人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课后练习题

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1.（2021·广东广州市高一期末）设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．，则B．，则
C．，则D．，则
【答案】B
【解析】A. ，则或，故错误；
B. 过直线a作平面，有，因为，所以，
又因为，所以，所以，故正确
C. ，则或a，b异面，故错误；
D. ，则或相交，故错误.故选B.
2.（2021·陕西宝鸡市陈仓区高一期末）PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系正确的是（ ）
①平面平面PAD；②平面平面PBC；
③平面平面PCD；④平面平面PAC．
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】A
【解析】∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC.
又正方形ABCD中，BC⊥AB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，BC⊂平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC，②正确；
同理AD⊥平面PAB，AD⊂平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB，∴①正确；
设平面PAB∩平面PCD＝l，∵AB∥CD，AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，∴CD∥平面PAB，∴CD∥l，
AB⊥平面PAD，l∥AB，∴l⊥平面PAD，P为垂足，
∴∠APD为二面角A−l−D的平面角.
若平面PAB⊥平面PCD，则AP⊥PD，在Rt△PAD中不可能，∴③错误．
∵AB⊥PA，AC⊥PA，
∴∠BAC为二面角B−PA−C的平面角.
若平面平面PAC，则AB⊥AC，在Rt△ABC中不可能，∴④错误．故选A．
3.（多选题）（2021·河北省盐山中学高一月考）已知m、n是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，下列四个命题中真命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若m、n是异面直线，，则
D．若，则
【答案】BC
【解析】若，，、、是三个两两不重合的平面，可知，平行或相交，故A错误；
因为、是不重合的平面，，，由判定定理可知，故B正确；
因为，所以必有，，又因为，所以，所以，故C正确；
因为，，，所以可能相交，不一定平行，故D错误.故选BC.
4.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
【答案】eq \r(5)
【解析】∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
∴PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，
∴PA⊥AB，∴PB＝eq \r(PA2＋AB2)＝eq \r(1＋4)＝eq \r(5).
5.（2021·广东广州市白云区高一期末）如图，在三棱锥中，，，则二面角的余弦值为___________.
【答案】
【解析】取的中点，连接､.
因为，所以，，
所以即为二面角的平面角.
因为，，所以，
而，在中，由余弦定理可得.
6.如图，在矩形中，，E，F分别在线段和上，，现将矩形沿折起，记折起后的矩形为，且平面平面．
（1）求证：平面；
（2）若，求证：．
【证明】（1）因为四边形都是矩形，
所以，所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，所以平面．
（2）如图，连接．
因为平面平面，平面平面且，
所以平面，所以．
又，所以四边形为正方形，所以．
又，所以平面，所以．
7.（2021·陕西师大附中高一月考）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）证明：平面BDE⊥平面PBC．
【证明】（1）连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO．
∵底面ABCD是正方形，
∴O为AC的中点，又E为PC的中点，
∴OE∥PA.
∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）∵PD＝DC，E是PC的中点，
∴DE⊥PC.
∵PD⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PD⊥AD.
又由于AD⊥CD，PD∩CD＝D，故AD⊥平面PCD.
又平面PCD，所以AD⊥DE.
又由题意得AD∥BC，故BC⊥DE，
于是，由BC∩PC＝C，DE⊥PC，BC⊥DE，可得DE⊥平面PBC.
又因为平面BDE，所以平面BDE⊥平面PBC．
8.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC1和BD1相交于点O，E为CC1的中点
（Ⅰ）求证：OE∥平面ABCD；
（Ⅱ）若平面BDD1B1⊥平面ABCD，求证：D1E＝BE．
【证明】（Ⅰ）如图，连接AC．因为AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以AC1，BD1相互平分，
所以O为BD1和AC1的中点．
又因为E为CC1的中点，所以OE为△ACC1的中位线，所以OE∥AC．
又因为OE⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以OE∥平面ABCD．
（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．
因为平面BDD1B1⊥平面ABCD，平面BDD1B1∩平面ABCD＝BD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDD1B1．
因为BD1⊂平面BDD1B1，所以AC⊥BD1．
又因为OE∥AC，所以OE⊥BD1．
因为OB＝OD1，所以D1E＝BE．
9.(多选题)如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系成立的有( )
A.SG⊥平面EFG B.SE⊥平面EFG
C.GF⊥SE D.EF⊥平面SEG
【答案】AC
【解析】由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，同理可证GF⊥平面GSE，所以平面EFG，SFG，SEG两两垂直，所以选项A，C正确；若SE⊥平面EFG，则SE⊥EG，这与SG⊥EG矛盾，同理可知EF⊥平面SEG不正确，所以B，D不正确.
10.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2.∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.
(1)求证：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱锥D－BCG的体积.
【解析】(1)证明：∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC.
∵G为AD的中点，∴CG⊥AD.
同理BG⊥AD，
∵CG∩BG＝G，CG，BG⊂平面BGC，
∴AD⊥平面BGC.又E，F分别是AC，CD的中点，
∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG.
(2)解：在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，
∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO⊂平面ABC，
∴AO⊥平面BCD.
∵G为AD的中点，
∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.
在△AOB中，AO＝ABsin 60°＝eq \r(3)，∴h＝eq \f(\r(3),2).
在△BCD中，BF＝BD·cs 60°＝2×eq \f(1,2)＝1，
DF＝AB·sin 60°＝eq \r(3)，∴DC＝2eq \r(3)，
故S△DCB＝eq \f(1,2)BF·DC＝eq \f(1,2)×1×2eq \r(3)＝eq \r(3).
∴VD－BCG＝VG－BCD＝eq \f(1,3)S△DCBh＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2).
11. 如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，且．
（1）若，直线与所成的角为，求二面角的大小；
（2）若E为线段上一点，试确定点E的位置，使得平面平面，并说明理由．
【解析】（1）∵，
∴，
∵面，面，
∴，又，
∴面，又平面，
∴，
∴是二面角的平面角，又直线与所成的角为，
∴，即．
在中，有，即二面角的大小为．
（2）当点E在线段上，且满足时，面面．理由如下：
连接交于点O，连接．
由且，得，
∴，则，又面，
∴底面，又面，面面，
∴面面．
12.（2021·浙江衢州市高一期末）如图，平行四边形ABCD中，∠BAD=60°， AB=2，AD=4，将ACBD沿BD翻折到△EBD的位置
（1）当平面EBD⊥平面ABD时，求证：AB⊥DE；
（2）若点F为BE的中点，二面角E-BD-C的大小为60°，求直线DF与平面BCE所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：在，∠BAD=60°， AB=2，AD=4，所以由余弦定理得
所以，所以
所以AB⊥BD.
因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD=BD，平面
所以.AB⊥平面EBD.
因为平面EBD，所以AB⊥DE；
（2）解：因为四边形ABCD为平行四边形，所以∥.
因为AB⊥BD，
所以CD⊥BD，ED⊥BD，
所以二面角E- BD- C的平面角为∠CDE=60°.
因为DC= DE，所以△CDE为正三角形.
连接CE，取CE中点G，连接DG，则DG⊥CE.
在△BCE中，BC=BE，
所以BG⊥CE，BG∩DG=G，
所以CE⊥平面DBG.
因为平面BCE，所以平面BCE⊥平面DBG. .
因为平面BCE∩平面DBG=BG.
作DH⊥BG，则DH⊥平面BCE，连接FH，
则∠DFH是直线DF与平面BCE所成的角.
在△DFH中，DF= 2，DH =，
∴sin∠DFH=.


13.（2021·广东揭阳市揭东区高一期末）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面．
（1）证明：平面平面；
（2）若点是的中点，在上找一点使得直线平面，并说明理由．
（3）设，，求二面角的余弦值．
【解析】（1）证明：是圆的直径，.
又平面，平面，.
，且，平面，平面.
又平面，
平面平面；
（2）解：为的中点，证明如下：
证明：取的中点，由于点为的中点，
所以.
因为平面，平面，
所以平面；
（3）解：平面，平面，.
过作于，连结.
，且，平面，
平面，从而得，
为二面角的平面角.
在中，，，
，则，
二面角的余弦值为．
14.（2021·湖南武冈市第二中学高一月考）如图，在四棱锥中，，，，，为锐角，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
【解析】（1）证明：在平面内过作于.
因为平面平面，又平面平面，
所以平面.
平面，所以.
过分别作于，
取中点为，则，且，
所以四边形是平行四边形，，
所以，所以，.
因为AB AE=A，且平面，所以平面.
平面，
所以，因为，，平面.
（2）解：二面角的平面角与二面角的平面角互补.
由（1）可得，平面，因为平面，所以，
所以为二面角的平面角.
连接，在中，为与平面所成的角，由其正弦值为，，
可得，因为，所以，所以，
所以二面角的余弦值为.