高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示当堂检测题

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本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）
第六章 平面向量及其应用
6.3.5平面向量数量积的坐标表示
学习目标：
1.能用坐标表示平面向量的数量积，培养数学抽象的核心素养；
2.会用坐标表示两个平面向量的夹角，提升数学运算的核心素养；
3.能用坐标表示平面向量垂直的条件，培养数学运算的核心素养。
学习重难点：
1.重点：掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算
2.难点：会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题。
自主预习：
本节所处教材的第 页.
复习——
向量加减的坐标表示：
向量数乘的坐标表示：
预习——
数量积的坐标表示：
求模公式：
夹角公式：
垂直：
新课导学
学习探究
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它能使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究.
探索交流，解决问题
【思考1】在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？
（二）数量积的坐标表示
【探究1】通过对平面向量的数量积及向量线性坐标运算的学习，能否已根据两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，用a和b的坐标表示a·b ?
【探究2】若a＝（x，y），如何计算向量的模|a| ？
【探究3】若点A（x1，y1），B（x2，y2），如何计算向量的模？
【探究4】已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a⊥b ？
【探究5】已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a， b的夹角呢？
平面向量数量积的坐标表示：
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ ．
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 ．
平面向量的模与夹角的坐标表示：
(1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ ．
（2）两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝ .
(3)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ ．
(4)两个向量垂直的充要条件：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔ ．
注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，
二者不能混淆，可以对比学习、记忆.
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
【做一做】1.已知a＝(－1，3)，b＝(2，4)，则a·b的值是________.
2.已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝________.
3.已知向量a＝(4，－1)，b＝(x，3)，若|a|＝|b|，则x＝________.
4.已知a＝(eq \r(3)，1)，b＝(－eq \r(3)，1)，则向量a，b的夹角θ＝______.
（三）典型例题
1.数量积的坐标运算
例1. （1）已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A.10 B.－10 C.3 D.－3
（2）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M，N分别在DC，BC上，且DM＝eq \f(1,2)MC，BN＝eq \f(1,2)BC，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝________.
【类题通法】数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解．
（3）进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
①|a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
【巩固练习1】（1）设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝( )
A．(－15，12) B．0 C．－3 D．－11
（2）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FD,\s\up6(→))，则eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝________．
2.求向量的模
例2.(1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b则|3a＋b|等于( )
A.eq \r(5) B.eq \r(6) C.eq \r(17) D.eq \r(26)
(2)已知|a|＝2eq \r(13)，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|.
【类题通法】求向量的模的两种基本策略
(1)利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ eq \r(x2＋y2).
【巩固练习2】已知点A(0，1)，B(1，－2)，向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，－1)，则|eq \(BC,\s\up6(→))|＝________．
3.求向量的夹角
例3.已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).
(1)试计算a·b及|a＋b|的值；
(2)求向量a与b夹角的余弦值.
【类题通法】应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角.
【巩固练习3】已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，则实数m＝( )
A．2eq \r(3) B.eq \r(3) C．0 D．－eq \r(3)
4.向量垂直的坐标运算
例4.已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|eq \(AD,\s\up6(→))|与点D的坐标.
【类题通法】将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法.
【巩固练习4】已知a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(OA,\s\up6(→))＝a－b，eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.
（四）操作演练 素养提升
1.若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x＝( )
A.3 B.－3 C.eq \f(5,3) D.－eq \f(5,3)
2.已知a＝(－eq \r(3)，－1)，b＝(1，eq \r(3))，那么a，b的夹角θ＝( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A.1 B.eq \r(2) C.2 D.4
4.已知向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3eq \r(5)，则b＝( )
A.(－3，6) B.(3，－6)
C.(6，－3) D.(－6，3)
课堂小结
通过这节课，你学到了什么知识？


在解决问题时，用到了哪些数学思想？



学习评价
【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【导学案评价】 本节导学案难度如何（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【建议】 你对本节导学案的建议：

课后作业
完成教材：第36页 练习 第1，2，3题
第36 页 习题6.3 第9,10,14题