人教A版高中数学(必修第二册)同步讲与练第14讲 拓展二：三角形中线，角平分线问题（2份，原卷版+解析版）

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第14讲 拓展二：三角形中线，角平分线问题题型01三角形中中线长（定值）【典例1】（2023下·辽宁·高一校联考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量与平行．若，，则BC边上的中线AD为（    ）A．1 B．2 C． D．【典例2】（2023上·江苏淮安·高三校联考期中）已知的内角的对边分别为，若，，，则边上的中线AD的长为 .【典例3】（2023下·浙江杭州·高二校联考期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求A；(2)若，求中BC边中线AD长．   【变式1】（2022·江苏南通·统考模拟预测）已知的面积为，则的中线长的一个值为 .【变式2】（2023下·河北·高一校联考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为 .  【变式3】20．（2023上·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.(1)求B；(2)若，且的面积为，是的中线，求的长.题型02三角形中中线长（最值，范围）问题【典例1】（2023上·广西柳州·高一柳州高级中学校考开学考试）在中，，则边上的中线的长的取值范围是 .【典例2】（2023下·江西萍乡·高一统考期中）在中，角A，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长度的最大值为 ．  【典例3】（2023上·辽宁大连·高三大连市第一中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c.①2acosB+b-2c=0；②；③.在以上三个条件中选择一个，并作答.(1)求角A；(2)已知△ABC的面积为，AD是BC边上的中线，求AD的最小值.【变式1】（2023下·云南昆明·高一校考期中）已知AD是的中线，若，，则的最小值是 ．  【变式2】（2023上·浙江·高二校联考开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，且，.(1)求角；(2)求边上中线长的取值范围.题型03已知中线长，求其它元素【典例1】（2023·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若的中线，求的最大值．【典例2】（2023上·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）已知的内角，，的对边分别为、、，.(1)求；(2)已知为边上的中线，，，求的面积.  【典例3】（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）已知函数.(1)求的最小正周期和单调递减区间；(2)已知中，内角的对边分别为，若边的中线长为，求面积的最大值.【变式1】（2023上·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）在中，角，，所对的边分别为，，.已知.(1)求角；(2)的中线＝，＝，求AB.【变式2】（2023上·山西晋中·高三校考阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，满足(1)求角的大小；(2)若，边上的中线的长为，求的面积.【变式3】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为．(1)求；(2)已知为边上的中线，，求的面积．  【变式4】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.(1)求B；(2)若的中线BD长为，求的最大值.  题型04求角平分线长（定值）问题【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例．已知ABC中，AD为∠BAC的角平分线，与BC交于点D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则AD＝（    ）A． B． C． D．【典例2】（2023·江西上饶·统考二模）在中，的角平分线交于点，，，，则（    ）A． B． C． D．【典例3】（2023上·辽宁·高二校联考阶段练习）在中， ，，， 的角平分线交于，则 ．    【典例4】（2023下·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习）如图，的内角、、的对边分别为、、，且.(1)求角B的大小；(2)若，.（i）求的值；（ii）求的角平分线的长. 【典例5】（2022·北京·北京八十中校考模拟预测）在△ABC中，．(1)求B的值；(2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：（i）求的值；（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．【变式1】（2023下·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）在中，，，，的角平分线交BC于D，则（    ）A． B．2 C． D．  【变式2】（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．【变式3】（2023下·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）在 中， 角 的对边分别为 ， ， =， ， 点D在BC边上运动．(1)若 D为BC边的中点， 求AD．(2)若 AD为的角平分线， 求AD．【变式4】（2023下·安徽滁州·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求角A的大小；(2)若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长.【变式5】（2023·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，， ，外接圆面积为.(1)求；(2)若为角的角平分线，交于点，求的长.题型05求角平分线长（最值，范围）问题【典例1】（2019下·湖北武汉·高一校联考期中）已知△ABC的面积为, ∠BAC=, AD是△ABC的角平分线, 则AD长度的最大值为（    ）A． B． C． D．【典例2】（2023下·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）在中，，是的角平分线，且交于点.若的面积为，则的最大值为 .  【典例3】（2023下·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期中）已知△的内角所对的边分别为，且．(1)求；(2)若△的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值．【典例4】（2022下·河北保定·高一校联考阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求的大小；(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值.【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，点D在边上且为角A的角平分线，，则边的取值范围是 ．  【变式2】（2022下·湖北武汉·高一统考期末）已知，内角所对的边分别是，，的角平分线交于点.若，则 ，的取值范围是 .【变式3】（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．(1)求；(2)若的面积为，求内角A的角平分线长的最大值．题型06已知角平分线，求其它元素【典例1】（2022上·贵州·高三统考开学考试）已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于点，且.若，则面积的最小值是 .【典例2】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，点D在边上且为角A的角平分线，，则边的取值范围是 ．  【典例3】（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)边上存在点，使为的角平分线，若，求的周长.【典例4】（2023上·全国·高三专题练习）在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．【典例5】（2023上·江西赣州·高二校联考期中）已知的内角A，B，的对边分别为a，b，c，且.(1)求；(2)若为的角平分线，D在边上，且，求的最小值.【变式1】（2023上·福建泉州·高三校考期中）在中，是的角平分线且，，若，则的面积为 .【变式2】（2023上·浙江杭州·高二校联考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(1)求角；(2)是的角平分线，若，，求的面积．【变式3】（2023上·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.(1)求；(2)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值.【变式4】（2023上·福建福州·高三校联考期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设.(1)求A；(2)若AD为∠BAC的角平分线，且，求的最小值.