数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用课时训练

这是一份数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用课时训练，文件包含人教A版高中数学必修第二册导学案641平面几何中的向量方法解析版doc、人教A版高中数学必修第二册导学案641平面几何中的向量方法原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
地 位：
本节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）
第六章 平面向量及其应用
6.4平面向量的应用
学习目标：
1.会用向量方法解决简单的几何问题,培养数学抽象的核心素养；
2.体会向量在解决几何问题中的作用，提升数学建模的核心素养。
学习重难点：
1.重点：用向量方法解决几何问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”。
2.难点：能够将几何问题转化为平面向量问题。
自主预习：
本节所处教材的第 页.
复习——
向量的线性运算：
向量的坐标运算：
预习——
向量解决平面几何问题的步骤：
新课导学
学习探究
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
向量理论的发展有着深刻的几何背景.这一源泉最早可追溯到莱布尼兹的位置几何的概念.莱布尼兹认为代数仅仅能表达未定的数或量值，不能直接表达位置、角度和运动，利用代数运算来分析一个图形的特点、寻找方便的几何证明和构造有时是很困难的.鉴于此，他提出了一个“新代数”，其中几何实体可以用符号来表示，并且这些符号可以直接进行运算，它不需要大量的乘法，不需要添加令人困惑的太多点和线.这就是向量.
2.探索交流，解决问题
【问题1】要判断AB⊥CD,从向量的角度如何证明?
【问题2】怎样用向量的方法证明AB∥CD?
【问题3】如何利用向量方法求直线AB与CD所成角?
【问题4】如何利用向量的方法求线段的长度?
（二）平面向量在几何中的应用
1.用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”：
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
2.用向量方法解决平面几何问题的两个基本方法：
①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算．
【做一做】1．已知A(－1，－eq \f(7,3))，B(1，eq \f(1,3))，C(－eq \f(1,2)，2)，D(－eq \f(7,2)，－2)，则直线AB与直线CD( )
A．垂直 B．平行 C．相交D．重合
2.已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则四边形ABCD为( )
A．梯形 B．菱形 C．矩形D．正方形
（三）典型例题
1.利用平面向量证明垂直问题
【例1】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，
求证：AF⊥DE.
【类题通法】利用向量解决垂直问题的方法和途径
方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.
途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式.
【巩固练习1】在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝eq \f(1,2)AB，
求证：AC⊥BC.
2.利用平面向量求几何中的长度、角度问题
【例2】（1） 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.
(2)已知矩形ABCD，AB＝eq \r(3)，AD＝1，E为DC上靠近D的三等分点，求∠EAC的大小．
【类题通法】用向量法求长度、角度的策略
(1)利用图形特点选择基底，用公式|a|＝eq \r(a2)求解.
(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
（3）用夹角公式先求向量的夹角，在根据实际情况得到角的大小。
【巩固练习2】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC中点，则cs ∠BDC＝( )
A．－eq \f(7,25) B.eq \f(7,25) C．0D.eq \f(1,2)
3.平面几何中的平行(或共线)问题
【例3】如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq \f(CE,ED)＝eq \f(AF,FB)＝eq \f(1,2).
求证：点E，O，F在同一直线上.
【类题通法】用向量解决平面几何中的平行问题，首先想到的应该是平面向量共线定理。
【巩固练习3】在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC.
求证：MN∥BC.
（四）操作演练 素养提升
1.在四边形ABCD中，若eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，则四边形为( )
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
2.在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，则|eq \(AP,\s\up6(→))|等于( )
A.2 B.1 C.eq \f(1,2) D.4
3.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长为________.
4.正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cs∠DOE的值.
课堂小结
通过这节课，你学到了什么知识？


在解决问题时，用到了哪些数学思想？


学习评价
【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【导学案评价】 本节导学案难度如何（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【建议】 你对本节导学案的建议：

课后作业
完成教材：第39页 练习 第1，2，3题
第52 页 习题6.4 第1,2,3,12题