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    人教A版高中数学(必修第二册)导学案7.2.2复数的乘除运算(2份,原卷版+解析版)

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    高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算达标测试

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算达标测试,文件包含人教A版高中数学必修第二册导学案722复数的乘除运算解析版doc、人教A版高中数学必修第二册导学案722复数的乘除运算原卷版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共13页, 欢迎下载使用。
    导学案
    地 位:
    本节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版(2019)
    第七章 复数
    7.2 复数的四则运算
    学习目标:
    1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算,培养数学运算的核心素养;
    2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律,会求在复数范围内方程的根,提升数学运算的核心素养。
    学习重难点:
    1.重点:掌握复数的乘法和除法运算;
    2.难点:求复数范围内的方程根
    自主预习:
    本节所处教材的第 页.
    复习——
    复数的加法:
    复数的减法:
    预习——
    复数的乘法:
    复数的除法:

    新课导学
    学习探究
    (一)新知导入
    1. 创设情境,生成问题
    两个实数的积、商是一个实数,那么两个复数的积、商是怎样的?怎样规定两个复数的乘除运算,才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容?复数的加减运算把i看作一个字母,相当于多项式的合并同类项,那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢?
    问题 多项式(a+b)(c+d)的运算结果是什么?
    2.探索交流,解决问题
    【问题1】设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)类比两个多项式相乘,应如何规定两个复数相乘?
    【问题2】复数的乘法满足交换律和结合律吗?
    【问题3】设z=a+bi(a,b∈R),则z的共轭复数eq \x\t(z)等于什么?zeq \x\t(z)是一个怎样的数?
    【问题4】一元二次方程x2+1=0在实数范围内有解吗?引入虚数单位i后,方程的解是什么?
    (二)复数的乘除运算
    1.复数的乘法运算
    eq \a\vs4\al(复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式,如平方差公式、完全平方公式等)
    (1)复数的乘法法则
    设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
    则z1·z2=(a+bi)(c+di)= .
    (2)复数乘法的运算律
    对任意复数z1,z2,z3∈C,有
    2.复数的除法运算
    复数除法的实质就是分母实数化的过程,这与实数的除法有所不同
    设z1=a+bi,,z2=c+di(c+di≠0)),则 eq \f(z1,z2)=eq \f(a+bi, c+di)=eq \f((a+bi)(c-di), (c+di)(c-di))= .
    复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a+bi型,则分子、分母同乘a-bi;若分母为a-bi型,则分子、分母同乘a+bi.
    【做一做】1.若复数满足z=i(1-i),则|z|=( )
    A.1 B.eq \r(2) C.2 D.eq \r(3)
    2.已知i是虚数单位,则eq \f(3+i,1-i)=( )
    A.1-2i B.2-i C.2+i D.1+2i
    3.共轭复数的性质
    【探究1】若z=eq \x\t(z),则z是什么数?这个性质有什么作用?
    【探究2】若z≠0且z+eq \x\t(z)=0,则z是什么数?这个性质有什么作用?
    【探究3】三个实数|z|,|eq \x\t(z)|,z·eq \x\t(z)具有怎样的关系?

    (三)典型例题
    1.复数的乘法运算
    例1.计算下列各题:
    (1)(1-i)(1+i)+(-1+i);
    (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.

    【类题通法】1.两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要把已得结果中的i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.
    2.复数代数形式的乘法运算常用公式
    (1)(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R).
    (2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R).
    (3)(1±i)2=±2i.
    【巩固练习1】若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( )
    A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
    C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
    2.复数的除法运算
    例2. (1)eq \f(3+i,1+i)=( )
    A.1+2i B.1-2i
    C.2+i D.2-i
    (2)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z为( )
    A.3+5i B.3-5i
    C.-3+5i D.-3-5i
    【类题通法】(1)进行复数的运算时,除了应用四则运算法则之外,对于一些简单算式要知道其结果,这样可简化运算过程.例如,eq \f(1,i)=-i,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,eq \f(1+i,1-i)=i,eq \f(1-i,1+i)=-i,a+bi=i(b-ai),eq \f(a+bi,b-ai)=i等.
    (2)运算方法要灵活,有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式.
    【巩固练习2】 (1)在复平面内,复数eq \f(5i,2-i)的对应点位于( )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    (2)计算:eq \f((1+i)(4+3i),(2-i)(1-i))=________.
    3.复数范围内解方程
    例3. 在复数范围内解下列方程.
    (1)x2+5=0;
    (2)x2+4x+6=0.

    【类题通法】在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法
    (1)求根公式法
    ①当Δ≥0时,x=eq \f(-b±\r(b2-4ac),2a).
    ②当Δ

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