重难点1-1 集合背景下的新定义问题（6题型 技法 提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（新高考通用）

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题型1 定义集合的新概念
1．（23-24高三下·贵州黔东南·二模）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（ ）
A．是规范数集，不是规范数集B．是规范数集，是规范数集
C．不是规范数集，是规范数集D．不是规范数集，不是规范数集
3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知有限集，若，则称为“完全集”.
(1)判断集合是否为“完全集”，并说明理由；
(2)若集合为“完全集”，且，均大于，证明：，中至少有一个大于；
(3)若为“完全集”，且，求.
4．（24-25高三上·广东梅州·期中）若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”．
(1)判断是否为“集合”，说明理由；
(2)若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合；
(3)求所有满足条件的“集合”．
题型2 定义集合的新运算
1．（24-25高三上·四川遂宁·阶段练习）设集合，集合，定义，则中元素个数是（ ）
A．7B．10C．D．
2．（24-25高三上·广东·模拟预测）对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于集合，定义运算符“”两式恰有一式成立}，表示集合中元素的个数．
(1)设，求；
(2)对于有限集，证明，并求出固定后使该式取等号的的数量；（用含的式子表示）
(3)若有限集满足，则称有序三元组为“联合对”，定义，．
①设，求满足的“联合对”的数量；（用含的式子表示）
②根据（2）及（3）①的结果，求中“联合对”的数量．
4．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知实数集，定义：（与可以相同）．记为集合中的元素个数．
(1)若，请直接给出和；
(2)若均为正数，且，求的最小值；
(3)若，求证：．
题型3 定义集合的新性质
1．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知集合（），S是集合A的子集，若存在不大于n的正整数m，使集合S中的任意一对元素，，都有，则称集合S具有性质P.
(1)当时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由；
(2)当时，若集合S具有性质P，那么集合是否具有性质P？并说明理由；
(3)当，时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.
2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知集合.对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P.
(1)当时，试判断集合和是否具有性质P?并说明理由；
(2)当时，若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P?并说明理由；
(3)当时，若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.
3．（23-24高三下·辽宁·一模）给定正整数，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若，则称具有性质.
(1)是否存在集合具有性质，若存在，请写出的表达式，若不存在，请说明理由；
(2)判断集合是否具有性质？若具有，求的值；若不具有，请说明理由；
(3)是否存在具有性质的集合？若存在，请找出来；若不存在，请说明理由.
4．（24-25高三上·湖北·期中）已知正实数构成的集合
(1)若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.
①当，时，判断集合，是否具有性质，并说明理由；
②设集合，其中数列为等比数列，且公比为2，判断集合是否具有性质并说明理由.
(2)若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.设集合具有性质且中的所有元素能构成等差数列.问：集合中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
题型4 定义集合的新背景
1．（24-25高三上·上海宝山·开学考试）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“.”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①对任意的，有；
②对任意的，有；
③存在，使得对任意的，有称为单位元；
④对任意的，存在，使，称与互为逆元.
则称关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有（ ）
A．关于数的乘法构成群
B．自然数集关于数的加法构成群
C．实数集关于数的乘法构成群
D．关于数的加法构成群
2．（23-24高三上·浙江湖州·期中）对于平面上点和曲线，任取上一点，若线段的长度存在最小值，则称该值为点到曲线的距离，记作．下列结论中正确的个数为（ ）
①若曲线是一个点，则点集所表示的图形的面积为；
②若曲线是一个半径为的圆，则点集所表示的图形的面积为；
③若曲线是一个长度为的线段，则点集所表示的图形的面积为；
④若曲线是边长为的等边三角形，则点集所表示的图形的面积为．
A．1B．2C．3D．4
3．（23-24高三下·湖南益阳·模拟预测）我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）．
(1)若空间向量，求及；
(2)对于空间向量．若，求证：，若，则；
(3)若空间向量的坐标满足，当时，求证：．
4．（23-24高三下·安徽芜湖·二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I．，；
II．，；
Ⅲ．，，；
Ⅳ．，，．
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群．

(1)直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，．
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e，分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群．
题型5 集合与数列交汇问题
1．（24-25高三上·上海·开学考试）已知是等差数列，，存在正整数，使得，，.若集合中只含有4个元素，则t的可能取值有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
2．（23-24高三下·浙江·二模）称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记为集合包含的好整点的个数．若，则正整数的最小值是（ ）
A．1976B．1977C．D．
3．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知某类数集中有个元素，这些元素的和为且它们的某种排列可以构成等差数列，我们就称这样的集合为“好集”.对于一系列互不相同的正整数，若好集满足：，，中的元素个数至多为1，且存在某些使它们的并集（）中元素的某种排列也为等差数列，我们就称可以构成“优集合”.特别的，规定下标最小的好集.
(1)证明：好集可以构成优集合.
(2)若好集可以构成优集合，证明：不全为偶数.
(3)若好集可以构成优集合，试判断是否能为以1为首项的等比数列？若能，请求出所有的通项；若不能，请说明理由.
4．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）对于一个元正整数集，如果它能划分成个不相交的二元子集的并集，即，且存在，使得，则称这个偶数为可分数.例如，由于二元子集满足，则称2为可分数.
(1)判断4和6是否为可分数，并说明理由；
(2)求小于81的最大可分数；
(3)记小于的可分数的个数为，令，记为数列的前项和，证明：.
题型6 集合与数论交汇问题
1．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）若集合且，则称构成的一个二次划分.任意给定一个正整数，可以给出整数集的一个次划分，其中表示除以余数为的所有整数构成的集合.这样我们得到集合，称作模的剩余类集.模的剩余类集可定义加减乘三种运算，如，（其中为除以的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过定义倒数就可以了，但不是所有中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域.那么下面说法错误的是（ ）
A．能构成素域当且仅当是素数B．
C．是最小的素域（元素个数最少）D．
2．（23-24高三下·河南·模拟预测）离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．
(1)若，求；
(2)对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中；
(3)已知．对，令．证明：．
3．（23-24高三下·北京·开学考试）由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A，B，使得成立，则称集合为“满集”.
(1)分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；
(2)若集合为“满集”，求的值：
(3)若为满集，，求的最小值.
4．（24-25高三上·北京·阶段练习）对给定的整数，若在数集中任取个元素，都可以通过这个元素进行加减乘除四则运算（每个元素都必须使用且只能使用1次），使其结果为的整数倍，则称整数具有性质.
(1)若，，请分别判断5是否具有性质和，并说明理由；
(2)求证：3具有性质，其中表示整数集；
(3)若12具有性质，求的最小值，其中表示整数集.
（建议用时：60分钟）
1．（24-25高三上·四川·开学考试）定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集且，那么称子集族构成集合的 一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（ ）
A．3B．4C．14D．16
2．（23-24高三下·福建·模拟预测）（多选）若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则是3阶聚合点集
B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集
C．若，则不是阶聚合点集
D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件
3．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，， 中的每个元素都小于中的每个元素，称为戴德金分割．下列结论正确的是（ ）
A．是一个戴德金分割
B．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，没有最小元素
C．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，有一个最小元素
D．存在一个戴德金分割，使得没有最大元素，也没有最小元素
4．（23-24高三下·江苏泰州·模拟预测）（多选）对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若且，则B．若且，则
C．若且，则D．存在，使得
5．（24-25高三上·广西钦州·阶段练习）已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质.
(1)若集合具有性质，求的最小值；
(2)已知集合具有性质，求证：
①对任意的都有；
②；
(3)已知集合具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由.
6．（24-25高三上·河南·期中）在数列中，设是数列的前项和，并规定，定义集合，中元素的个数为.
(1)在数列中，若，，，，，，，，求；
(2)若，满足，
①证明：集合非空；
②证明：当，时，.
7．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合中的元素个数.当时，设是集合中所有元素按从小到大顺序的一种排列，记集合.
(1)已知集合，求的值；
(2)已知集合，若，求的值；
(3)已知，记集合或.
（ⅰ）当时，证明：的充要条件是；
（ⅱ）若，求的所有可能取值.
8．（24-25高三上·山东济南·三诊）已知集合，若存在数阵满足：
①；
②.
则称集合为“好集合”，并称数阵T为的一个“好数阵”.
(1)已知数阵为的一个“好数阵”，试写出x，y，z，w的值：
(2)若集合为“好集合”，证明的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断是否为“好集合”.若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由.三年考情分析
2025年考向预测
近年来，集合新定义问题常涉及对集合的新概念定义（如“正交集合”、“差集”等）、集合的新运算规则（如定义新的集合运算符号或运算方式）、新性质定义（如集合元素的特定关系或集合的特定结构）．这些题目往往与传统的集合问题相结合，要求考生在理解新定义的基础上，根据新定义的性质，按照新规则进行集合的运算，难度较大.
从近三年的考试情况来看，集合新定义问题的难度呈现出逐年上升的趋势．题目不仅要求考生理解新定义的概念和运算规则，还要求考生能够灵活运用集合的基本知识进行综合分析和推理．部分题目还会涉及到与其他数学领域的知识结合，如数论、函数等，增加了题目的复杂度和难度．
与集合新定义有关的创新问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识来解决新定义的集合创新问题．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点,弄清新定义的性质；按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决．
与集合运算有关的创新问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等,从而达到解决问题的目的．
与集合性质有关的问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数
学知识来解决有关的集合性质的问题．
解决这类问题应仔细阅读题目，理解题目中给出的集合背景或规则．这包括集合的元素定义、集合之间的关系、集合的运算规则等．根据题目背景和问题要求，构建合适的数学模型或逻辑模型．例如，可以使用集合论中的基本概念和运算来构建模型．如果题目中涉及到复杂的集合运算或关系，可以考虑使用图形或表格来辅助理解．
若新定义与数列有关，可利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识．
集合与数论交汇问题通常涉及集合的元素和数论的性质，如整除性、质数、最大公约数、最小公倍数等．解决这类问题的关键在于准确理解集合的元素和数论性质之间的关系，合理构建集合模型，灵活运用各种解题方法，并进行严格的推理和验证．通过多做类似的题目，积累经验，可以提高解题的效率和准确性．