高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体精练

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导学案
地 位：
本节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）
第九章 统计
9.2 用样本估计总体
学习目标：
1.掌握方差和标准差，利用方差和标准差估计总体的离散程度,培养数据分析的核心素养；
2、通过样本标准差等数据直观估计总体的离散程度，能够正确计算样本的标准差或方差，提升数学运算的核心素养。
学习重难点：
1.重点：求样本数据的方差、标准差、极差
2.难点：用样本平均数和样本标准差估计总体。
自主预习：
本节所处教材的第 页.
复习——
分层抽样：
中位数、众数：
预习——
平均数：
方差、标准差：
新课导学
学习探究
（一）新知导入
甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.
经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环.
【问题】若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？
（二）总体离散程度的估计
知识点一 一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差
数据x1，x2，…，xn的方差为＝，标准差为.
知识点二 总体方差和标准差
(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为eq \x\t(Y)，则称S2＝为总体方差，S＝eq \r(S2)为总体标准差．
(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，
则总体方差为S2＝.
知识点三 样本方差和标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq \x\t(y)，
则称s2＝为样本方差，s＝eq \r(s2)为样本标准差．
知识点四 标准差的意义
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．
知识点五 分层随机抽样的方差
设样本容量为n，平均数为eq \x\t(x)，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为eq \(x,\s\up6(－))1，eq \(x,\s\up6(－))2，方差分别为seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)，则这个样本的方差为
s2＝eq \f(n1,n)[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up6(－))1－eq \(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(n2,n)[seq \\al(2,2)＋(eq \(x,\s\up6(－))2－eq \(x,\s\up6(－)))2]．
【做一做】某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4
则：(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________.
【思考】如何理解方差与标准差的概念？
【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重.( )
2.若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.( )
3.标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散.( )
（三）典型例题
1.方差、标准差的计算
例1.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
【类题通法】用样本的标准差、方差估计总体的方法
用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似.在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性.
【巩固练习1】对划艇运动员甲、乙在相同的条件下进行了6次测试，测得他们每次的最大速度(m/s)如下：
甲：27,38,30,37,35,31
乙：33,29,38,34,28,36
根据以上数据，试判断他们谁的成绩比较稳定．
2.分层随机抽样的方差
例2.甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？
【类题通法】计算分层随机抽样的方差s2的步骤：
(1)确定eq \(x,\s\up6(－))1，eq \(x,\s\up6(－))2，seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)，
(2)确定eq \(x,\s\up6(－))；
(3)应用公式s2＝eq \f(n1,n)[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up6(－))1－eq \(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(n2,n)[seq \\al(2,2)＋(eq \(x,\s\up6(－))2－eq \(x,\s\up6(－)))2]，计算s2.
【巩固练习2】已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市房价的方差为________.
3.数字特征的综合应用
例3.在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：
请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
【类题通法】数据分析的要点
(1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．
(2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的．
【巩固练习3】某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：
甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；
乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.
经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m方可获得冠军呢？
（四）操作演练 素养提升
1.在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A.平均数 B.标准差 C.众数 D.中位数
2.已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的标准差为( )
A.1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D.2
3.若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为( )
A.8 B.15 C.16 D.32
4.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个).
课堂小结
通过这节课，你学到了什么知识？


在解决问题时，用到了哪些数学思想？



学习评价
【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【导学案评价】 本节导学案难度如何（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【建议】 你对本节导学案的建议：

课后作业
完成教材：第213页 练习 第1，2,3,4,5题

第214页 习题9.2 第2,4,8，10,11题
分数
50
60
70
80
90
100
人
数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12

甲
乙
丙
丁
平均环数eq \(x,\s\up6(－))
8.3
8.8
8.8
8.7
方差s2
3.5
3.6
2.2
5.4