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所属成套资源:人教A版高中数学(必修第二册)导学案 (2份,原卷版+解析版)
高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算达标测试
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算达标测试,文件包含人教A版高中数学必修第二册导学案722复数的乘除运算解析版doc、人教A版高中数学必修第二册导学案722复数的乘除运算原卷版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共13页, 欢迎下载使用。
导学案
地 位:
本节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版(2019)
第七章 复数
7.2 复数的四则运算
学习目标:
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算,培养数学运算的核心素养;
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律,会求在复数范围内方程的根,提升数学运算的核心素养。
学习重难点:
1.重点:掌握复数的乘法和除法运算;
2.难点:求复数范围内的方程根
自主预习:
本节所处教材的第 页.
复习——
复数的加法:
复数的减法:
预习——
复数的乘法:
复数的除法:
新课导学
学习探究
(一)新知导入
1. 创设情境,生成问题
两个实数的积、商是一个实数,那么两个复数的积、商是怎样的?怎样规定两个复数的乘除运算,才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容?复数的加减运算把i看作一个字母,相当于多项式的合并同类项,那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢?
问题 多项式(a+b)(c+d)的运算结果是什么?
2.探索交流,解决问题
【问题1】设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)类比两个多项式相乘,应如何规定两个复数相乘?
【问题2】复数的乘法满足交换律和结合律吗?
【问题3】设z=a+bi(a,b∈R),则z的共轭复数eq \x\t(z)等于什么?zeq \x\t(z)是一个怎样的数?
【问题4】一元二次方程x2+1=0在实数范围内有解吗?引入虚数单位i后,方程的解是什么?
(二)复数的乘除运算
1.复数的乘法运算
eq \a\vs4\al(复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式,如平方差公式、完全平方公式等)
(1)复数的乘法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
则z1·z2=(a+bi)(c+di)= .
(2)复数乘法的运算律
对任意复数z1,z2,z3∈C,有
2.复数的除法运算
复数除法的实质就是分母实数化的过程,这与实数的除法有所不同
设z1=a+bi,,z2=c+di(c+di≠0)),则 eq \f(z1,z2)=eq \f(a+bi, c+di)=eq \f((a+bi)(c-di), (c+di)(c-di))= .
复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a+bi型,则分子、分母同乘a-bi;若分母为a-bi型,则分子、分母同乘a+bi.
【做一做】1.若复数满足z=i(1-i),则|z|=( )
A.1 B.eq \r(2) C.2 D.eq \r(3)
2.已知i是虚数单位,则eq \f(3+i,1-i)=( )
A.1-2i B.2-i C.2+i D.1+2i
3.共轭复数的性质
【探究1】若z=eq \x\t(z),则z是什么数?这个性质有什么作用?
【探究2】若z≠0且z+eq \x\t(z)=0,则z是什么数?这个性质有什么作用?
【探究3】三个实数|z|,|eq \x\t(z)|,z·eq \x\t(z)具有怎样的关系?
(三)典型例题
1.复数的乘法运算
例1.计算下列各题:
(1)(1-i)(1+i)+(-1+i);
(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.
【类题通法】1.两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要把已得结果中的i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.
2.复数代数形式的乘法运算常用公式
(1)(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R).
(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R).
(3)(1±i)2=±2i.
【巩固练习1】若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
2.复数的除法运算
例2. (1)eq \f(3+i,1+i)=( )
A.1+2i B.1-2i
C.2+i D.2-i
(2)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z为( )
A.3+5i B.3-5i
C.-3+5i D.-3-5i
【类题通法】(1)进行复数的运算时,除了应用四则运算法则之外,对于一些简单算式要知道其结果,这样可简化运算过程.例如,eq \f(1,i)=-i,(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,eq \f(1+i,1-i)=i,eq \f(1-i,1+i)=-i,a+bi=i(b-ai),eq \f(a+bi,b-ai)=i等.
(2)运算方法要灵活,有时要巧妙运用相应实数系中的乘法公式.
【巩固练习2】 (1)在复平面内,复数eq \f(5i,2-i)的对应点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)计算:eq \f((1+i)(4+3i),(2-i)(1-i))=________.
3.复数范围内解方程
例3. 在复数范围内解下列方程.
(1)x2+5=0;
(2)x2+4x+6=0.
【类题通法】在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时,x=eq \f(-b±\r(b2-4ac),2a).
②当Δ
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