
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符：D Re Mi Fa S La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.
在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？
2.探索交流，解决问题
【想一想1】在物理中，如图，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力也可以分解为两个不同方向的力.那么对于平面内的任意向量a和两个非零向量e1,e2，能否将向量a按e1,e2的方向分解?如果能，分解方法唯一吗？
【想一想2】表示的依据是什么？
（二）平面向量基本定理
【探究1】那么对于平面内的任意向量a和两个不共线向量e1，e2，能否将向量a按e1，e2的方向分解？如果能，分解方法唯一吗？
【探究2】当是零向量时，还能用表示吗？
【探究3】若向量与共线，那么还能用这种形式表示吗？
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a，
有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ 。
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个
对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
【辩一辩】判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
(1)只有非零向量才能用平面内的一组基底e1,e2线性表示.( )
(2)同一向量用两组不同的基底表示时,表示方法是相同的.( )
(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．( )
（三）典型例题
1.基底概念的理解
例1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2
【类题通法】对基底的理解
两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
【巩固练习1】（1）设点O是▱ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )
①eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))；②eq \(DA,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))；③eq \(CA,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))；④eq \(OD,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→)).
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
2．点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是( )
A.eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→)) B.eq \(OA,\s\up6(→))，
C.eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→)) D.eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))
2.用基底表示向量
例2.如图所示，已知▱ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，试以a、b为基底表示eq \(DE,\s\up6(→))、eq \(BF,\s\up6(→)).
【延伸探究1】在本例中，若取eq \(AC,\s\up12(→))＝x，eq \(DB,\s\up12(→))＝y作为基底，试用x，y表示eq \(DE,\s\up12(→))，eq \(BF,\s\up12(→)).
【延伸探究2】在本例中，若取eq \(DE,\s\up6(→))＝e，eq \(BF,\s\up6(→))＝f作为基底，试用e，f表示eq \(DB,\s\up6(→)).
【类题通法】用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
【巩固练习2】在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以eq \(CB,\s\up6(→))＝e1，eq \(CA,\s\up6(→))＝e2为基底表示eq \(CF,\s\up6(→)).
3.平面向量基本定理的综合应用
例3.正三角形ABC边长为2,设 =2=3, 则= .
【类题通法】数量积的计算中，利用平面向量基本定理可以把需要的向量表示出来，再根据数量积的运算法则进行计算。
【巩固练习3】如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.
（四）操作演练 素养提升
1．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1与e1－e2 B．e1＋e2与e1－3e2
C．e1－2e2与－3e1＋6e2 D．2e1＋3e2与e1－2e2
2．已知非零向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))不共线，且2eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，若eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
3.在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形如
4.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AE,\s\up6(→))＋μeq \(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
课堂小结
通过这节课，你学到了什么知识？


在解决问题时，用到了哪些数学思想？



学习评价
【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【导学案评价】 本节导学案难度如何（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【建议】 你对本节导学案的建议：

课后作业
完成教材：第27页 练习 第1，2，3题
第36 页 习题6.3 第1,11题