人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.2 复数的四则运算课时作业

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知识点01：复数代数形式的乘法运算
（1）复数的乘法法则
我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为
，
即
（2）复数乘法满足的运算律
复数乘法的交换律、结合律、分配律
(交换律)
(结合律)
(分配律)
【即学即练1】（2023上·贵州六盘水·高二统考阶段练习）的虚部为 ．
【答案】5
【详解】由题意得，所以的虚部为5．
故答案为：5
知识点02：复数代数形式的乘方
（1）复数的乘方
复数的乘方就是相同复数的乘积
（2）复数乘方的运算律
根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的，，有：
①
②
③
知识点03：共轭复数的性质
设，（）
①；②为实数；③且为纯虚数
④；⑤，，
【即学即练2】（2024·全国·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为，则，
所以，所以．故B正确.
故选:B．
知识点04：复数代数形式的除法运算
（1）定义
规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或
（2）复数的除法法则
（）
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
【即学即练3】（2023上·广西·高二凭祥市高级中学校联考阶段练习）已知，则在复平面上对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】因为，
所以它在复平面上对应的点为，该点位于第四象限.
故选：D.
题型01 复数代数形式的乘法运算
【典例1】（2023上·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）已知，（i为虚数单位），则（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】C
【详解】因为，所以，解得.
故选:C.
【典例2】（2023上·四川成都·高三四川省成都市第八中学校校考阶段练习）已知 ， 则的虚部是（ ）
A．2B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为 ，则，
所以的虚部为2，
故选：A.
【典例3】（2023上·福建莆田·高二莆田第五中学校考阶段练习）已知复数(为虚数单位)，则的模等于 .
【答案】
【详解】因为，
所以，
故答案为：.
【变式1】（2021·山西临汾·统考模拟预测）若复数满足，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
，
复数的虚部是，
故选：C.
【变式2】（2024上·辽宁沈阳·高三沈阳实验中学校联考期末），则的共轭复数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，
故选：D.
【变式3】（2023上·北京顺义·高三校考阶段练习）已知复数，则复数z的虚部为 ， ．
【答案】 1
【详解】由题意，
所以复数z的虚部为1，.
故答案为：1，.
题型02 复数的乘方
【典例1】（2023上·湖南永州·高三校考阶段练习）设（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【详解】由复数 ，所以.
故选：A.
【典例2】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知复数满足：，则（ ）
A．1B．C．D．5
【答案】A
【详解】由，,得
，
所以．
故选：A．
【变式1】（2023上·江苏苏州·高三南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）设复数对应的点在第四象限，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】，
设，则，，，
，故复数对应的点在第四象限.
故选：D
【变式2】（2023上·贵州遵义·高三统考阶段练习）复数的虚部是（ ）
A．B．1C．D．-3
【答案】D
【详解】，
所以虚部为.
故选：D
【变式3】（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知复数z满足（i为虚数单位），则（ ）
A．3B．C．5D．
【答案】D
【详解】复数，故．
故选：D．
题型03复数范围内的因式分解
【典例1】（2023下·上海嘉定·高一校考期末）在复数范围内分解因式= .
【答案】
【详解】由得，
解得，
所以.
故答案为：
【典例2】（2022下·上海普陀·高一校考阶段练习）在复数范围内分解因式： ．
【答案】
【详解】解：
故答案为：
【典例3】5．（2023·高一课时练习）在复数范围内分解因式：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
（2）
（3）∵
∴
∴
【变式1】（2023下·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）将在复数范围内因式分解为 .
【答案】
【详解】令，
，所以，
即.
故答案为: .
【变式2】（2022·高一课时练习）在复数范围内分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由于，
所以.
（2）由于，
所以.
题型04复数范围内方程的根
【典例1】（2023上·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知复数z是一元二次方程的一个根，则|z|的值为（ ）
A．1B．2C．0D．
【答案】B
【详解】由题意，即.
故选：B
【典例2】（2023下·山西晋中·高一校考期中）方程的一个解可以是（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】B
【详解】因为，所以，所以或，
所以方程的一个解可以是.
故选：B
【典例3】（2023下·陕西西安·高二校考期中）已知复数.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若是方程的一个根，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）为纯虚数，所以
（2）方程变形为，所以，
所以
【变式1】（2023·全国·模拟预测）在复数范围内方程的根为，，则（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】B
【详解】由得，解得或，
若，则；若，则；
综上所述：.
故选：B．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值分别为 .
【答案】
【详解】因为是关于x的方程的一个根，且，
所以是关于x的方程的另一个根，
而且，
故答案为：
【变式3】（2023下·山东青岛·高一校考期中）已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则 .
【答案】
【详解】把代入方程得，
所以，
所以，
所以，解得，
所以．
故答案为：．
题型05共轭复数的概念及计算
【典例1】（2023上·内蒙古赤峰·高三校联考期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，所以.
故选：D.
【典例2】（2023下·广东深圳·高二深圳市龙岗区龙城高级中学校考期中）i是虚数单位，若复数z满足，则 .
【答案】
【详解】，，故.
故答案为：.
【典例3】（2023上·山东青岛·高三山东省青岛第十九中学校考期中）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则，
则，
则，解得：，则.
故选：B
【变式1】（2023上·北京东城·高三景山学校校考阶段练习）设 则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】依题意，，则，
所以在复平面内z的共轭复数对应的点位于第二象限.
故选：B
【变式2】（2023·全国·模拟预测）已知（为虚数单位），则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【详解】因为，
所以，所以．
故选：D．
【变式3】（2023上·湖南·高三校联考阶段练习）已知复数满足，则的值为 .
【答案】
【详解】解：因为，所以，
∴，所以.
∴.
故答案为：.
题型06复数的除法运算
【典例1】（2023上·北京东城·高三北京市第一六六中学校考期末）复数，在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】，
，
复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于第四象限，
故选：D.
【典例2】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）i是虚数单位，若复数为纯虚数，则 ．
【答案】
【详解】,
所以，所以.
故答案为：.
【典例3】（2023·全国·高一专题练习）计算．
(1)； (2)．
(3)； (4)；
(5).
【答案】(1) (2) (3) (4) (5)
【详解】（1）原式．
（2）原式．
（3）原式.
（4）原式.
（5），，
，
，
原式.
【变式1】（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考期中）若，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由已知可得，
所以，
故选：D
【变式2】（2023上·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）若复数z满足，则
【答案】
【详解】，则，故.
故答案为：.
【变式3】（2023下·高一单元测试）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）因为，
所以
，
因为，
所以，
所以
题型07根据复数乘、除法运算结果求参数
【典例1】（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【详解】，
由已知得，解得，
故选：D
【典例2】（2022·河南·宝丰县第一高级中学校联考模拟预测）已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，所以，
解得，
故选：B.
【典例3】（2023下·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校联考阶段练习）（1）若复数是纯虚数，求实数的值；
（2）若复数满足：，求复数.
【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）复数是纯虚数，则，
解得；
（2）设，，，
即，故，
解得或，故或.
【典例4】（2023下·河南郑州·高一校联考期中）解答下列各题：
(1)已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位），求复数z；
(2)已知复数，实数为何值时，复数表示的点位于第四象限．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）（1）设复数，
因为为实数，所以，则复数，
又因为为纯虚数，
则，得，
所以复数．
（2），
由复数表示的点位于第四象限，可得，解得，
当时，复数在复平面内对应的点在第四象限，
∴m的取值范围为.
【变式1】（2022·全国·校联考模拟预测）已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】由复数的乘法运算可知，，
因为复数的实部与虚部的和为12，所以，解得，.
故选：B.
【变式2】（2022下·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A．－3B．－1C．1D．3
【答案】A
【详解】由题意可得，
故，解得 ，
故选：A
【变式3】（2023上·贵州·高三校联考阶段练习）已知复数，i是虚数单位），是实数.
(1)求b的值；
(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）∵，∴
∵是实数，∴，解得.
（2）由（1）知,
∴，
∵复数在复平面内对应的点在第二象限，
∴，解得，
故实数m的取值范围是.
题型08 复数四则运算的创新应用
【典例1】（2023上·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）
A．的实部为1
B．的共轭复数为1
C．在复平面内对应的点在第一象限
D．的模长为1
【答案】D
【详解】由欧拉公式知，则的实部为，共轭复数为，AB错误；
由欧拉公式知，在复平面内对应的点为，
而，因此在复平面内对应的点在第二象限，C错误；
显然的模长为，D正确.
故选：D
【典例2】（2023上·广东深圳·高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数.
(1)若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
(2)求；
(3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)，
【详解】（1）因为复数，，所以，
又为纯虚数，所以，
又，所以，
又因为复数z在复平面内对应点在第一象限，
所以，故.
（2）由（1）可知
当时，，
当时，.
（3）法一：由（1）可知是关于x的方程的一个根，
所以把，代入得，
化简得，
即，解得：，
法二：由（1）可知是关于x的方程的一个根，
所以此方程的另一根为：，则，
解得：，
【变式1】（2022上·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知集合（其中 为虚数单位），则满足条件的集合M的个数为 .
【答案】8
【详解】周期为4，当时，；当时，；
当时，；当时，，所以集合的子集个数为个.
故答案为：8个.
【变式2】（2023下·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为
【答案】20
【详解】设，
则.
所以点的坐标分别为
又两点连线的中点对应的复数为，
解得
.
又
的面积为.
故答案为：.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023上·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知复数满足，则（ ）
A．B．C．3D．2
【答案】B
【详解】．
故选：B．
2．（2023·四川雅安·统考一模）复数，则（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【详解】，则，
故选：C.
3．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件求出的代入形式，进而可得其共轭复数.
【详解】，
所以.
故选：B．
4．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）若复数为纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的概念列方程即可得解.
【详解】，
所以，解得，
故选：A.
5．（2023上·陕西西安·高三统考阶段练习）已知，，且，则（ ）
A．B．2C．D．10
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的乘法运算及复数相等得到方程组，求出、的值，从而求模.
【详解】因为，即，即，
因为，，所以，解得，
所以.
故选：A
6．（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A．3B．2C．D．1
【答案】B
【分析】先求出复数的代数形式，再求即可.
【详解】由，得，
所以，
所以.
故选：B.
7．（2023上·湖南·高二邵阳市第二中学校联考阶段练习）若复数，则（ ）
A．5B．C．10D．
【答案】B
【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果
【详解】因为，所以.
故选：B.
8．（2023·全国·模拟预测）设复数，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的乘法运算及复数相等可以求参即可.
【详解】由题意，得，
∴解得或∵，∴．
故选:B．
二、多选题
9．（2023上·江苏无锡·高三校考阶段练习）已知复数，（，）（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A．的虚部为
B．
C．
D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为
【答案】CD
【详解】由题意可得，所以的虚部为，A错误，
，故，B错误，
，C正确，
表示点到的距离不大于1的点构成的图形，故为以为圆心，以1为半径的圆以及内部，故面积为，D正确，
故选：CD
10．（2023上·福建·高三校联考期中）若复数满足（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限
C．的虚部为
D．
【答案】AB
【详解】依题意，，
，A正确；
在复平面内对应的点在第四象限，B正确；
复数的虚部为，C错误；
，D错误.
故选：AB
三、填空题
11．（2023上·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）已知复数是纯虚数，则实数 .
【答案】1
【详解】由题意，
由题意复数是纯虚数，则且，解得.
故答案为：1.
12．（2023上·天津·高三天津市咸水沽第一中学校考期中）已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为 .
【答案】
.
故答案为: .
四、解答题
13．（2023下·新疆喀什·高一统考期末）计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
.
（2）
.
14．（2023下·陕西西安·高一期中）计算下列各题:
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
.
；
（2）
.
.
B能力提升
1．（2023上·江苏·高三期末）已知复数（为虚数单位），则复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，
所以.
.
故选：A
2．（2015·高一课时练习）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】充分性：若，则；
必要性：若则，
则，得，或，故不满足必要性
综上“”是“”充分不必要条件，
故选：A
3．（2023下·河北衡水·高一河北武邑中学校考期末）若复数：，则 ．
【答案】2
【详解】因为，，，，且，
所以
，
所以．
故答案为：2．
4．（2023下·河南驻马店·高一统考期末）已知复数，则 .
【答案】/
【详解】由题意可得，，
，
则，
所以.
故答案为：.
5．（2023下·河南省直辖县级单位·高一济源市第四中学校考阶段练习）（1）已知复数，．i是虚数单位，若是纯虚数，求m的值；
（2）i是虚数单位，，，若，求复数z．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由，
是纯虚数，所以；
（2）由.
课程标准
学习目标
①掌握复数代数形式的乘法和除法运算。
②理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。
1.在熟悉课本能容的基础上，掌握复数代数形式的乘法和除法运算；
2.在学习中逐步加强理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；