2025年高考数学二级结论篇（核心知识背记手册）-备战2025年高考数学一轮复习

这是一份2025年高考数学二级结论篇（核心知识背记手册）-备战2025年高考数学一轮复习，共39页。
目录
TOC \ "1-2" \h \u
\l "_Tc32070" 二级结论背记01 集合 PAGEREF _Tc32070 \h 3
\l "_Tc27759" 1. 德摩根公式 PAGEREF _Tc27759 \h 3
\l "_Tc26149" 2. 容斥定理之集合中元素个数 PAGEREF _Tc26149 \h 3
\l "_Tc26844" 二级结论背记02 复数 PAGEREF _Tc26844 \h 4
\l "_Tc224" 1. 复数的模 PAGEREF _Tc224 \h 4
\l "_Tc18766" 二级结论背记03 平面向量 PAGEREF _Tc18766 \h 4
\l "_Tc11207" 1. 爪子定理 PAGEREF _Tc11207 \h 4
\l "_Tc18817" 2. 爪平面向量的系数和（等和线）（等值线） PAGEREF _Tc18817 \h 4
\l "_Tc30610" 3. 极化恒等式 PAGEREF _Tc30610 \h 5
\l "_Tc5013" 4. 奔驰定理 PAGEREF _Tc5013 \h 6
\l "_Tc22811" （1）奔驰定理的证明 PAGEREF _Tc22811 \h 6
\l "_Tc22346" （2）奔驰定理的推论及四心问题 PAGEREF _Tc22346 \h 7
\l "_Tc24109" 二级结论背记04 不等式与基本不等式 PAGEREF _Tc24109 \h 8
\l "_Tc15393" 1. 基本不等式链 PAGEREF _Tc15393 \h 8
\l "_Tc9630" 2. 权方和不等式的二维形式 PAGEREF _Tc9630 \h 8
\l "_Tc3468" 3. 糖水不等式定理 PAGEREF _Tc3468 \h 8
\l "_Tc7490" 4. 糖水不等式的倒数形式: PAGEREF _Tc7490 \h 8
\l "_Tc14737" 5. 对数型糖水不等式 PAGEREF _Tc14737 \h 8
\l "_Tc23680" 二级结论背记05 三角函数与三角恒等变换 PAGEREF _Tc23680 \h 9
\l "_Tc15756" 1. 常见三角不等式 PAGEREF _Tc15756 \h 9
\l "_Tc26770" 2. 半角公式 PAGEREF _Tc26770 \h 9
\l "_Tc14833" 3. 万能公式 PAGEREF _Tc14833 \h 9
\l "_Tc22451" 4. 和差化积与积化和差公式 PAGEREF _Tc22451 \h 9
\l "_Tc27970" 二级结论背记06 解三角形 PAGEREF _Tc27970 \h 10
\l "_Tc12998" 1. 常见三角恒等式 PAGEREF _Tc12998 \h 10
\l "_Tc6038" 2. 常见平面几何结论 PAGEREF _Tc6038 \h 10
\l "_Tc12610" 3. 三角形中常见不等式 PAGEREF _Tc12610 \h 10
\l "_Tc4956" 4. 内切圆半径 PAGEREF _Tc4956 \h 10
\l "_Tc2400" 5. 海伦-秦九韶公式 PAGEREF _Tc2400 \h 10
\l "_Tc5448" 6. 海伦-秦九韶公式推广 PAGEREF _Tc5448 \h 11
\l "_Tc7908" 7. 三倍角公式 PAGEREF _Tc7908 \h 11
\l "_Tc21638" 8. 射影定理 PAGEREF _Tc21638 \h 11
\l "_Tc27890" 9. 角平分线定理 PAGEREF _Tc27890 \h 11
\l "_Tc9639" 10. 张角定理 PAGEREF _Tc9639 \h 11
\l "_Tc11217" 11. 倍角定理 PAGEREF _Tc11217 \h 11
\l "_Tc9705" 12. 中线长定理 PAGEREF _Tc9705 \h 12
\l "_Tc31117" 13. 三角恒等式 PAGEREF _Tc31117 \h 12
\l "_Tc16839" 二级结论背记07 函数的基本性质 PAGEREF _Tc16839 \h 13
\l "_Tc17620" 1. 周期性（差为常数有周期） PAGEREF _Tc17620 \h 13
\l "_Tc30961" 2. 对称性（和为常数有对称轴） PAGEREF _Tc30961 \h 13
\l "_Tc29565" （1）轴对称 PAGEREF _Tc29565 \h 13
\l "_Tc4894" （2）点对称 PAGEREF _Tc4894 \h 13
\l "_Tc19105" 3. 周期性对称性综合问题 PAGEREF _Tc19105 \h 13
\l "_Tc21588" 4. 奇偶性对称性综合问题 PAGEREF _Tc21588 \h 14
\l "_Tc3123" 5. 与指数函数相关的奇函数和偶函数 PAGEREF _Tc3123 \h 14
\l "_Tc29856" 6. 与对数函数相关的奇函数和偶函数 PAGEREF _Tc29856 \h 14
\l "_Tc7786" 7. 奇函数+常函数 PAGEREF _Tc7786 \h 14
\l "_Tc32336" 二级结论背记08 导数 PAGEREF _Tc32336 \h 14
\l "_Tc29571" 1. 几个常用极限 PAGEREF _Tc29571 \h 14
\l "_Tc3880" 2. 两个重要的极限 PAGEREF _Tc3880 \h 15
\l "_Tc23725" 3. 函数极限的四则运算法则 PAGEREF _Tc23725 \h 15
\l "_Tc7220" 4. 常用的近似计算公式 PAGEREF _Tc7220 \h 15
\l "_Tc2320" 5. 二阶导的定义 PAGEREF _Tc2320 \h 15
\l "_Tc5402" 6. 函数极值的第二判定定理 PAGEREF _Tc5402 \h 15
\l "_Tc14928" 7. 曲线的凹凸性 PAGEREF _Tc14928 \h 16
\l "_Tc27425" 8. 曲线的拐点 PAGEREF _Tc27425 \h 16
\l "_Tc16900" 9. 利用曲线的切线进行放缩证明不等式 PAGEREF _Tc16900 \h 17
\l "_Tc24902" 10. 利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式 PAGEREF _Tc24902 \h 17
\l "_Tc14319" 11. 恒成立问题常见类型 PAGEREF _Tc14319 \h 18
\l "_Tc30226" 12. 能成立（有解）问题常见类型 PAGEREF _Tc30226 \h 18
\l "_Tc5892" 13. 端点效应的类型 PAGEREF _Tc5892 \h 19
\l "_Tc32016" 14. 洛必达法则： PAGEREF _Tc32016 \h 19
\l "_Tc8053" 15. 常见的指对放缩 PAGEREF _Tc8053 \h 19
\l "_Tc27930" 16. 常见的三角函数放缩 PAGEREF _Tc27930 \h 19
\l "_Tc3683" 17. 其他放缩 PAGEREF _Tc3683 \h 19
\l "_Tc20942" 18. 放缩程度综合 PAGEREF _Tc20942 \h 20
\l "_Tc32745" 19. 常见函数的泰勒展开式 PAGEREF _Tc32745 \h 21
\l "_Tc493" 20. 常见函数的泰勒展开式的结论 PAGEREF _Tc493 \h 21
\l "_Tc13973" 21. 极值点偏移的含义 PAGEREF _Tc13973 \h 22
\l "_Tc2418" 22. 极值点偏移问题的一般题设形式 PAGEREF _Tc2418 \h 22
\l "_Tc7051" 23. 极值点偏移的判定定理 PAGEREF _Tc7051 \h 23
\l "_Tc28066" 24. 对数平均不等式 PAGEREF _Tc28066 \h 24
\l "_Tc9447" 25. 拉格朗日（Lagrange）中值定理 PAGEREF _Tc9447 \h 25
\l "_Tc25193" 二级结论背记09 数列 PAGEREF _Tc25193 \h 26
\l "_Tc31776" 1. 等差数列任意前n项和的关系 PAGEREF _Tc31776 \h 26
\l "_Tc951" 2. 等比数列任意前n项和的关系 PAGEREF _Tc951 \h 26
\l "_Tc19566" 3. 数列不动点 PAGEREF _Tc19566 \h 26
\l "_Tc31427" 4. 错位相减---万能公式求和 PAGEREF _Tc31427 \h 27
\l "_Tc8586" 5. 通项公式的构造 PAGEREF _Tc8586 \h 27
\l "_Tc30294" 二级结论背记10 立体几何 PAGEREF _Tc30294 \h 27
\l "_Tc16701" 1. 内切球体积 PAGEREF _Tc16701 \h 27
\l "_Tc22163" 2. 三垂线法求二面角 PAGEREF _Tc22163 \h 28
\l "_Tc32411" 3. 垂面法求二面角 PAGEREF _Tc32411 \h 28
\l "_Tc12246" 4. 射影面积法求二面角 PAGEREF _Tc12246 \h 28
\l "_Tc15323" 5. 三余弦定理 PAGEREF _Tc15323 \h 28
\l "_Tc9625" 6. 三射线定理 PAGEREF _Tc9625 \h 28
\l "_Tc14379" 7. 空间两点间的距离公式 PAGEREF _Tc14379 \h 29
\l "_Tc25989" 8. 点到直线距离 PAGEREF _Tc25989 \h 29
\l "_Tc28917" 9. 异面直线间的距离 PAGEREF _Tc28917 \h 29
\l "_Tc3102" 10. 点到平面的距离 PAGEREF _Tc3102 \h 29
\l "_Tc23144" 11. 异面直线上两点距离公式 PAGEREF _Tc23144 \h 29
\l "_Tc18341" 12. 欧拉定理(欧拉公式) PAGEREF _Tc18341 \h 29
\l "_Tc4431" 13. 球的组合体 PAGEREF _Tc4431 \h 30
\l "_Tc29472" 二级结论背记11 解析几何（直线与圆+圆锥曲线） PAGEREF _Tc29472 \h 30
\l "_Tc30830" 1. 点关于线对称的一般性结论 PAGEREF _Tc30830 \h 30
\l "_Tc29364" 2. 直径端点圆的方程 PAGEREF _Tc29364 \h 30
\l "_Tc1536" 3. 解析几何中的切线方程 PAGEREF _Tc1536 \h 30
\l "_Tc9135" 4. 解析结合中的切点弦方程 PAGEREF _Tc9135 \h 30
\l "_Tc27160" 5. 相切的条件 PAGEREF _Tc27160 \h 31
\l "_Tc1521" 6. 斜率关系 PAGEREF _Tc1521 \h 31
\l "_Tc15583" 7. 常见不等式 PAGEREF _Tc15583 \h 31
\l "_Tc12695" 8. 椭球体积 PAGEREF _Tc12695 \h 31
\l "_Tc7189" 9. 纵坐标之和 PAGEREF _Tc7189 \h 31
\l "_Tc795" 10. 渐近线围成的四边形面积 PAGEREF _Tc795 \h 31
\l "_Tc6457" 11. 帕斯卡定理 PAGEREF _Tc6457 \h 31
\l "_Tc31039" 12. 斜率定值 PAGEREF _Tc31039 \h 32
\l "_Tc9790" 13. 椭圆和双曲线的结论汇总 PAGEREF _Tc9790 \h 32
\l "_Tc23420" 14. 补充结论1 PAGEREF _Tc23420 \h 34
\l "_Tc23749" 15. 抛物线的结论 PAGEREF _Tc23749 \h 35
\l "_Tc13521" 16. 补充结论2 PAGEREF _Tc13521 \h 36
\l "_Tc7206" 二级结论背记12排列组合、二项式定理、概率统计 PAGEREF _Tc7206 \h 37
\l "_Tc20006" 1. 二项式系数的性质 PAGEREF _Tc20006 \h 37
\l "_Tc7385" 2. 二项式系数和 PAGEREF _Tc7385 \h 37
\l "_Tc27803" 3. 单条件排列 PAGEREF _Tc27803 \h 37
\l "_Tc19443" 4. 分配问题 PAGEREF _Tc19443 \h 38
\l "_Tc31613" 5. “错位问题”及其推广 PAGEREF _Tc31613 \h 38
\l "_Tc6109" 6. 不定方程的解的个数 PAGEREF _Tc6109 \h 39
\l "_Tc18102" 7. 数学期望的性质 PAGEREF _Tc18102 \h 39
\l "_Tc24429" 8. 方差的性质 PAGEREF _Tc24429 \h 39
\l "_Tc20981" 9. 方差与期望的关系 PAGEREF _Tc20981 \h 39
\l "_Tc32513" 10. 正态分布密度函数 PAGEREF _Tc32513 \h 39
二级结论背记01 集合
德摩根公式
容斥定理之集合中元素个数
二级结论背记02 复数
复数的模
已知，且，
则，
二级结论背记03 平面向量
爪子定理
形如“爪”字型图及性质：
（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线
当，则与位于同侧，且位于与之间
当，则与位于两侧
时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上
（2）已知在线段上，且，则
爪平面向量的系数和（等和线）（等值线）
如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知：
存在，使得
下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得
而，所以，于是
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若时，
（i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则
，不妨设与的相似比为
由三点共线可知：存在使得：
所以
（ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围
极化恒等式
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，
恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形 中,
则
在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说:
奔驰定理
如图，已知P为内一点，则有.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
（1）奔驰定理的证明
如图：延长与边相交于点
则
（2）奔驰定理的推论及四心问题
推论是内的一点,且,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点在内部，有以下四个推论：
①若为的重心，则；
②若为的外心，则；或
③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.
④若为的垂心，则，或
二级结论背记04 不等式与基本不等式
基本不等式链
拓展. m>n时，
权方和不等式的二维形式
若 则 当且仅当 时取等.
(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)
糖水不等式定理
若 , 则一定有
通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜;
糖水不等式的倒数形式:
设 , 则有:
对数型糖水不等式
（1） 设 , 且 , 则有
（2）设 , 则有
（3）上式的倒数形式：设 , 则有
二级结论背记05 三角函数与三角恒等变换
常见三角不等式
（1）若，则.
（2）若，则.
（3）.
半角公式
(1)sin eq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,2)).
(2)cseq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1＋cs α,2)).
(3)taneq \f(α,2)＝± eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).
以上称之为半角公式，符号由eq \f(α,2)所在象限决定．
万能公式
和差化积与积化和差公式
二级结论背记06 解三角形
常见三角恒等式
在任意内，都有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
推论：在内，若tanA+tanB+tanC