专题03 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性的应用（5大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc21266" 题型01 抽象函数的定义域 PAGEREF _Tc21266 \h 1
\l "_Tc6946" 题型02 抽象函数求值 PAGEREF _Tc6946 \h 2
\l "_Tc4006" 题型03 抽象函数的解析式 PAGEREF _Tc4006 \h 3
\l "_Tc31219" 题型04 抽象函数的单调性 PAGEREF _Tc31219 \h 5
\l "_Tc6580" 题型05 抽象函数的奇偶性 PAGEREF _Tc6580 \h 7
题型01 抽象函数的定义域
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·贵州六盘水·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）．
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数定义域为（ ）
A．B．
C．D．
题型02 抽象函数求值
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）若对任意的，函数满足，则（ ）
A．6B．4C．2D．0
2．（24-25高三上·广东深圳·期中）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）函数满足对任意的实数，，均有，且，则（ ）
A．1014B．1012C．2024D．2025
4．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知是定义在上的函数，且，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·湖南·阶段练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型03 抽象函数的解析式
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、填空题
1．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）．
2．（23-24高三上·辽宁辽阳·期中）已知是定义在上的单调函数，且，，则 ．
3．（23-24高三上·湖北·期末）函数满足，请写出一个符合题意的函数的解析式 .
4．（24-25高三上·北京·期中）写出同时满足以下两个条件的一个函数 .
①，，；
②，且，.
5．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ．
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数 .
7．（23-24高三上·海南海口·期末）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）．
8．（2024·陕西铜川·三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，写出函数的一个解析式为 .
题型04 抽象函数的单调性
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
1．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
2．（湖北省武汉市问津教育联合体2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增．若，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高三上·甘肃天水·期末）函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则等于（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·江苏·期末）已知是定义在上的偶函数，若且时，恒成立，，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型05 抽象函数的奇偶性
【典例训练】
1．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数
2．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是偶函数
3．已知对任意x，，都有，且，那么 （ ）
A．是奇函数但不是偶函数B．既是奇函数又是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数D．是偶函数但不是奇函数
4．（23-24高三下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．C．为偶函数D．为奇函数
5．（多选）（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数满足，且，则（ ）
A．B．
C．不可能是奇函数D．在上单调递增
6．（24-25高三上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（ ）
A．B．为偶函数
C．D．若，则
一、单选题
1．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
2．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A．B．为偶函数
C．为奇函数D．
4．（24-25高三上·天津北辰·阶段练习）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·河南驻马店·期末）设函数，则使成立的的范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高三下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
7．（24-25高三上·新疆·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，设，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．在区间是单调递增函数
二、多选题
9．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为上的减函数D．为奇函数
10．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．
C．D．在上单调递增
11．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数的定义域为，且，若对，都有，则（ ）
A．B．
C．函数为奇函数D．函数为增函数
12．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知函数的定义域为，，且当时，；当时，单调递增，则（ ）
A．B．
C．是奇函数D．
13．（24-25高三上·江苏·阶段练习）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数，满足，有，则下面判断一定正确的是（ ）
A．是的一个周期B．是奇函数
C．是偶函数D．
三、填空题
14．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）写出满足的函数的解析式 ．
15．（22-23高三上·河南·开学考试）已知函数f（x）满足：①对，，；②．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝ ．
16．（22-23高三上·河南开封·阶段练习）已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：
（1）对于任意的实数x，y恒有；
（2）在上单调递减.
请写出满足条件的一个 .
抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段
抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数：，则，
【一次函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则为奇函数；
模型3：若则；
模型4：若则；
【指数函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
【对数函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
模型3：若，则
模型4：若，则
模型5：若，则
【幂函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
代入则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
【正切函数模型】
模型：若，则
模型3：若，则
抽象函数的性质
1.周期性：；；
；（为常数）；
2.对称性：
对称轴：或者 关于对称；
对称中心：或者 关于对称；
3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期
4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；
③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；